1 9的立方根是（）

A.3
B.$\sqrt[3]{9}$
C.$\pm 3$
D.$\pm\sqrt[3]{9}$

1.B

【分析】
解题时首先回忆立方根的定义与性质，第一步先根据立方根的性质排除错误选项：立方根和平方根不同，任意一个数都只有1个立方根，正数的立方根是正数，因此首先排除带正负号的C、D选项；第二步再验证剩余选项：3的立方是27，因此3是27的立方根，不是9的立方根，排除A选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
1. 由立方根的性质可知：正数的立方根是唯一的正数，因此9的立方根只有1个且为正数，可直接排除带正负号的C、D选项；
2. 验证A选项：$3^3=27≠9$，因此3是27的立方根，不是9的立方根，A错误；
3. 验证B选项：$(\sqrt[3]{9})^3=9$，符合立方根的定义，因此B正确。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，避免混淆二者的概念误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.8

2（2025盐城亭湖期中）若一个数的立方根是$-\dfrac{3}{2}$，则这个数是（）

A.$-\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$
B.$\pm\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$
C.$-\dfrac{27}{8}$
D.$\pm\dfrac{27}{8}$

2.C

【分析】
解题核心是利用立方运算与开立方运算的互逆关系。首先回忆立方根的定义：若一个数x的立方等于a，则x叫做a的立方根，反之已知某数的立方根，求这个数只需将立方根做三次乘方运算即可。另外根据立方根的性质：负数的立方根是负数，可知所求的数一定为负，可先排除带正负号的B、D选项，再计算乘方得到结果，避免混淆平方根和立方根的性质出错。
【解析】
设这个数为$ a $，由题意可知$ \sqrt[3]{a}=-\dfrac{3}{2} $。
因为开立方和立方互为逆运算，所以$ a=(-\dfrac{3}{2})^3 $。
计算得：$ (-\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{(-3)^3}{2^3}=-\dfrac{27}{8} $。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义；有理数的乘方；立方根的性质
【点评】
本题是基础考点题型，主要考查立方根的相关概念，解题时要注意区分立方根与平方根的性质，立方根具有唯一性，负数的立方根仍为负数，不要和平方根的双值性混淆，掌握立方与开立方的互逆运算就能快速解题。
【难度系数】
0.8

3 下列说法中，正确的是 （）

A.$-4$ 没有立方根
B.$1$ 的立方根是 $\pm1$
C.$\frac{1}{36}$ 的立方根是 $\frac{1}{6}$
D.$-5$ 的立方根是 $\sqrt[3]{-5}$

3.D

【分析】
解题时先回忆立方根的核心性质：一是任意实数（正数、负数、0）都有唯一的立方根，其中正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；二是数a的立方根可记作$\sqrt[3]{a}$。接下来按照上述性质逐一判断每个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 负数有立方根，$-4$的立方根为$\sqrt[3]{-4}$，因此A说法错误；
B. 任意数的立方根都是唯一的，$1$的立方根只有$1$，$\pm1$是$1$的平方根，因此B说法错误；
C. $(\frac{1}{6})^3=\frac{1}{216}≠\frac{1}{36}$，$\frac{1}{6}$是$\frac{1}{36}$的算术平方根，不是立方根，因此C说法错误；
D. 根据立方根的表示方法，$-5$的立方根可表示为$\sqrt[3]{-5}$，因此D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质、立方根的表示
【点评】
本题主要考查立方根的基础概念，解题时要注意区分立方根和平方根的性质差异，避免混淆“正数有两个平方根、但只有一个正的立方根”这一易错点，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

