7 如图，AD是△ABC的高，AD=BD，BE=AC，∠BAC=70°，则∠DBE的度数为 （）

A.25°
B.35°
C.20°
D.30°
（第7题）

7. A

8 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=20$,$BC=10$,$PQ=AB$,$P$,$Q$两点分别在线段$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AX$上运动,且点$P$不与点$A$,$C$重合.当$CP$的长为________时,$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ QPA$.

8. 10

9 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DF ⊥ AB$，垂足为F，$DE=DG$.若$△ ADG$，$△ AED$的面积分别为50，39，则$△ DEF$的面积为.

9. 5.5 【解析】如图,在 AC 上截取$AM=AE$,连接 DM,过点 D 作$DN⊥AC$于点 N. 由$△AED≌△AMD(\mathrm{SAS})$,得$DE=DM,S_{△AED}=S_{△AMD}=39,\therefore S_{△MDG}=S_{△ADG}-S_{△ADM}=50-39=11.$ 由$\mathrm{Rt}△DMN≌\mathrm{Rt}△DGN(\mathrm{HL})$,得$S_{△DMN}=S_{△DGN}=5.5.$ 由$△AFD≌△AND(\mathrm{AAS})$,得$S_{△AFD}=S_{△AND},\therefore S_{△AFD}-S_{△AED}=S_{△AND}-S_{△AMD},\therefore S_{△DEF}=S_{△DMN}=5.5.$

10 教材P33习题T15变式 如图，$AB=AD$，$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，$E$，$F$分别是$BC$，$DC$的中点，连接$AE$，$AF$.求证:$AE=AF$.

10. 连接 AC. $\because CB⊥AB,CD⊥AD,\therefore ∠B=∠D=90°,$
$\therefore △ABC$ 和$△ADC$ 均是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ADC$中,$\begin{cases} AC=AC,\\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL}),\therefore BC=DC.$
$\because E,F$ 分别是$BC,DC$ 的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}DC,$
$\therefore BE=DF.$ 在$△ABE$ 和$△ADF$ 中,$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠B=∠D,\\ BE=DF, \end{cases}$ $\therefore △ABE≌△ADF(\mathrm{SAS}),\therefore AE=AF$

11 我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成‘HL’)”是判定直角三角形全等的特有方法.
(1) 如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上.若CE=BD,则线段AE和线段AD之间的数量关系是.
(2) 如图②,在△ABC中,90°＜∠BAC＜180°,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上.若CE=BD,则线段AE与线段AD相等吗?如果相等,请给出证明;如果不相等,请说明理由.

11. (1) $AE=AD$ (2) 相等 如图,过点 C 作$CM⊥BA$,交 BA 的延长线于点 M,过点 B 作$BN⊥CA$,交 CA 的延长线于点 N,则$∠M=∠N=90°$. 在$△CAM$ 和$△BAN$ 中,$\begin{cases} ∠M=∠N,\\ ∠CAM=∠BAN,\\ CA=BA, \end{cases}$
$\therefore △CAM≌△BAN(\mathrm{AAS}),\therefore CM=BN,AM=AN.$ 在$\mathrm{Rt}△CME$ 和 $\mathrm{Rt}△BND$ 中,$\begin{cases} CE=BD,\\ CM=BN, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△CME≌\mathrm{Rt}△BND(\mathrm{HL}),\therefore EM=DN,\therefore EM-AM=DN-AN,$即$AE=AD$