1 如图，$AB=AD$，添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC ≌ △ ADC$ 的是 （）

A.$CB=CD$
B.$∠ BAC=∠ DAC$
C.$∠ BCA=∠ DCA$
D.$∠ B=∠ D=90°$

1. C

【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△ADC中，已有AB=AD，且AC是两个三角形的公共边，因此AC=AC，即已经得到两组边对应相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL），逐一分析每个选项添加后是否能判定两三角形全等，即可得到答案。
【解析】
已知在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC为公共边，因此AC=AC。
选项A：添加CB=CD，此时三组边分别对应相等，满足SSS判定定理，可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项B：添加∠BAC=∠DAC，此时两边及两边的夹角对应相等，满足SAS判定定理，可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项C：添加∠BCA=∠DCA，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无对应的全等判定定理，无法判定△ABC≌△ADC，符合题意；
选项D：添加∠B=∠D=90°，两个三角形均为直角三角形，满足HL判定定理（斜边AC公共，直角边AB=AD），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形HL判定；公共边的应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题时要先挖掘题中公共边这类隐含的相等条件，再结合已知条件和各判定定理逐一验证，需要注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8

2 如图，$CE ⊥ AB$，$DF ⊥ AB$，垂足分别为$E,F$，$AF=BE$，且$AC=BD$，则下列结论不一定正确的是（）

A.$AC // BD$
B.$∠ C + ∠ B = 90°$
C.$∠ A = ∠ D$
D.$\mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ BDF$

2. C

【分析】
解题思路如下：首先由CE、DF都垂直AB，可得△ACE和△BDF都是直角三角形；再根据AF=BE，减去公共线段EF可推出AE=BF，结合已知AC=BD，用HL定理即可证明两个直角三角形全等；之后根据全等三角形的对应角相等得到角的关系，再逐一验证各个选项是否正确即可。
【解析】
解：
∵$CE⊥AB$，$DF⊥AB$，
∴$∠AEC=∠BFD=90°$，
∵$AF=BE$，
∴$AF - EF = BE - EF$，即$AE=BF$，
在$\mathrm{Rt}△ACE$和$\mathrm{Rt}△BDF$中，
$\{\begin{array}{l}AC=BD\\ AE=BF\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ACE ≌ \mathrm{Rt}△BDF$（HL），故D选项正确，不符合题意；
由全等可得$∠A=∠B$，$∠C=∠D$，
∵$∠A=∠B$，
∴$AC// BD$（内错角相等，两直线平行），故A选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$∠C+∠A=90°$，又
∵$∠A=∠B$，
∴$∠C+∠B=90°$，故B选项正确，不符合题意；
由全等可知$∠A=∠B$，$∠C=∠D$，无法推出$∠A=∠D$，故C选项不一定正确，符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是先证得两个直角三角形全等，再利用全等的性质推导角的关系，进而判断各选项的正误。
【难度系数】
0.7

3 [2025苏州段考]如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，要使$△ ABD≌△ ACD$。若直接根据“HL”判定，则还需要添加条件：。

3. $AB=AC$

【分析】
要使用“HL”判定两个直角三角形全等，首先需明确HL的判定条件：两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，则两三角形全等。首先结合已知条件分析：AD⊥BC，可得△ABD和△ACD均为直角三角形，且AD是两个三角形的公共直角边，已经满足一条直角边对应相等，因此只需补充斜边对应相等的条件即可，两个三角形的斜边分别为AB和AC，故添加AB=AC即可满足判定要求。
【解析】
∵ $AD⊥BC$，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形。
两个三角形中已有公共直角边$AD=AD$，若根据“HL”判定全等，还需斜边对应相等，即$AB=AC$。
此时在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$\begin{cases}AD=AD\\AB=AC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
HL判定定理、全等三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定的应用，解题时需先结合已知条件确定已满足的判定要素，再根据判定定理补充缺失的条件即可，是对基础判定定理的直接考查。
【难度系数】
0.8

4 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$E$为$AC$上一点,$ED⊥ AB$于点$D$,$BC=BD$.若$AC=3\ \mathrm{cm}$,则$AE+DE=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