4（1）（2025江阴月考）－27的立方根是；
（2）（2026连云港东海月考）$\sqrt{64}$的立方根是。

(1) -3 (2) 2

【分析】
解题时先明确立方根的定义：如果一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根。第(1)问直接根据定义找立方等于$-27$的数即可；第(2)问要注意先计算出$\sqrt{64}$的结果，再求该结果的立方根，避免直接对64求立方根导致错误。
【解析】
(1) 根据立方根的定义计算：
∵ $(-3)^3=-27$
∴ $-27$的立方根是$-3$。
(2) 先化简算术平方根，再求立方根：
∵ $\sqrt{64}=8$，又
∵ $2^3=8$
∴ $8$的立方根是$2$，即$\sqrt{64}$的立方根是$2$。
【答案】
(1) $-3$；(2) $2$
【知识点】
1.立方根的定义 2.算术平方根的运算
【点评】
本题属于立方根相关的基础计算题，解题关键是牢记立方根的定义，注意带根号的数要先化简再求立方根，避开审题不清的误区。
【难度系数】
0.9

5（2025常州模拟）计算：$\sqrt[3]{-8}=$.

-2

【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么这个数x就叫做a的立方根。要求$\sqrt[3]{-8}$的结果，就是找哪个数的立方等于-8。首先明确负数的立方是负数，因此-8的立方根是负数，再计算可知2的立方为8，因此-2的立方就是-8，即可得出结果。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$。
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
立方根的定义、开立方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查立方根的计算，解题时要注意区分立方根和平方根的性质：负数有一个负的立方根，而负数没有平方根，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.9

6 $\sqrt[3]{5^3}=$ , $\sqrt[3]{(-5)^3}=$ .

5 -5

【分析】
解本题需用到立方根的基本性质：任意实数的立方的立方根等于它本身，即$\sqrt[3]{a^3}=a$（$a$为任意实数）。解题时先分别确定两个三次根号下的底数，再直接代入性质计算即可，注意不要混淆立方根与平方根的符号规则。
【解析】
根据立方根的性质：对于任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$。
1. 计算$\sqrt[3]{5^3}$：此时$a=5$，代入得$\sqrt[3]{5^3}=5$；
2. 计算$\sqrt[3]{(-5)^3}$：此时$a=-5$，代入得$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$。
【答案】
5 -5
【知识点】
立方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对立方根性质的掌握程度，解题时要注意区分立方根与平方根的差异：正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根，而任意实数都有唯一的立方根，符号与原数一致。
【难度系数】
0.9

7 一个容积是9 dm³的正方体棱长是dm.

$\sqrt[3]{9}$

【分析】
解题时首先回忆正方体容积（体积）与棱长的关系：正方体的体积等于棱长的三次方。已知正方体容积为9 dm³，即棱长的三次方等于9，根据立方根的定义，要求棱长，只需要求9的立方根即可。
【解析】
解：设该正方体的棱长为$a$ dm。
正方体容积（体积）的计算公式为：$V=a^3$，其中$V$是正方体的体积，$a$是正方体的棱长。
将已知容积$V=9\ \mathrm{dm}^3$代入公式，可得：$a^3=9$。
根据立方根的定义：若$x^3=m$，则$x$叫做$m$的立方根，记作$x=\sqrt[3]{m}$，因此$a=\sqrt[3]{9}$。
【答案】
$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 正方体体积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，结合几何体积计算考察立方根的概念，掌握核心公式和立方根定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

8 若$\sqrt[3]{13 - 5x} = -3$，则$x=$。

8

【分析】
我们可以利用立方与开立方互为逆运算的关系解题，已知一个数的立方根是-3，将等式两边同时立方就能消去三次根号，得到关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可，最后可代入原式验证结果是否正确。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{13 - 5x} = -3$
根据立方根的定义，将等式两边同时立方，得：
$13 - 5x = (-3)^3$
计算右侧得：$(-3)^3=-27$，即$13 - 5x = -27$
移项得：$-5x=-27-13$
合并同类项得：$-5x=-40$
系数化为1得：$x=8$
检验：将$x=8$代入原式，左边$\sqrt[3]{13-5×8}=\sqrt[3]{-27}=-3$，与右边相等，结果正确。
【答案】
8
【知识点】
立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于立方根相关的基础运算题，解题核心是利用立方和开立方的互逆性将含三次根号的方程转化为常规整式方程，计算难度低，掌握立方根的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

