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1. 一次函数$y=kx-2(k＞0)$的图象一定不经过的象限是 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一次函数图象经过的象限，需结合一次函数中系数k和常数项b的符号共同分析。首先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的性质：k的符号决定图象的升降趋势，b的符号决定图象与y轴交点的位置。本题已知$k＞0$，$b=-2＜0$，分别推导两种符号对应的图象特征，再结合特征判断不经过的象限即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b(k≠0)$：
1. 由$k＞0$可知，函数图象从左到右呈上升趋势，因此图象必然经过第一、第三象限；
2. 由$b=-2＜0$可知，函数图象与y轴的交点为$(0,-2)$，在y轴的负半轴上；
3. 结合以上两个特征，该一次函数图象上升且与y轴交于负半轴，因此图象经过第一、第三、第四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质
【点评】
本题是对一次函数基础性质的考察，解题关键是熟练掌握一次函数中k、b的符号与图象经过象限的对应规律，属于送分类基础题。
【难度系数】
0.9
要判断一次函数图象经过的象限，需结合一次函数中系数k和常数项b的符号共同分析。首先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的性质：k的符号决定图象的升降趋势，b的符号决定图象与y轴交点的位置。本题已知$k＞0$，$b=-2＜0$，分别推导两种符号对应的图象特征，再结合特征判断不经过的象限即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b(k≠0)$：
1. 由$k＞0$可知，函数图象从左到右呈上升趋势，因此图象必然经过第一、第三象限；
2. 由$b=-2＜0$可知，函数图象与y轴的交点为$(0,-2)$，在y轴的负半轴上；
3. 结合以上两个特征，该一次函数图象上升且与y轴交于负半轴，因此图象经过第一、第三、第四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质
【点评】
本题是对一次函数基础性质的考察，解题关键是熟练掌握一次函数中k、b的符号与图象经过象限的对应规律，属于送分类基础题。
【难度系数】
0.9
2. 已知点$(-\sqrt{5},y_1),(1,y_2),(-2,y_3)$都在直线$y=-\dfrac{3}{4}x+b$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 （
A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
A
）A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
2.A
解析
【分析】
本题可利用一次函数的增减性快速判断函数值大小，无需代入计算。解题思路如下：第一步先观察一次函数解析式中x的系数k的正负，确定y随x的变化规律；第二步比较三个点横坐标的大小；第三步结合增减性即可对应得出y值的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b(k≠ 0)$：
1. 确定增减性：本题中直线解析式为$y=-\dfrac{3}{4}x+b$，$k=-\dfrac{3}{4}＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，即横坐标$x$越大，对应的函数值$y$越小。
2. 比较横坐标大小：$\sqrt{5}\approx2.236$，因此$-\sqrt{5}\approx-2.236$，三个点的横坐标从小到大排序为：$-\sqrt{5} ＜ -2 ＜ 1$。
3. 对应判断y值大小：根据增减性，横坐标越大y值越小，因此$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性，实数大小比较
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，掌握一次函数k值和增减性的对应关系是解题关键，用增减性判断函数值大小比代入计算更简便高效。
【难度系数】
0.8
本题可利用一次函数的增减性快速判断函数值大小，无需代入计算。解题思路如下：第一步先观察一次函数解析式中x的系数k的正负，确定y随x的变化规律；第二步比较三个点横坐标的大小；第三步结合增减性即可对应得出y值的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b(k≠ 0)$：
1. 确定增减性：本题中直线解析式为$y=-\dfrac{3}{4}x+b$，$k=-\dfrac{3}{4}＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，即横坐标$x$越大，对应的函数值$y$越小。
2. 比较横坐标大小：$\sqrt{5}\approx2.236$，因此$-\sqrt{5}\approx-2.236$，三个点的横坐标从小到大排序为：$-\sqrt{5} ＜ -2 ＜ 1$。
3. 对应判断y值大小：根据增减性，横坐标越大y值越小，因此$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性，实数大小比较
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，掌握一次函数k值和增减性的对应关系是解题关键，用增减性判断函数值大小比代入计算更简便高效。
【难度系数】
0.8
3.若$k＜0$,则一次函数$y=kx+2$的图象大致是 （
C
） 答案
3.C
解析
【分析】
要判断一次函数的图象，需结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中系数$k$、$b$的几何意义分析：首先看$k$的符号确定直线的倾斜方向，再看$b$的符号确定直线与$y$轴的交点位置，逐步排除错误选项即可得到答案。
【解析】
对于一次函数$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）：
