11 易错题 下列说法中，正确的是 （）

A.9的平方根是－3
B.－7是－49的平方根
C.－15是225的平方根
D.$(-4)^2$的平方根是－4

11. C

【分析】
解决本题的核心是熟练掌握平方根的定义与性质：1. 定义：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根；2. 性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时逐个验证选项：先判断被开方数是否非负，排除负数作为被开方数的错误选项，再验证给出的数的平方是否等于对应被开方数，同时注意“某数是$a$的平方根”和“$a$的平方根是某数”的表述区别，前者只要满足平方等于$a$即可，后者需要包含正负两个平方根。
【解析】
结合平方根的定义和性质逐个分析选项：
A. 9的平方根是$\pm3$，选项仅给出$-3$，表述不完整，故A错误；
B. 负数没有平方根，$-49$是负数，不存在平方根，故B错误；
C. 计算得$(-15)^2=225$，符合平方根的定义，即$-15$是225的其中一个平方根，故C正确；
D. 先计算$(-4)^2=16$，16的平方根是$\pm4$，选项仅给出$-4$，表述不完整，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于平方根的基础易错题，易错点主要有三个：一是忽略负数没有平方根的性质，误选B；二是混淆平方根和算术平方根的概念，误认为正数的平方根只有正的或者只有负的，误选A或D；三是对“某数是$a$的平方根”的表述理解不到位，误认为必须同时写出正负两个才正确，漏选C。解题时紧扣定义和性质逐一排查即可。
【难度系数】
0.6

12 若－m是a的平方根，则下列结论中正确的是 （）

A.$ m=a $
B.$ m^2=a $
C.$ m=-a^2 $
D.$ -m=a $

12. B

【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数是a的平方根，那么这个数的平方等于a。本题已知-m是a的平方根，我们只需将-m代入平方根的定义公式，化简后即可得到m和a的关系，也可通过举反例的方式排除错误选项，验证结论。
【解析】
根据平方根的定义：若x是a的平方根，则满足$x^2=a$。
已知$-m$是a的平方根，将$x=-m$代入公式可得：
$(-m)^2 = a$
根据乘方的运算规则，负数的平方为正数，因此$(-m)^2 = m^2$，推导得$m^2=a$。
也可通过举反例排除错误选项：如a=4，若-m=2是4的平方根，则m=-2，此时m=-2≠4，排除A；$m=-2≠-4^2=-16$，排除C；$-m=2≠4$，排除D。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心围绕平方根的定义命题，解题的关键是牢记平方根与被开方数的数量关系，注意负数平方的符号处理，避免混淆平方根本身和其平方的结果。
【难度系数】
0.8

13 (2026 扬州期末模拟)比较大小：$\sqrt{26}$ 5(填“＞”“＜”或“=”).

13. ＞

【分析】
要比较两个正数$\sqrt{26}$和5的大小，针对含二次根号的正实数和正整数比较的题型，可使用平方法：当两个数都为正数时，平方后的结果越大，原数就越大。因此我们可以分别计算两个数的平方，通过对比平方结果的大小，反推原数的大小关系。
【解析】
因为$\sqrt{26}＞0$，$5＞0$，正数比较大小，平方值大的原数更大。
计算得：$(\sqrt{26})^2=26$，$5^2=25$。
由于$26＞25$，因此$\sqrt{26}＞5$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，平方法是解决含二次根号的正实数与正数比较大小的常用技巧，掌握该方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

14 易错题 若$a^2=(-3)^2$，则$a=$。

14. ±3

【分析】
解题时首先需要计算等式右侧$(-3)^2$的具体数值，将原式转化为$a^2$等于常数的形式，再结合平方根的定义求解a的取值。需要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要只考虑正解遗漏负解。
【解析】
1. 先计算等式右侧的乘方结果：$(-3)^2=9$，因此原等式可化简为$a^2=9$。
2. 根据平方根的定义：若一个数的平方等于正数$m$，则这个数是$m$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，可知平方等于9的数为$3$和$-3$，因此$a=\pm3$。
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
有理数乘方运算，平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的常见易错题，易错点为仅写出正解3，遗漏负解-3，解题时牢记正数有两个互为相反数的平方根，即可有效避免漏解。
【难度系数】
0.7

15 (2025南京鼓楼期中)若正数$m$的一个平方根是$a-1$，则另一个平方根是.(用含$a$的代数式表示)

