7 [2025苏州工业园区段考]在如图所示的方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点),那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

7. C 【解析】如图,以 BC 为公共边的三角形有 3 个,以 AB为公共边的三角形有 0 个,以 AC 为公共边的三角形有 1 个,共3+0+1=4(个).

(第7题)

8 新考向 结论开放题 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，过点$D$分别作$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别是$E$，$F$。有下列结论：① $∠ ADC=90°$；② $DE=DF$；③ $AD=BC$；④ $BD=CD$。其中，不一定正确的是（填序号）。

8. ③

9 如图，CA平分$∠ DCB$，$CB=CD$，$DA$的延长线交$BC$于点$E$。若$∠ EAC=49°$，则$∠ BAE$的度数为。

9. $82°$ 【解析】设$∠ B=x,∠ BCA=y$,则易得$∠ BCA=∠ DCA=y$. 证$△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$,得$∠ B=∠ D=x$. 由$∠ EAC=∠ D+∠ DCA$,得$x+y=49°$. 在$△ ABC$中,由三角形的内角和为$180°$,得$∠ BAE=180°-49°-(x+y)=82°$.

10 分类讨论思想 [2024昆山段考]如图，$AB=30\ \mathrm{m}$，射线$AC⊥ AB$于点$A$，射线$BD⊥ AB$于点$B$，点$M$从点$B$向点$A$运动，速度为$1\ \mathrm{m/s}$，点$N$从点$B$向点$D$运动，速度为$4\ \mathrm{m/s}$，点$M$，$N$同时从点$B$出发。若射线$AC$上有一点$P$，使得$△ PAM$与$△ MBN$全等，则$AP$的长为$\mathrm{m}$。

10. 6或60 【解析】设运动时间为$x\ \mathrm{s}$,则$BM=x\ \mathrm{m},BN=4x\ \mathrm{m},AM=(30-x)\ \mathrm{m}.\because AC⊥ AB,BD⊥ AB,\therefore ∠ A=∠ B=90°,$ 分两种情况讨论. 当$△ AMP≌△ BNM$时,$AM=BN$,即$30-x=4x$,解得$x=6$,$\therefore AP=BM=6\ \mathrm{m}$. 当$△ AMP≌△ BMN$时,$AM=BM=\frac{1}{2}AB=15\ \mathrm{m}$,即$x=15$,$\therefore AP=BN=4×15=60(\mathrm{m}).$ 综上所述,$AP$的长为6 m或60 m.

11 转化与化归思想 如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD，DB，已知$CA=CB$，$DA=DB$，$EA=EB$。求证：$C$，$D$，$E$三点在同一条直线上。
（第11题）

11. 连接 $CD,ED.$ 在 $△ ADC$ 和 $△ BDC$ 中, $\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDC(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ BDC.$ 在$△ ADE$ 和 $△ BDE$ 中,$\begin{cases}AD=BD,\\AE=BE,\\ED=ED,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADE=∠ BDE. \because ∠ ADC+∠ BDC+∠ ADE+∠ BDE=360°,$
$\therefore 2∠ ADC+2∠ ADE=360°,\therefore ∠ ADC+∠ ADE=180°,$
$\therefore C,D,E$ 三点在同一条直线上

12 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E,F分别在AD,BC上,AE＝CF,过点A,C分别作直线EF的垂线,垂足分别为G,H.
（1）求证：$△ AGE ≌ △ CHF$.
（2）连接AC,线段GH与AC是否互相平分？请说明理由.

12. (1) $\because AG⊥ EF,CH⊥ EF,\therefore ∠ G=∠ H=90°.\because AD// BC,\therefore ∠ DEF=∠ CFH.\because ∠ AEG=∠ DEF,\therefore ∠ AEG=∠ CFH.$ 在 $△ AGE$ 和 $△ CHF$ 中, $\begin{cases}∠ G=∠ H,\\∠ AEG=∠ CFH,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ CHF(\mathrm{AAS})$ (2) 线段 $GH$ 与 $AC$ 互相平分
理由: 设 $GH,AC$ 交于点 $O.$ 由 (1), 得 $△ AGE≌△ CHF$,
$\therefore AG=CH.$ 在 $△ AGO$ 和 $△ CHO$ 中, $\begin{cases}∠ AOG=∠ COH,\\∠ G=∠ H,\\AG=CH,\end{cases}$
$\therefore △ AGO≌△ CHO(\mathrm{AAS}),\therefore AO=CO,GO=HO,$ 即线段$GH$ 与 $AC$ 互相平分.