1. 由$ k ＜ 0 $可知，直线从左上向右下倾斜，$y$随$x$的增大而减小，因此排除倾斜方向为左下到右上的选项A、B；
2. 函数中$ b = 2 ＞ 0 $，说明直线与$y$轴的交点在$y$轴的正半轴（原点上方），因此排除交点在$y$轴负半轴的选项D。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础题，核心是掌握$k$决定直线倾斜方向、$b$决定直线与$y$轴交点位置的规律，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一次函数的图象，需结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中系数$k$、$b$的几何意义分析：首先看$k$的符号确定直线的倾斜方向，再看$b$的符号确定直线与$y$轴的交点位置，逐步排除错误选项即可得到答案。
【解析】
对于一次函数$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）：
1. 由$ k ＜ 0 $可知，直线从左上向右下倾斜，$y$随$x$的增大而减小，因此排除倾斜方向为左下到右上的选项A、B；
2. 函数中$ b = 2 ＞ 0 $，说明直线与$y$轴的交点在$y$轴的正半轴（原点上方），因此排除交点在$y$轴负半轴的选项D。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础题，核心是掌握$k$决定直线倾斜方向、$b$决定直线与$y$轴交点位置的规律，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.在同一平面直角坐标系中,作出函数①$y=x+1$,②$y=2x+1$,③$y=2x-1$,④$y=-2x+1$的图象,下列说法不正确的是（
A.②和③的图象相互平行
B.②的图象可由③的图象平移得到
C.①和④的图象关于$y$轴对称
D.③和④的图象关于$x$轴对称
C
）A.②和③的图象相互平行
B.②的图象可由③的图象平移得到
C.①和④的图象关于$y$轴对称
D.③和④的图象关于$x$轴对称
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路如下：首先回忆一次函数y=kx+b（k≠0）的核心性质：①k值相等、b值不等的两个一次函数图象互相平行，且可通过平移互相得到；②关于y轴对称的两个函数，将其中一个的x替换为-x后，解析式与另一个一致；③关于x轴对称的两个函数，将其中一个的y替换为-y后，解析式与另一个一致。接下来逐一分析每个选项，即可找到说法不正确的选项。
【解析】
先列出4个一次函数的k、b值：
①y=x+1中，k₁=1，b₁=1；②y=2x+1中，k₂=2，b₂=1；③y=2x-1中，k₃=2，b₃=-1；④y=-2x+1中，k₄=-2，b₄=1。
A选项：②和③的k值均为2，b值不同，因此图象互相平行，说法正确，不符合题意；
B选项：②和③k值相等，图象平行，将③的图象向上平移2个单位即可得到②的图象，说法正确，不符合题意；
C选项：若①和④的图象关于y轴对称，将①的x替换为-x，得到的解析式应为y=-x+1，与④的解析式y=-2x+1不一致，因此说法错误，符合题意；
D选项：若③和④的图象关于x轴对称，将③的y替换为-y，得到-y=2x-1，整理得y=-2x+1，与④的解析式一致，因此说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数的平移；一次函数的对称
【点评】
本题是一次函数基础性质的综合应用题，需要熟练掌握k、b对一次函数图象的影响，以及平移、对称的变换规律，熟记相关性质即可快速判断正误。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路如下：首先回忆一次函数y=kx+b（k≠0）的核心性质：①k值相等、b值不等的两个一次函数图象互相平行，且可通过平移互相得到；②关于y轴对称的两个函数，将其中一个的x替换为-x后，解析式与另一个一致；③关于x轴对称的两个函数，将其中一个的y替换为-y后，解析式与另一个一致。接下来逐一分析每个选项，即可找到说法不正确的选项。
【解析】
先列出4个一次函数的k、b值：
①y=x+1中，k₁=1，b₁=1；②y=2x+1中，k₂=2，b₂=1；③y=2x-1中，k₃=2，b₃=-1；④y=-2x+1中，k₄=-2，b₄=1。
A选项：②和③的k值均为2，b值不同，因此图象互相平行，说法正确，不符合题意；
B选项：②和③k值相等，图象平行，将③的图象向上平移2个单位即可得到②的图象，说法正确，不符合题意；
C选项：若①和④的图象关于y轴对称，将①的x替换为-x，得到的解析式应为y=-x+1，与④的解析式y=-2x+1不一致，因此说法错误，符合题意；
D选项：若③和④的图象关于x轴对称，将③的y替换为-y，得到-y=2x-1，整理得y=-2x+1，与④的解析式一致，因此说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数的平移；一次函数的对称
【点评】
本题是一次函数基础性质的综合应用题，需要熟练掌握k、b对一次函数图象的影响，以及平移、对称的变换规律，熟记相关性质即可快速判断正误。
【难度系数】
0.7
5.(高新区月考)规定$[k,b]$是一次函数$y=kx+b(k,b$为实数，$k≠0)$的“特征数”.若“特征数”是$[4,-m]$的一次函数是正比例函数，则点$(2-m,2+m)$所在的象限是 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的“特征数”定义，写出对应的一次函数表达式；再结合正比例函数的定义（正比例函数的常数项为0），列方程求出m的值；最后将m代入点的坐标，根据横、纵坐标的正负判断点所在的象限即可。
【解析】
1. 根据“特征数”的定义，“特征数”为$[4,-m]$的一次函数中，$k=4$，$b=-m$，因此该一次函数的表达式为：$y=4x - m$。
2. 已知该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，正比例函数的常数项为0，即：
$-m=0$，解得$m=0$。
3. 将$m=0$代入点$(2-m,2+m)$，可得：
横坐标：$2-0=2＞0$，纵坐标：$2+0=2＞0$。
