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6 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有
0.8a
只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率为$\frac{5}{8}$
。答案
6. $0.8a$；$\frac{5}{8}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①求20年后存活的动物数量：根据概率的意义，用刚出生的总只数乘活到20岁的概率，即可得到对应存活数量；②求现年20岁的动物活到25岁的概率：首先明确，能活到25岁的动物一定已经活到了20岁，因此该概率等于“活到25岁的动物数量”除以“活到20岁的动物数量”，消去总数量a即可得到结果。
【解析】
1. 计算20年后存活的数量：
刚出生的动物共有a只，活到20岁的概率为0.8，因此20年后存活的数量为总只数×对应概率，即：$a × 0.8 = 0.8a$（只）。
2. 计算现年20岁的动物活到25岁的概率：
首先，活到25岁的动物总数量为$a × 0.5 = 0.5a$（只），且这些动物全部包含在20年后存活的0.8a只动物中。
因此现年20岁的动物活到25岁的概率 = 活到25岁的数量 ÷ 20岁存活的数量，即：
$P = \frac{0.5a}{0.8a} = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8}$。
【答案】
$0.8a$；$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率的意义；概率的简单应用；简单概率计算
【点评】
本题考查概率在实际问题中的应用，易错点是求解第二个空时，容易忽略“现年20岁”的前提条件，误用全体新生动物作为统计范围。解题时只要明确计算概率的样本范围，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：①求20年后存活的动物数量：根据概率的意义，用刚出生的总只数乘活到20岁的概率，即可得到对应存活数量；②求现年20岁的动物活到25岁的概率：首先明确，能活到25岁的动物一定已经活到了20岁，因此该概率等于“活到25岁的动物数量”除以“活到20岁的动物数量”，消去总数量a即可得到结果。
【解析】
1. 计算20年后存活的数量：
刚出生的动物共有a只，活到20岁的概率为0.8，因此20年后存活的数量为总只数×对应概率，即：$a × 0.8 = 0.8a$（只）。
2. 计算现年20岁的动物活到25岁的概率：
首先，活到25岁的动物总数量为$a × 0.5 = 0.5a$（只），且这些动物全部包含在20年后存活的0.8a只动物中。
因此现年20岁的动物活到25岁的概率 = 活到25岁的数量 ÷ 20岁存活的数量，即：
$P = \frac{0.5a}{0.8a} = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8}$。
【答案】
$0.8a$；$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率的意义；概率的简单应用；简单概率计算
【点评】
本题考查概率在实际问题中的应用，易错点是求解第二个空时，容易忽略“现年20岁”的前提条件，误用全体新生动物作为统计范围。解题时只要明确计算概率的样本范围，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.7
7 [2024泸州]一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出1个球是白球的概率是$\frac{2}{3}$，则黄球的个数为
3
。答案
7. 3
解析
【分析】
本题考查概率公式的应用，解题思路如下：首先回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的样本数÷总样本数。本题中摸出白球的概率已知，白球个数已知，我们可以先设黄球的个数为未知数，用白球个数加黄球个数得到总球数，再结合概率公式列方程，最后解方程求出黄球个数即可。
【解析】
解：设黄球的个数为$ x $个，则盒子中球的总个数为$ (6+x) $个。
根据概率公式，从中随机摸出1个球是白球的概率为：
$\frac{6}{6+x}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：
$2(6+x)=6×3$
化简得：
$12+2x=18$
移项计算得：
$2x=6$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$6+x=9≠0$，所以$x=3$是原方程的解，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
概率计算公式，分式方程的应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，通过建立方程求解未知量，计算过程简单，注意解分式方程后要检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.9
本题考查概率公式的应用，解题思路如下：首先回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的样本数÷总样本数。本题中摸出白球的概率已知，白球个数已知，我们可以先设黄球的个数为未知数，用白球个数加黄球个数得到总球数，再结合概率公式列方程，最后解方程求出黄球个数即可。
【解析】
解：设黄球的个数为$ x $个，则盒子中球的总个数为$ (6+x) $个。
根据概率公式，从中随机摸出1个球是白球的概率为：
$\frac{6}{6+x}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：
$2(6+x)=6×3$
化简得：
$12+2x=18$
移项计算得：
$2x=6$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$6+x=9≠0$，所以$x=3$是原方程的解，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
概率计算公式，分式方程的应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，通过建立方程求解未知量，计算过程简单，注意解分式方程后要检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.9
8 一个口袋中共放有 290 个红、黑、白三种颜色的质地、大小、形状都相同的球.若红球个数比黑球个数的 2 倍多 40,从口袋中任取 1 个球是白球的概率为$\frac{1}{29}$.求：
（1）口袋中红球的个数；
（2）从口袋中任取 1 个球是黑球的概率.
