7 如图，AD是△ABC的高，AD=BD，BE=AC，∠BAC=70°，则∠DBE的度数为 （）

A.25°
B.35°
C.20°
D.30°
（第7题）

7. A

【分析】
解题时先从已知条件入手：AD是△ABC的高，可得∠ADB=∠ADC=90°，即△BDE和△ADC都是直角三角形；已知BD=AD、BE=AC，满足直角三角形全等判定的HL条件，因此可先证Rt△BDE≌Rt△ADC，得到对应角∠DBE=∠DAC。接下来求∠DAC的度数即可：由AD=BD、∠ADB=90°可知△ABD是等腰直角三角形，可得∠BAD=45°，结合已知∠BAC=70°，用∠BAC减去∠BAD就能算出∠DAC的度数，进而得到∠DBE的度数。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
$\{\begin{array}{l}BE=AC\\ BD=AD\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE=∠DAC。
又
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=70°-45°=25°，
∴∠DBE=25°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题核心是通过全等将未知角转化为易求的角，再结合特殊三角形的角度特征计算，对全等判定的应用能力有一定考查，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

8 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=20$,$BC=10$,$PQ=AB$,$P$,$Q$两点分别在线段$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AX$上运动,且点$P$不与点$A$,$C$重合.当$CP$的长为________时,$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ QPA$.

8. 10

【分析】
要使$Rt△ABC$和$Rt△QPA$全等，首先可知两个三角形均为直角三角形：$∠C=90°$，$AX$垂直$AC$故$∠QAP=90°$，且题目已给出斜边$PQ=AB$，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再满足一组直角边对应相等即可。结合全等的对应顶点顺序$Rt△ABC≌Rt△QPA$，找到对应的直角边相等关系，结合已知$AC$的长度即可求出$CP$的长。
【解析】
∵ $AX⊥AC$，
∴ $∠QAP=∠C=90°$，
已知$Rt△ABC≌Rt△QPA$，且斜边$PQ=AB$，
根据全等三角形对应边相等，可得$PA=BC$，
∵ $BC=10$，
∴ $PA=10$，
又
∵ $AC=20$，点$P$不与点$A$、$C$重合，
∴ $CP=AC-PA=20-10=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及性质的应用，解题核心是根据全等的顶点对应关系准确匹配对应边，结合已知线段长度计算即可，需注意对应边匹配错误是这类题的常见失分点。
【难度系数】
0.7

9 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DF ⊥ AB$，垂足为F，$DE=DG$.若$△ ADG$，$△ AED$的面积分别为50，39，则$△ DEF$的面积为.

9. 5.5 【解析】如图,在 AC 上截取$AM=AE$,连接 DM,过点 D 作$DN⊥AC$于点 N. 由$△AED≌△AMD(\mathrm{SAS})$,得$DE=DM,S_{△AED}=S_{△AMD}=39,\therefore S_{△MDG}=S_{△ADG}-S_{△ADM}=50-39=11.$ 由$\mathrm{Rt}△DMN≌\mathrm{Rt}△DGN(\mathrm{HL})$,得$S_{△DMN}=S_{△DGN}=5.5.$ 由$△AFD≌△AND(\mathrm{AAS})$,得$S_{△AFD}=S_{△AND},\therefore S_{△AFD}-S_{△AED}=S_{△AND}-S_{△AMD},\therefore S_{△DEF}=S_{△DMN}=5.5.$

【分析】
解题时首先结合已知条件AD是角平分线、DF⊥AB，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AC的垂线DN，得到DF=DN，为证明直角三角形全等创造条件。接下来已知DE=DG，我们可以在AC上截取AM=AE，构造△AED和△AMD全等，将△AED的面积转化到AC边上，此时△ADG和△AMD的面积差就是△MDG的面积。再结合DE=DG=DM，可得△MDG是等腰三角形，DN是其底边上的高，因此△DMN和△DGN面积相等。最后通过全等三角形的面积相等，即可将所求△DEF的面积与△DMN的面积对应，求出结果。
【解析】
解：如图，在AC上截取$AM=AE$，连接DM，过点D作$DN⊥AC$于点N。
1. 证明$△ AED≌△ AMD$：
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ EAD=∠ MAD$。
在$△ AED$和$△ AMD$中：
$\begin{cases} AE=AM \\ ∠ EAD=∠ MAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ AED≌△ AMD(\mathrm{SAS})$，
∴$DE=DM$，$S_{△ AED}=S_{△ AMD}=39$，
∴$S_{△ MDG}=S_{△ ADG}-S_{△ AMD}=50-39=11$。
2. 证明$\mathrm{Rt}△ DMN≌\mathrm{Rt}△ DGN$：
已知$DE=DG$，结合$DE=DM$得$DM=DG$，
在$\mathrm{Rt}△ DMN$和$\mathrm{Rt}△ DGN$中：
$\begin{cases} DM=DG \\ DN=DN \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ DMN≌\mathrm{Rt}△ DGN(\mathrm{HL})$，
∴$S_{△ DMN}=S_{△ DGN}=\frac{1}{2}S_{△ MDG}=5.5$。
3. 推导$S_{△ DEF}=S_{△ DMN}$：
∵AD是角平分线，$DF⊥AB$，$DN⊥AC$，
∴$DF=DN$，
易证$△ AFD≌△ AND(\mathrm{AAS})$，得$S_{△ AFD}=S_{△ AND}$，
∴$S_{△ AFD}-S_{△ AED}=S_{△ AND}-S_{△ AMD}$，即$S_{△ DEF}=S_{△ DMN}=5.5$。
【答案】
5.5
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定(HL)
【点评】
本题是典型的几何面积计算类题型，核心解题思路是通过构造辅助线得到全等三角形，实现面积的转化，将未知面积和已知面积建立关联，要求学生熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的性质。
【难度系数】
0.3

10 教材P33习题T15变式 如图，$AB=AD$，$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，$E$，$F$分别是$BC$，$DC$的中点，连接$AE$，$AF$.求证:$AE=AF$.