9 教材P67练习T1·变式 求下列各数的立方根：
(1) 216；
(2) −0.125；
(3) $\pm\frac{8}{27}$；
(4) $\sqrt{16}$。

(1) 6 (2) $-0.5$ (3) $\pm\frac{2}{3}$ (4) $\sqrt[3]{4}$

【分析】
求一个数的立方根的核心依据是立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。解题时先明确每个待求数的正负，再找对应立方等于该数的数即可；对于第(4)题这类带运算的数，要先化简原数，再求化简后结果的立方根，避免直接对根号内的数开立方出错。同时要注意立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【解析】
根据立方根的定义求解：
(1) 因为$6^3 = 6×6×6 = 216$，所以216的立方根是6，即$\sqrt[3]{216}=6$；
(2) 因为$(-0.5)^3 = (-0.5)×(-0.5)×(-0.5) = -0.125$，所以$-0.125$的立方根是$-0.5$，即$\sqrt[3]{-0.125}=-0.5$；
(3) 因为$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3} = \frac{8}{27}$，$(-\frac{2}{3})^3 = (-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27}$，所以$\pm\frac{8}{27}$的立方根是$\pm\frac{2}{3}$，即$\sqrt[3]{\pm\frac{8}{27}}=\pm\frac{2}{3}$；
(4) 先化简原数：$\sqrt{16}=4$，再求4的立方根，因为没有有理数的立方等于4，所以结果保留三次根号形式，即$\sqrt{16}$的立方根是$\sqrt[3]{4}$。
【答案】
(1) $6$；(2) $-0.5$；(3) $\pm\frac{2}{3}$；(4) $\sqrt[3]{4}$
【知识点】
立方根的定义；开立方运算；算术平方根化简
【点评】
本题是立方根的基础计算题，主要考查对立方根定义和性质的掌握，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，负数也存在立方根；遇到含其他运算的数时，务必先化简再求立方根，减少计算失误。
【难度系数】
0.7

10 教材P68习题T3·变式 求下列各式中$x$的值：
(1) $3(x-1)^3=-81$；
(2) $(x-2)^3=-8$；
(3) $\dfrac{1}{2}(x+3)^3=108$。

(1) $x=-2$ (2) $x=0$ (3) $x=3$

【分析】
这三道题均为利用立方根求解方程的基础题型，解题思路可分为三步：①先通过等式的基本性质，将含未知数的三次幂项的系数化为1，得到$(mx+n)^3=p$的标准形式；②根据立方根的定义，若一个数的立方等于$p$，则这个数就是$p$的立方根，因此对等式两边同时开立方，将三次方程降为一元一次方程；③解一元一次方程即可得到$x$的值，计算时注意负数的立方根为负数，正数的立方根为正数。
【解析】
(1) 求解$3(x-1)^3=-81$：
第一步，系数化为1，等式两边同时除以3，得$(x-1)^3=-27$；
第二步，两边同时开立方，得$x-1=\sqrt[3]{-27}=-3$；
第三步，移项计算得$x=-3+1=-2$。
(2) 求解$(x-2)^3=-8$：
第一步，等式已为标准形式，直接两边开立方，得$x-2=\sqrt[3]{-8}=-2$；
第二步，移项计算得$x=-2+2=0$。
(3) 求解$\dfrac{1}{2}(x+3)^3=108$：
第一步，系数化为1，等式两边同时乘2，得$(x+3)^3=216$；
第二步，两边同时开立方，得$x+3=\sqrt[3]{216}=6$；
第三步，移项计算得$x=6-3=3$。
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $x=0$；(3) $x=3$
【知识点】
立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于利用立方根性质解方程的基础题型，解题核心是先将三次幂项单独整理出来，再通过开立方运算降次为一元一次方程求解，计算时需注意立方根的符号规律，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8