（1）口袋中红球的个数；
（2）从口袋中任取 1 个球是黑球的概率.
答案
8.（1）设口袋中黑球有$x$个，则红球有$(2x+40)$个. $\therefore$ 口袋中白球的个数为$290-x-(2x+40)=250-3x$. 根据题意，得$\frac{250-3x}{290}=\frac{1}{29}$，解得$x=80$. $\therefore 2x+40=200$，$\therefore$ 口袋中红球的个数为200
（2）由(1)，得口袋中黑球的个数为80，$\therefore$ 从口袋中任取 1 个球是黑球的概率为$\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$
（2）由(1)，得口袋中黑球的个数为80，$\therefore$ 从口袋中任取 1 个球是黑球的概率为$\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$
解析
【分析】
解题时我们可以结合数量关系设未知数，再利用概率公式建立方程求解：首先，已知红球个数和黑球个数存在直接的倍数关系，优先设黑球个数为x，即可用含x的式子表示出红球个数，再用总球数减去红球、黑球的个数得到白球个数；接着根据“概率=所求情况数与总情况数之比”，结合白球的概率列出一元一次方程，解出x后即可计算红球个数；最后求黑球的概率，直接用黑球个数除以总球数化简即可。
【解析】
（1）设口袋中黑球有$x$个，则红球有$(2x+40)$个。
$\therefore$ 口袋中白球的个数为$290-x-(2x+40)=250-3x$。
根据题意，任取1个球是白球的概率为$\frac{1}{29}$，可得：
$\frac{250-3x}{290}=\frac{1}{29}$
解方程得：$250-3x=10$，$3x=240$，$x=80$。
$\therefore 2x+40=2×80+40=200$。
（2）由(1)得口袋中黑球的个数为80，总球数为290，
$\therefore$ 从口袋中任取1个球是黑球的概率为$\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$。
【答案】
（1）200；（2）$\frac{8}{29}$
【知识点】
概率公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题核心是准确用未知数表示各类球的数量，结合概率公式找到等量关系列方程求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以结合数量关系设未知数，再利用概率公式建立方程求解：首先，已知红球个数和黑球个数存在直接的倍数关系，优先设黑球个数为x，即可用含x的式子表示出红球个数，再用总球数减去红球、黑球的个数得到白球个数；接着根据“概率=所求情况数与总情况数之比”，结合白球的概率列出一元一次方程，解出x后即可计算红球个数；最后求黑球的概率，直接用黑球个数除以总球数化简即可。
【解析】
（1）设口袋中黑球有$x$个，则红球有$(2x+40)$个。
$\therefore$ 口袋中白球的个数为$290-x-(2x+40)=250-3x$。
根据题意，任取1个球是白球的概率为$\frac{1}{29}$，可得：
$\frac{250-3x}{290}=\frac{1}{29}$
解方程得：$250-3x=10$，$3x=240$，$x=80$。
$\therefore 2x+40=2×80+40=200$。
（2）由(1)得口袋中黑球的个数为80，总球数为290，
$\therefore$ 从口袋中任取1个球是黑球的概率为$\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$。
【答案】
（1）200；（2）$\frac{8}{29}$
【知识点】
概率公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题核心是准确用未知数表示各类球的数量，结合概率公式找到等量关系列方程求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
9 端午节前，小明的爸爸去超市购买了大小、形状、质量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干只，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出1只粽子是火腿粽子的概率为$\frac{1}{3}$。妈妈从盒中取出3只火腿粽子和7只豆沙粽子送给爷爷、奶奶后，这时从盒中随机取出1只粽子是火腿粽子的概率为$\frac{2}{5}$。
（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有多少只？
（2）若小明从盒中剩余的粽子中一次任取2只，则恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为多少（用列表或画树状图的方法计算）？
（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有多少只？
（2）若小明从盒中剩余的粽子中一次任取2只，则恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为多少（用列表或画树状图的方法计算）？
答案
9.（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有$x$只、$y$只. 根据题意，得$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3},\\\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=5,\\y=10.\end{cases}$ 经检验，$\begin{cases}x=5,\\y=10\end{cases}$是原方程组的解. $\therefore$ 爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有5只、10只
（2）由(1)，易得盒中剩下2只火腿粽子，3只豆沙粽子，分别用$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，$B_3$表示，画树状图如图所示