10. 连接 AC. $\because CB⊥AB,CD⊥AD,\therefore ∠B=∠D=90°,$
$\therefore △ABC$ 和$△ADC$ 均是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ADC$中,$\begin{cases} AC=AC,\\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL}),\therefore BC=DC.$
$\because E,F$ 分别是$BC,DC$ 的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}DC,$
$\therefore BE=DF.$ 在$△ABE$ 和$△ADF$ 中,$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠B=∠D,\\ BE=DF, \end{cases}$ $\therefore △ABE≌△ADF(\mathrm{SAS}),\therefore AE=AF$

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题要证$AE=AF$，可尝试证明$△ ABE≌△ ADF$：已知$AB=AD$，$∠ B$和$∠ D$都是直角，还缺$BE=DF$的条件。因为$E、F$分别是$BC、DC$的中点，所以只要证得$BC=DC$即可。要证$BC=DC$，可连接$AC$，证明$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADC$全等：两个直角三角形有公共斜边$AC$，且直角边$AB=AD$，用HL定理即可证得全等得到$BC=DC$，进而推得$BE=DF$，最终证得$△ ABE≌△ ADF$得到$AE=AF$。
【解析】
连接$AC$.
$\because CB⊥ AB,CD⊥ AD,\therefore ∠ B=∠ D=90°$，
$\therefore △ ABC$和$△ ADC$均是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和 $\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\begin{cases} AC=AC,\\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}),\therefore BC=DC.$
$\because E,F$ 分别是$BC,DC$ 的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}DC,$
$\therefore BE=DF.$
在$△ ABE$ 和$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠ B=∠ D,\\ BE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADF(\mathrm{SAS}),\therefore AE=AF$
【答案】
$AE=AF$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；中点的定义
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用基础题型，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，通过两次全等逐步推导得到结论，可有效考查几何逻辑推理能力和全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.7

11 我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成‘HL’)”是判定直角三角形全等的特有方法.
(1) 如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上.若CE=BD,则线段AE和线段AD之间的数量关系是.
(2) 如图②,在△ABC中,90°＜∠BAC＜180°,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上.若CE=BD,则线段AE与线段AD相等吗?如果相等,请给出证明;如果不相等,请说明理由.

11. (1) $AE=AD$ (2) 相等 如图,过点 C 作$CM⊥BA$,交 BA 的延长线于点 M,过点 B 作$BN⊥CA$,交 CA 的延长线于点 N,则$∠M=∠N=90°$. 在$△CAM$ 和$△BAN$ 中,$\begin{cases} ∠M=∠N,\\ ∠CAM=∠BAN,\\ CA=BA, \end{cases}$
$\therefore △CAM≌△BAN(\mathrm{AAS}),\therefore CM=BN,AM=AN.$ 在$\mathrm{Rt}△CME$ 和 $\mathrm{Rt}△BND$ 中,$\begin{cases} CE=BD,\\ CM=BN, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△CME≌\mathrm{Rt}△BND(\mathrm{HL}),\therefore EM=DN,\therefore EM-AM=DN-AN,$即$AE=AD$

【分析】
(1) 要判断AE与AD的数量关系，观察到∠BAC=90°，因此△AEC、△ADB均为直角三角形，已知CE=BD、AC=AB，可直接用HL判定两个直角三角形全等，再结合全等三角形对应边相等即可得出结论。
(2) 当∠BAC为钝角时，没有直接可用的直角三角形，因此考虑构造辅助线得到直角：分别过点C、B作BA、CA延长线的垂线，先证明构造出的△CAM和△BAN全等，得到CM=BN、AM=AN，再用HL证明Rt△CME和Rt△BND全等，得到EM=DN，最后通过线段的和差推导即可得到AE与AD的关系。
【解析】
(1)
∵∠BAC=90°，
∴△ABD和△ACE都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ BD=CE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACE(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AD$。
(2) $AE=AD$，证明如下：
过点C作$CM⊥BA$，交BA的延长线于点M，过点B作$BN⊥CA$，交CA的延长线于点N，则$∠M=∠N=90°$。
在$△CAM$ 和$△BAN$ 中：
$\begin{cases} ∠M=∠N,\\ ∠CAM=∠BAN,\\ CA=BA, \end{cases}$
$\therefore △CAM≌△BAN(\mathrm{AAS}),\therefore CM=BN,AM=AN.$
在$\mathrm{Rt}△CME$ 和 $\mathrm{Rt}△BND$ 中：
$\begin{cases} CE=BD,\\ CM=BN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CME≌\mathrm{Rt}△BND(\mathrm{HL}),\therefore EM=DN,$
$\therefore EM-AM=DN-AN,$即$AE=AD$。
【答案】
(1) $AE=AD$
(2) 相等，证明如上。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形判定（AAS）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题围绕全等三角形的判定与性质设计，第一问直接考查HL定理的基础应用，第二问需要通过构造直角三角形将钝角三角形的问题转化为熟悉的直角三角形全等问题，渗透了转化思想，有助于锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7