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9.(秦淮区月考)已知一次函数$y=mx-4m$，当$1≤ x≤ 3$时，$2≤ y≤ 6$，则（
A.$m=2$
B.$m=-2$
C.$m=2$或$-2$
D.$m$的值不存在
B
）A.$m=2$
B.$m=-2$
C.$m=2$或$-2$
D.$m$的值不存在
答案
9.B
解析
【分析】
本题需要结合一次函数的增减性分类讨论求解。首先一次函数的增减性由斜率m的符号决定：当m＞0时，y随x的增大而增大；当m＜0时，y随x的增大而减小。我们分两种情况代入区间端点的x、y对应值求解m，再验证结果是否符合前提条件即可。
【解析】
解：由题意得m≠0，分两种情况讨论：
1. 当m＞0时，y随x的增大而增大，因此x取最小值1时y取最小值2，x取最大值3时y取最大值6：
把x=1，y=2代入解析式得：$2 = m - 4m$，解得$m=-\frac{2}{3}$，与m＞0矛盾，舍去；
把x=3，y=6代入解析式得：$6 = 3m - 4m$，解得$m=-6$，与m＞0矛盾，舍去；
故m＞0的情况不成立。
2. 当m＜0时，y随x的增大而减小，因此x取最小值1时y取最大值6，x取最大值3时y取最小值2：
把x=1，y=6代入解析式得：$6 = m - 4m$，解得$m=-2$，符合m＜0的条件；
验证：把$m=-2$、x=3代入解析式，得$y=-2×3 -4×(-2)=2$，符合2≤y≤6的取值范围，成立。
综上，m的值为-2。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；分类讨论思想；待定系数法求参数
【点评】
本题解题的关键是明确一次函数的增减性与系数的关系，分情况讨论后必须验证求解结果是否符合对应的前提条件，避免忽略m的符号限制导致错选。
【难度系数】
0.6
本题需要结合一次函数的增减性分类讨论求解。首先一次函数的增减性由斜率m的符号决定：当m＞0时，y随x的增大而增大；当m＜0时，y随x的增大而减小。我们分两种情况代入区间端点的x、y对应值求解m，再验证结果是否符合前提条件即可。
【解析】
解：由题意得m≠0，分两种情况讨论：
1. 当m＞0时，y随x的增大而增大，因此x取最小值1时y取最小值2，x取最大值3时y取最大值6：
把x=1，y=2代入解析式得：$2 = m - 4m$，解得$m=-\frac{2}{3}$，与m＞0矛盾，舍去；
把x=3，y=6代入解析式得：$6 = 3m - 4m$，解得$m=-6$，与m＞0矛盾，舍去；
故m＞0的情况不成立。
2. 当m＜0时，y随x的增大而减小，因此x取最小值1时y取最大值6，x取最大值3时y取最小值2：
把x=1，y=6代入解析式得：$6 = m - 4m$，解得$m=-2$，符合m＜0的条件；
验证：把$m=-2$、x=3代入解析式，得$y=-2×3 -4×(-2)=2$，符合2≤y≤6的取值范围，成立。
综上，m的值为-2。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；分类讨论思想；待定系数法求参数
【点评】
本题解题的关键是明确一次函数的增减性与系数的关系，分情况讨论后必须验证求解结果是否符合对应的前提条件，避免忽略m的符号限制导致错选。
【难度系数】
0.6
10.已知$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $是一次函数$ y=kx-3x+2 $图象上不同的两点，且$ (x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0 $，则$ k $的取值范围是
k＜3
。答案
10.$k＜3$
解析
【分析】
解题时首先将给定的一次函数解析式整理为标准形式，明确一次项系数；再根据已知条件$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$判断函数的增减性：乘积小于0说明自变量的差和函数值的差符号相反，即y随x的增大而减小；最后结合一次函数增减性与一次项系数的关系列不等式，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
先对一次函数解析式化简：
$y=kx-3x+2=(k-3)x+2$
因为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是函数图象上不同的两点，且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，说明当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$；当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，即该一次函数的函数值y随x的增大而减小。
根据一次函数的性质：对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），当$a＜0$时，y随x的增大而减小，因此可得：
$k-3＜0$
解得：$k＜3$
【答案】
$k＜3$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数解析式化简；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次函数增减性和自变量、函数值变化规律的对应关系，通过给定的乘积关系判断函数增减性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先将给定的一次函数解析式整理为标准形式，明确一次项系数；再根据已知条件$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$判断函数的增减性：乘积小于0说明自变量的差和函数值的差符号相反，即y随x的增大而减小；最后结合一次函数增减性与一次项系数的关系列不等式，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