4. 3

【分析】
本题要求$AE+DE$的长度，可通过证明直角三角形全等来实现线段的等量转换求解。首先观察到$Rt△ BDE$和$Rt△ BCE$有公共斜边$BE$，且已知$BC=BD$，满足HL全等的判定条件；全等后可得$DE=CE$，即可将$AE+DE$转化为$AE+CE$，也就是$AC$的长度，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
$\because ED⊥ AB$，$∠ C=90°$
$\therefore ∠ BDE=∠ C=90°$
在$Rt△ BDE$和$Rt△ BCE$中：
$\begin{cases} BD=BC \\ BE=BE \end{cases}$
$\therefore Rt△ BDE ≌ Rt△ BCE$（HL）
$\therefore DE=CE$
$\therefore AE+DE = AE+CE = AC$
$\because AC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore AE+DE=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、线段等量代换
【点评】
本题是利用全等三角形转化线段的基础题，解题核心是找到满足全等条件的直角三角形，将所求线段和转化为已知长度的线段，简化计算。
【难度系数】
0.7

5 [2025重庆改编]如图，点D，E分别在∠BAC的边AB，AC上，作BE⊥AC，CD⊥AB，BE，CD相交于点O，连接AO。当OB=OC时，求证：AO平分∠BAC。

5. $\because BE⊥AC,CD⊥AB,\therefore ∠ADC=∠AEB=90°,∠BDO=∠CEO=90°$. 在 $△DOB$ 和 $△EOC$ 中, $\begin{cases} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC, \end{cases}$
$\therefore △DOB≌△EOC(AAS),\therefore OD=OE.$ 在 $\mathrm{Rt}△ADO$ 和 $\mathrm{Rt}△AEO$ 中, $\begin{cases} OD=OE,\\ OA=OA, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ADO ≌ \mathrm{Rt}△AEO(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠DAO=∠EAO,\therefore AO$ 平分$∠BAC$

【分析】
要证明AO平分∠BAC，即需证∠DAO=∠EAO。这两个角分别在Rt△ADO和Rt△AEO中，已知两三角形有公共边OA，因此只需证明直角边OD=OE即可证得两直角三角形全等。要得OD=OE，可利用已知的OB=OC，结合垂直得到的直角、对顶角相等，用AAS证明△DOB≌△EOC，即可得到OD=OE，后续即可推导出角相等的结论。
【解析】
$\because BE⊥ AC,CD⊥ AB,\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°,∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ DOB$和$△ EOC$中，
$\begin{cases}∠ BDO=∠ CEO,\\∠ DOB=∠ EOC,\\OB=OC,\end{cases}$
$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{AAS}),\therefore OD=OE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，
$\begin{cases}OD=OE,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAO=∠ EAO,\therefore AO$平分$∠ BAC$。
【答案】
AO平分$∠ BAC$
【知识点】
全等三角形AAS判定、直角三角形HL判定、角平分线判定
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，需要掌握由结论倒推所需证明条件的逆向分析思路，通过先证明小三角形全等得到过渡的边相等条件，再证明目标三角形全等，最终推出角相等的结论，很好地考察了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

6 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,且AE=CF,则图中相等的角(直角除外)有 ()

A.3对
B.4对
C.5对
D.6对

6. D

【分析】
首先观察已知条件，两组垂直可得两个直角三角形，结合斜边AD=BC、直角边AE=CF，可先利用HL证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到对应角相等，进而推导AD与BC的位置关系，结合AD=BC判定四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质和另一组直角三角形全等，按顺序逐一找出所有相等的非直角，避免漏数。
【解析】
1. 证明$Rt△ AED≌Rt△ CFB$：
∵$AE⊥BD$，$CF⊥BD$，
∴$∠ AED=∠ CFB=90°$，
在$Rt△ AED$和$Rt△ CFB$中，$\begin{cases}AD=BC\\AE=CF\end{cases}$，
∴$Rt△ AED≌Rt△ CFB(\mathrm{HL})$，
可得$∠ ADE=∠ CBF$，$∠ DAE=∠ BCF$，共2对相等非直角。
2. 判定四边形ABCD为平行四边形：
∵$∠ ADE=∠ CBF$，
∴$AD// BC$，又$AD=BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形，
可得$∠ BAD=∠ DCB$，$∠ ABC=∠ CDA$，且$AB// CD$、$AB=CD$，新增2对相等非直角，累计4对。
3. 证明$Rt△ ABE≌Rt△ CDF$：
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABE=∠ CDF$，为第5对相等非直角；
在$Rt△ ABE$和$Rt△ CDF$中，$\begin{cases}AB=CD\\AE=CF\end{cases}$，
∴$Rt△ ABE≌Rt△ CDF(\mathrm{HL})$，
可得$∠ BAE=∠ DCF$，为第6对相等非直角。
综上，直角除外的相等角共有6对。
【答案】
D
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 平行四边形的判定与性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查全等三角形、平行四边形的相关知识，对逻辑推导能力和细心程度有一定要求，解题时先通过全等证明得到角的关系，再推导平行四边形，按顺序梳理相等角即可避免漏数。
【难度系数】
0.7