15. 1−a

【分析】
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。因此要求正数m的另一个平方根，只需要求出已知平方根$a-1$的相反数，再化简代数式即可得到结果。
【解析】
根据平方根的性质可知，正数的两个平方根互为相反数。
已知正数$m$的一个平方根是$a-1$，则另一个平方根是$a-1$的相反数，即：
$-(a-1)=1-a$
【答案】
$1-a$
【知识点】
平方根的性质；相反数的概念；代数式化简
【点评】
本题考查平方根的基础性质，属于基础题型，解题核心是牢记正数的两个平方根互为相反数，化简代数式时注意去括号的符号变化即可。
【难度系数】
0.9

(2025常州钟楼月考)若$2m-4$与$3m-1$是同一个正数$a$的平方根，则$a$为

16. 4

【分析】
本题考查正数平方根的性质，解题思路如下：首先明确正数的平方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即两者的和为0。已知2m-4与3m-1是同一个正数a的平方根，说明这两个代数式互为相反数，据此先列方程求出m的值，再将m代入任意一个平方根，平方后即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，且2m-4与3m-1是正数a的平方根
∴ $(2m-4)+(3m-1)=0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
解得：$m=1$
将$m=1$代入$2m-4$得：$2×1 - 4=-2$
∴ $a=(-2)^2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的性质
解一元一次方程
平方根的计算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，易错点是误将两个平方根直接相等求解，导致结果错误。
【难度系数】
0.7

17 若某一个数的算术平方根为$2m+6$，它的平方根为$\pm (m-2)$，则$m=$。

17. $-\frac{4}{3}$

【分析】
解题时首先要明确算术平方根与平方根的关系：一个正数的算术平方根是它的正平方根，因此题目中的算术平方根2m+6必然等于它的两个平方根±(m-2)中的非负数，同时算术平方根本身具有非负性，即2m+6≥0。我们可以分两种情况列方程求解，再对求得的解进行检验，舍去不符合条件的解即可得到正确结果。
【解析】
根据算术平方根是正的平方根，分两种情况讨论：
情况1：若$2m + 6 = m - 2$
移项得：$2m - m = -2 - 6$
解得：$m = -8$
此时算术平方根$2m + 6 = 2×(-8) + 6 = -10 ＜ 0$，不符合算术平方根非负的要求，故舍去该解。
情况2：若$2m + 6 = -(m - 2)$
去括号得：$2m + 6 = -m + 2$
移项合并同类项得：$3m = -4$
解得：$m = -\frac{4}{3}$
此时算术平方根$2m + 6 = 2×(-\frac{4}{3}) + 6 = \frac{10}{3} ＞ 0$，符合要求；对应的平方根为$\pm(m - 2) = \pm(-\frac{4}{3} - 2) = \pm\frac{10}{3}$，符合平方根的性质，故该解有效。
【答案】
$-\frac{4}{3}$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题的易错点是忽略算术平方根的非负性，直接列方程求解后不对结果进行检验，导致得到错误的解。解题时要牢记算术平方根一定是非负数，求出结果后要代入验证是否符合定义要求。
【难度系数】
0.6

18（2025梁溪月考）已知$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的平方根。

18. 解:因为$2m+2$的平方根是$\pm4$，
所以$2m+2=16$,解得$m=7$.
因为$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，
所以$3m+n+1=25$,即$21+n+1=25$,解得$n=3$,
所以$m+2n=13$,所以$m+2n$的平方根是$\pm\sqrt{13}$.

【分析】
解题的核心依据是平方根的性质：若一个数的平方根是±a，则这个数等于a²。解题思路如下：第一步，先利用2m+2的平方根是±4的条件，列方程求出m的值；第二步，将求得的m代入3m+n+1的平方根是±5的条件中，列方程求出n的值；第三步，将m、n的值代入m+2n计算出结果，最后根据平方根的定义求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$2m+2$的平方根是$\pm4$，
∴$2m+2=(\pm4)^2=16$，
解得$m=7$。
∵$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，
∴$3m+n+1=(\pm5)^2=25$，
将$m=7$代入得：$3×7 +n +1=25$，
即$22 +n =25$，
解得$n=3$。
∴$m+2n=7 + 2×3=13$，
∴$13$的平方根为$\pm\sqrt{13}$，即$m+2n$的平方根是$\pm\sqrt{13}$。
【答案】
$\pm\sqrt{13}$
【知识点】
平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是平方根章节的基础常规题，解题关键是熟练掌握平方根与被开方数的对应关系，通过列方程求出未知参数后再计算目标代数式的平方根，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8