先对一次函数解析式化简：
$y=kx-3x+2=(k-3)x+2$
因为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是函数图象上不同的两点，且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，说明当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$；当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，即该一次函数的函数值y随x的增大而减小。
根据一次函数的性质：对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），当$a＜0$时，y随x的增大而减小，因此可得：
$k-3＜0$
解得：$k＜3$
【答案】
$k＜3$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数解析式化简；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次函数增减性和自变量、函数值变化规律的对应关系，通过给定的乘积关系判断函数增减性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 一次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x+1$ 的图象如图所示，则当 $-1≤ y＜3$ 时，$x$ 的取值范围是
-4＜x≤4
。答案
11.$-4＜x≤4$
解析
【分析】
要确定y满足$-1≤ y＜3$时x的取值范围，可按如下思路思考：首先一次函数的函数值与自变量一一对应，我们先分别计算y取边界值3和-1时对应的x值；再根据一次函数的增减性判断y的大小和x的大小的对应关系；最后结合不等号要求确定x的取值范围，注意边界值是否可取。
【解析】
第一步：求y=3时对应的x值
将$y=3$代入解析式$y=-\dfrac{1}{2}x+1$，得：
$\begin{aligned}3&=-\dfrac{1}{2}x+1\\-\dfrac{1}{2}x&=2\\x&=-4\end{aligned}$
第二步：求y=-1时对应的x值
将$y=-1$代入解析式$y=-\dfrac{1}{2}x+1$，得：
$\begin{aligned}-1&=-\dfrac{1}{2}x+1\\-\dfrac{1}{2}x&=-2\\x&=4\end{aligned}$
第三步：根据函数增减性确定x范围
一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+1$中$k=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此y随x的增大而减小。
由此可得：当$y＜3$时，对应$x＞-4$；当$y≥-1$时，对应$x≤4$。
综上，x的取值范围是$-4＜x≤4$。
【答案】
$-4＜x≤4$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与不等式，一元一次方程求解
【点评】
本题考查一次函数性质的应用，解题的核心是明确一次函数的增减性，代入边界函数值求出对应自变量后，要根据增减性正确判断不等号的方向，同时注意边界值的取舍。
【难度系数】
0.7
要确定y满足$-1≤ y＜3$时x的取值范围，可按如下思路思考：首先一次函数的函数值与自变量一一对应，我们先分别计算y取边界值3和-1时对应的x值；再根据一次函数的增减性判断y的大小和x的大小的对应关系；最后结合不等号要求确定x的取值范围，注意边界值是否可取。
【解析】
第一步：求y=3时对应的x值
将$y=3$代入解析式$y=-\dfrac{1}{2}x+1$，得：
$\begin{aligned}3&=-\dfrac{1}{2}x+1\\-\dfrac{1}{2}x&=2\\x&=-4\end{aligned}$
第二步：求y=-1时对应的x值
将$y=-1$代入解析式$y=-\dfrac{1}{2}x+1$，得：
$\begin{aligned}-1&=-\dfrac{1}{2}x+1\\-\dfrac{1}{2}x&=-2\\x&=4\end{aligned}$
第三步：根据函数增减性确定x范围
一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+1$中$k=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此y随x的增大而减小。
由此可得：当$y＜3$时，对应$x＞-4$；当$y≥-1$时，对应$x≤4$。
综上，x的取值范围是$-4＜x≤4$。
【答案】
$-4＜x≤4$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与不等式，一元一次方程求解
【点评】
本题考查一次函数性质的应用，解题的核心是明确一次函数的增减性，代入边界函数值求出对应自变量后，要根据增减性正确判断不等号的方向，同时注意边界值的取舍。
【难度系数】
0.7
12.如图,直线AB的函数表达式为$y=\frac{4}{3}x+4$,与y轴交于点A,与x轴交于点B,P为线段AB上的一个动点,连接OP,则线段OP长度的最小值为