. 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的结果有12种. $\therefore P$(恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只)$=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$解析
【分析】
（1）第一问可根据概率公式“随机事件概率=所求情况数÷总情况数”建立等量关系：设原有火腿粽子$x$只、豆沙粽子$y$只，原来取出火腿粽子的概率可列方程$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}$；拿走3只火腿粽子、7只豆沙粽子后，剩余火腿粽子为$(x-3)$只，剩余总粽子数为$(x+y-10)$只，此时取出火腿粽子的概率可列方程$\frac{x-3}{x+y-10}=\frac{2}{5}$，联立两个方程得到方程组，求解后检验结果是否符合题意即可。
（2）第二问先根据第一问的结果计算剩余的火腿粽子、豆沙粽子数量，本题属于不放回抽取2只粽子的概率问题，通过树状图列举所有等可能的抽取结果，再统计“恰有火腿、豆沙粽子各1只”的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有$x$只、$y$只，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3},\\\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5},\end{cases}$
化简第一个方程得$y=2x$，将其代入第二个方程：
$5(x-3)=2(x+2x-10)$
解得$x=5$，则$y=2×5=10$。
经检验，$\begin{cases}x=5,\\y=10\end{cases}$是原方程组的解，且符合实际意义。
（2）由（1）可得，剩余火腿粽子数量为$5-3=2$只，剩余豆沙粽子数量为$10-7=3$只。将2只火腿粽子记为$A_1,A_2$，3只豆沙粽子记为$B_1,B_2,B_3$，画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的抽取结果，其中恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的结果有12种，因此：
$P$(恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只)$=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
【答案】
（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有5只、10只；
（2）恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为$\frac{3}{5}$，树状图：
【知识点】
1. 方程组的应用
2. 概率公式
3. 树状图法求概率
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了用方程思想解决实际问题的能力，也考查了用列举法计算概率的方法。解题时要注意分式方程组的结果需要检验是否符合实际，列举抽取结果时需区分放回、不放回两种情况，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可根据概率公式“随机事件概率=所求情况数÷总情况数”建立等量关系：设原有火腿粽子$x$只、豆沙粽子$y$只，原来取出火腿粽子的概率可列方程$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}$；拿走3只火腿粽子、7只豆沙粽子后，剩余火腿粽子为$(x-3)$只，剩余总粽子数为$(x+y-10)$只，此时取出火腿粽子的概率可列方程$\frac{x-3}{x+y-10}=\frac{2}{5}$，联立两个方程得到方程组，求解后检验结果是否符合题意即可。
（2）第二问先根据第一问的结果计算剩余的火腿粽子、豆沙粽子数量，本题属于不放回抽取2只粽子的概率问题，通过树状图列举所有等可能的抽取结果，再统计“恰有火腿、豆沙粽子各1只”的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有$x$只、$y$只，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3},\\\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5},\end{cases}$
化简第一个方程得$y=2x$，将其代入第二个方程：
$5(x-3)=2(x+2x-10)$
解得$x=5$，则$y=2×5=10$。
经检验，$\begin{cases}x=5,\\y=10\end{cases}$是原方程组的解，且符合实际意义。
（2）由（1）可得，剩余火腿粽子数量为$5-3=2$只，剩余豆沙粽子数量为$10-7=3$只。将2只火腿粽子记为$A_1,A_2$，3只豆沙粽子记为$B_1,B_2,B_3$，画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的抽取结果，其中恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的结果有12种，因此：
$P$(恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只)$=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
【答案】
（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有5只、10只；
（2）恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为$\frac{3}{5}$，树状图：
【知识点】
1. 方程组的应用
2. 概率公式
3. 树状图法求概率
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了用方程思想解决实际问题的能力，也考查了用列举法计算概率的方法。解题时要注意分式方程组的结果需要检验是否符合实际，列举抽取结果时需区分放回、不放回两种情况，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