19 新趋势 初高衔接（2025无锡江阴期中）阅读与理解：
小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根。比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根。有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使i²=-1，那么(±i)²=-1，因此-1就有两个平方根了。进一步，小明想：因为(±2i)²=-4，所以-4的平方根是±2i；因为(±3i)²=-9，所以-9的平方根就是±3i。请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求-25，-36的平方根（写成因为…，所以…的形式）；
（2）求$i+i²+i³+…+i^{2025}$的值；
（3）利用所学公式求$(3+2i)^2$和(3+2i)(3−2i)的值。

19. 解:(1) 因为$(\pm5i)^2=-25$,所以$-25$的平方根是$\pm5i$.
因为$(\pm6i)^2=-36$,所以$-36$的平方根是$\pm6i$.
(2) 因为$\mathrm{i}^1=\mathrm{i},\mathrm{i}^2=-1,\mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\mathrm{i}^4=1,\mathrm{i}^5=\mathrm{i},\mathrm{i}^6=-1$,
$\mathrm{i}^7=-\mathrm{i},\mathrm{i}^8=1,\dots$,
所以从$\mathrm{i}^1$开始这列数按$\mathrm{i},-1,-\mathrm{i},1$循环.
因为$2\ 025÷4=506···1$,
所以$\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\dots+\mathrm{i}^{2\ 025}=506×(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1)+\mathrm{i}=\mathrm{i}$.
(3) $(3+2\mathrm{i})^2=9+12\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2=5+12\mathrm{i}$.
$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=9-4\mathrm{i}^2=13$.

【分析】
本题是新定义类题型，首先明确题干给出的i的性质：$\mathrm{i}^2=-1$，再按小问逐一思考：
（1）仿照题干示例，要找负数的平方根，只需将负数拆成-1乘正数，正数的算术平方根乘以±i，平方后就等于该负数，据此按要求书写即可；
（2）先计算前几个i的幂次，发现每4个为一个循环组，每组的和为0，再计算2025里有多少个完整循环组、余下几项，代入求和即可；
（3）直接运用已学的完全平方公式、平方差公式展开，再将$\mathrm{i}^2=-1$代入化简计算即可。
【解析】
(1) 求-25的平方根：因为$(\pm5i)^2 = (\pm5)^2 · i^2 = 25 × (-1) = -25$，所以$-25$的平方根是$\pm5i$；
求-36的平方根：因为$(\pm6i)^2 = (\pm6)^2 · i^2 = 36 × (-1) = -36$，所以$-36$的平方根是$\pm6i$。
(2) 先探究i的幂次规律：
$\mathrm{i}^1=\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^2=-1$，$\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2 · \mathrm{i} = -\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^4=(\mathrm{i}^2)^2=1$，$\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^4 · \mathrm{i} = \mathrm{i}$……
可见从$\mathrm{i}^1$开始，结果按$\mathrm{i},-1,-\mathrm{i},1$四个为一组循环出现，且每组的和为$\mathrm{i} + (-1) + (-\mathrm{i}) + 1 = 0$。
计算得$2025 ÷ 4 = 506······1$，即共有506个完整循环组，剩余1项为$\mathrm{i}^{2025}=\mathrm{i}$。
所以$\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\dots+\mathrm{i}^{2025}=506×0+\mathrm{i}=\mathrm{i}$。
(3) 利用完全平方公式计算：
$(3+2\mathrm{i})^2 = 3^2 + 2 × 3 × 2\mathrm{i} + (2\mathrm{i})^2 = 9 + 12\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2$，代入$\mathrm{i}^2=-1$得$9 + 12\mathrm{i} -4=5+12\mathrm{i}$。
利用平方差公式计算：
$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i}) = 3^2 - (2\mathrm{i})^2 = 9 - 4\mathrm{i}^2$，代入$\mathrm{i}^2=-1$得$9 +4=13$。
【答案】
(1) 因为$(\pm5i)^2=-25$，所以$-25$的平方根是$\pm5i$；因为$(\pm6i)^2=-36$，所以$-36$的平方根是$\pm6i$。
(2) $\mathrm{i}$
(3) $(3+2\mathrm{i})^2=5+12\mathrm{i}$，$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=13$
【知识点】
平方根的定义，数字规律探究，乘法公式应用
【点评】
本题为新定义阅读题，核心是理解题干给出的i的运算规则，结合已学的平方根、整式乘法公式等知识解决问题，侧重考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7