$\dfrac{12}{5}$
.答案
12.$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
要找到线段OP的最小值，依据“垂线段最短”可知，当OP垂直于AB时，OP的长度最小。解题步骤如下：首先求出直线AB与x轴、y轴的交点B、A的坐标，得到OA、OB的长度；再用勾股定理求出AB的长度；最后利用直角三角形AOB的面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上的高的一半），即可求出最短OP的长度。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于直线$y=\frac{4}{3}x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即点A坐标为$(0,4)$，$OA=4$；
令$y=0$，代入得$0=\frac{4}{3}x+4$，解得$x=-3$，即点B坐标为$(-3,0)$，$OB=3$。
第二步：求AB的长度
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
第三步：求最短OP的长度
根据垂线段最短，当$OP⊥ AB$时，OP长度最小。
$△ AOB$的面积可表示为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB$，也可表示为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OP$，因此：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OP$
化简得：$12=5OP$，解得$OP=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
垂线段最短；一次函数的图象性质；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何最值结合的典型基础题，解题的核心是明确垂线段最短的性质，结合面积法求斜边上的高，能有效考查学生对坐标计算、几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要找到线段OP的最小值，依据“垂线段最短”可知，当OP垂直于AB时，OP的长度最小。解题步骤如下：首先求出直线AB与x轴、y轴的交点B、A的坐标，得到OA、OB的长度；再用勾股定理求出AB的长度；最后利用直角三角形AOB的面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上的高的一半），即可求出最短OP的长度。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于直线$y=\frac{4}{3}x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即点A坐标为$(0,4)$，$OA=4$；
令$y=0$，代入得$0=\frac{4}{3}x+4$，解得$x=-3$，即点B坐标为$(-3,0)$，$OB=3$。
第二步：求AB的长度
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
第三步：求最短OP的长度
根据垂线段最短，当$OP⊥ AB$时，OP长度最小。
$△ AOB$的面积可表示为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB$，也可表示为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OP$，因此：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OP$
化简得：$12=5OP$，解得$OP=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
垂线段最短；一次函数的图象性质；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何最值结合的典型基础题，解题的核心是明确垂线段最短的性质，结合面积法求斜边上的高，能有效考查学生对坐标计算、几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13.作出函数$y=2x-4$的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)当$-2≤ x≤ 4$时,求$y$的取值范围;
(2)当$x$取什么值时,$y＜0,y=0,y＞0$?
(3)当$x$取何值时,$-4＜y＜2$?
(1)当$-2≤ x≤ 4$时,求$y$的取值范围;
(2)当$x$取什么值时,$y＜0,y=0,y＞0$?
(3)当$x$取何值时,$-4＜y＜2$?
答案
13.解:当$x=0$时,$y=-4$,当$y=0$时,$x=2$,即$y=2x-4$过点$(0,-4)$和点$(2,0)$,过这两点作直线即为$y=2x-4$的图象,
,从图象得出$y$随$x$的增大而增大.(1)当$x=-2$时,$y=-8$,当$x=4$,$y=4$,
∴当$-2≤x≤4$时,$y$的取值范围为$-8≤y≤4$.
(2)
∵当$y=0$时,$x=2$,
∴当$x＜2$时,$y＜0$;当$x=2$时,$y=0$;当$x＞2$时,$y＞0$.
(3)
∵当$y=-4$时,$x=0$;当$y=2$时,$x=3$,
∴当$x$的取值范围为$0＜x＜3$时,$-4＜y＜2$.
解析
【分析】
一次函数的图象是直线，我们可以先找到函数与x轴、y轴的两个交点，根据两点确定一条直线画出图象。该一次函数的比例系数k=2＞0，因此y随x的增大而增大，求解取值范围类问题时，只需要代入区间端点的x值求出对应y值，或代入y的端点值求出对应x值，结合增减性即可得到对应的取值范围；判断y与0的大小关系时，只需找到函数与x轴的交点，结合图象的位置即可得出x的取值。
【解析】
首先绘制函数$y=2x-4$的图象：
1. 求特殊点坐标：当$x=0$时，$y=2×0-4=-4$，得到点$(0,-4)$；当$y=0$时，$2x-4=0$，解得$x=2$，得到点$(2,0)$。过这两点画直线，即为$y=2x-4$的图象，由解析式可知$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
(1) 求$-2≤ x≤ 4$时y的取值范围：
分别代入区间端点的x值计算：当$x=-2$时，$y=2×(-2)-4=-8$；当$x=4$时，$y=2×4-4=4$。结合函数的增减性，可得y的取值范围为$-8≤y≤4$。
(2) 判断y与0的大小关系对应的x取值：
函数与x轴的交点为$(2,0)$，结合图象可知：当函数图象在x轴下方时$y＜0$，对应$x＜2$；当函数图象与x轴相交时$y=0$，对应$x=2$；当函数图象在x轴上方时$y＞0$，对应$x＞2$。
(3) 求$-4＜y＜2$对应的x取值：
分别代入y的端点值计算：当$y=-4$时，$2x-4=-4$，解得$x=0$；当$y=2$时，$2x-4=2$，解得$x=3$。结合函数的增减性，可得x的取值范围为$0＜x＜3$。
【答案】
当$x=0$时,$y=-4$,当$y=0$时,$x=2$,即$y=2x-4$过点$(0,-4)$和点$(2,0)$,过这两点作直线即为$y=2x-4$的图象,,从图象得出$y$随$x$的增大而增大.
(1)当$-2≤x≤4$时,$y$的取值范围为$\boldsymbol{-8≤y≤4}$;
(2)当$\boldsymbol{x＜2}$时,$y＜0$;当$\boldsymbol{x=2}$时,$y=0$;当$\boldsymbol{x＞2}$时,$y＞0$;
(3)当$\boldsymbol{0＜x＜3}$时,$-4＜y＜2$.
【知识点】
一次函数图象画法；一次函数的增减性；一次函数与方程不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，结合函数图象的性质可以快速求解函数值、自变量的取值范围问题，解题的核心是熟练掌握一次函数的增减性，理解函数图象与坐标轴交点的意义。
【难度系数】
0.7
一次函数的图象是直线，我们可以先找到函数与x轴、y轴的两个交点，根据两点确定一条直线画出图象。该一次函数的比例系数k=2＞0，因此y随x的增大而增大，求解取值范围类问题时，只需要代入区间端点的x值求出对应y值，或代入y的端点值求出对应x值，结合增减性即可得到对应的取值范围；判断y与0的大小关系时，只需找到函数与x轴的交点，结合图象的位置即可得出x的取值。
【解析】
首先绘制函数$y=2x-4$的图象：
1. 求特殊点坐标：当$x=0$时，$y=2×0-4=-4$，得到点$(0,-4)$；当$y=0$时，$2x-4=0$，解得$x=2$，得到点$(2,0)$。过这两点画直线，即为$y=2x-4$的图象，由解析式可知$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
(1) 求$-2≤ x≤ 4$时y的取值范围：
分别代入区间端点的x值计算：当$x=-2$时，$y=2×(-2)-4=-8$；当$x=4$时，$y=2×4-4=4$。结合函数的增减性，可得y的取值范围为$-8≤y≤4$。
(2) 判断y与0的大小关系对应的x取值：
函数与x轴的交点为$(2,0)$，结合图象可知：当函数图象在x轴下方时$y＜0$，对应$x＜2$；当函数图象与x轴相交时$y=0$，对应$x=2$；当函数图象在x轴上方时$y＞0$，对应$x＞2$。
(3) 求$-4＜y＜2$对应的x取值：
分别代入y的端点值计算：当$y=-4$时，$2x-4=-4$，解得$x=0$；当$y=2$时，$2x-4=2$，解得$x=3$。结合函数的增减性，可得x的取值范围为$0＜x＜3$。
【答案】
当$x=0$时,$y=-4$,当$y=0$时,$x=2$,即$y=2x-4$过点$(0,-4)$和点$(2,0)$,过这两点作直线即为$y=2x-4$的图象,
,从图象得出$y$随$x$的增大而增大.(1)当$-2≤x≤4$时,$y$的取值范围为$\boldsymbol{-8≤y≤4}$;
(2)当$\boldsymbol{x＜2}$时,$y＜0$;当$\boldsymbol{x=2}$时,$y=0$;当$\boldsymbol{x＞2}$时,$y＞0$;
(3)当$\boldsymbol{0＜x＜3}$时,$-4＜y＜2$.
【知识点】
一次函数图象画法；一次函数的增减性；一次函数与方程不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，结合函数图象的性质可以快速求解函数值、自变量的取值范围问题，解题的核心是熟练掌握一次函数的增减性，理解函数图象与坐标轴交点的意义。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点$P$的坐标为$(m+1,m-1)$，一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A,B$.若点$P$在$△ AOB$的内部，求$m$的取值范围.
答案
14.解:
∵当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$x=8$,
∴点$A$的坐标为$(8,0)$,点$B$的坐标为$(0,4)$.
由题意得$\begin{cases} 0＜m+1＜8,\\ 0＜m-1＜4,\\ -\dfrac{1}{2}(m+1)+4＞m-1, \end{cases}$
解得$1＜m＜3$.
∴$m$的取值范围为$1＜m＜3$.
∵当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$x=8$,
∴点$A$的坐标为$(8,0)$,点$B$的坐标为$(0,4)$.
由题意得$\begin{cases} 0＜m+1＜8,\\ 0＜m-1＜4,\\ -\dfrac{1}{2}(m+1)+4＞m-1, \end{cases}$
解得$1＜m＜3$.
∴$m$的取值范围为$1＜m＜3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标；再根据点P在△AOB内部的特征，确定点P横、纵坐标的取值范围，同时点P要在直线AB的下方（即点P的纵坐标小于直线AB在对应横坐标处的函数值），据此列出关于m的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先求A、B两点的坐标：
对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，因此点B的坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$0=-\dfrac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，因此点A的坐标为$(8,0)$。
因为点$P(m+1,m-1)$在$△ AOB$的内部，所以满足以下条件：
$\begin{cases} 0＜m+1＜8\quad①\\ 0＜m-1＜4\quad②\\ -\dfrac{1}{2}(m+1)+4＞m-1\quad③ \end{cases}$
解不等式①得：$-1＜m＜7$；
解不等式②得：$1＜m＜5$；
解不等式③：去括号得$-\dfrac{1}{2}m-\dfrac{1}{2}+4＞m-1$，移项合并得$\dfrac{3}{2}m＜\dfrac{9}{2}$，解得$m＜3$。
取三个解集的公共部分，得$1＜m＜3$。
【答案】
$1＜m＜3$
【知识点】
一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与不等式组结合的综合基础题，解题核心是将几何位置关系转化为代数不等式关系，准确列出约束条件后求解，注意最终结果要取所有不等式解集的公共部分。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标；再根据点P在△AOB内部的特征，确定点P横、纵坐标的取值范围，同时点P要在直线AB的下方（即点P的纵坐标小于直线AB在对应横坐标处的函数值），据此列出关于m的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先求A、B两点的坐标：
对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，因此点B的坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$0=-\dfrac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，因此点A的坐标为$(8,0)$。
因为点$P(m+1,m-1)$在$△ AOB$的内部，所以满足以下条件：
$\begin{cases} 0＜m+1＜8\quad①\\ 0＜m-1＜4\quad②\\ -\dfrac{1}{2}(m+1)+4＞m-1\quad③ \end{cases}$
解不等式①得：$-1＜m＜7$；
解不等式②得：$1＜m＜5$；
解不等式③：去括号得$-\dfrac{1}{2}m-\dfrac{1}{2}+4＞m-1$，移项合并得$\dfrac{3}{2}m＜\dfrac{9}{2}$，解得$m＜3$。
取三个解集的公共部分，得$1＜m＜3$。
【答案】
$1＜m＜3$
【知识点】
一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与不等式组结合的综合基础题，解题核心是将几何位置关系转化为代数不等式关系，准确列出约束条件后求解，注意最终结果要取所有不等式解集的公共部分。
【难度系数】
0.6