4. 横、纵坐标均为正数的点在第一象限，因此该点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义；点的坐标与象限的关系；新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查基础函数性质和象限坐标特征，解题核心是准确理解新定义，熟练掌握正比例函数的结构特点，整体计算量小，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的“特征数”定义，写出对应的一次函数表达式；再结合正比例函数的定义（正比例函数的常数项为0），列方程求出m的值；最后将m代入点的坐标，根据横、纵坐标的正负判断点所在的象限即可。
【解析】
1. 根据“特征数”的定义，“特征数”为$[4,-m]$的一次函数中，$k=4$，$b=-m$，因此该一次函数的表达式为：$y=4x - m$。
2. 已知该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，正比例函数的常数项为0，即：
$-m=0$，解得$m=0$。
3. 将$m=0$代入点$(2-m,2+m)$，可得：
横坐标：$2-0=2＞0$，纵坐标：$2+0=2＞0$。
4. 横、纵坐标均为正数的点在第一象限，因此该点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义；点的坐标与象限的关系；新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查基础函数性质和象限坐标特征，解题核心是准确理解新定义，熟练掌握正比例函数的结构特点，整体计算量小，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题6分,共30分)
6.已知y－2与x成正比例,且当x＝－1时,y＝5,则y与x的函数表达式是
6.已知y－2与x成正比例,且当x＝－1时,y＝5,则y与x的函数表达式是
$y=-3x+2$
.答案
6.$y=-3x+2$
解析
【分析】
解题时首先要明确“两个量成正比例”的表达形式：若A与B成正比例，则可设A=kB（k为常数且k≠0）。本题中是y-2与x成正比例，因此先据此设出含参数k的关系式，再将已知的x、y的对应值代入关系式求出参数k，最后整理得到y与x的函数表达式即可。
【解析】
解：
∵ y－2与x成正比例，
∴ 设$ y - 2 = kx $（k为常数，且$ k ≠ 0 $），
将$ x=-1 $，$ y=5 $代入上式，得：
$ 5 - 2 = k × (-1) $
解得$ k = -3 $，
将$ k=-3 $代入$ y - 2 = kx $，得：
$ y - 2 = -3x $，
整理得$ y = -3x + 2 $。
【答案】
$ y=-3x+2 $
【知识点】
正比例的意义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解成正比例的两个量的代数表达形式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确“两个量成正比例”的表达形式：若A与B成正比例，则可设A=kB（k为常数且k≠0）。本题中是y-2与x成正比例，因此先据此设出含参数k的关系式，再将已知的x、y的对应值代入关系式求出参数k，最后整理得到y与x的函数表达式即可。
【解析】
解：
∵ y－2与x成正比例，
∴ 设$ y - 2 = kx $（k为常数，且$ k ≠ 0 $），
将$ x=-1 $，$ y=5 $代入上式，得：
$ 5 - 2 = k × (-1) $
解得$ k = -3 $，
将$ k=-3 $代入$ y - 2 = kx $，得：
$ y - 2 = -3x $，
整理得$ y = -3x + 2 $。
【答案】
$ y=-3x+2 $
【知识点】
正比例的意义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解成正比例的两个量的代数表达形式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
7.点$ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $在一次函数$ y=(a-2)x+1 $的图象上，当$ x_1＞x_2 $时，$ y_1＜y_2 $，则$ a $的取值范围是
$a＜2$
。答案
7.$a＜2$
解析
【分析】
首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），若$k＞0$，则$y$随$x$的增大而增大；若$k＜0$，则$y$随$x$的增大而减小。本题中给出当$x_1＞x_2$时$y_1＜y_2$，说明$x$越大对应的$y$值越小，即函数呈递减趋势，因此只需让一次项系数小于0，再解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：已知一次函数解析式为$y=(a-2)x+1$，
$\because$当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$，即$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$一次项系数小于0，即$a-2＜0$，
解不等式得：$a＜2$。
【答案】
$a＜2$
【知识点】
一次函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查一次函数的增减性与一次项系数符号的对应关系，解题核心是根据自变量和函数值的变化趋势判断系数符号，是对基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.8
首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），若$k＞0$，则$y$随$x$的增大而增大；若$k＜0$，则$y$随$x$的增大而减小。本题中给出当$x_1＞x_2$时$y_1＜y_2$，说明$x$越大对应的$y$值越小，即函数呈递减趋势，因此只需让一次项系数小于0，再解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：已知一次函数解析式为$y=(a-2)x+1$，
$\because$当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$，即$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$一次项系数小于0，即$a-2＜0$，
解不等式得：$a＜2$。
【答案】
$a＜2$
【知识点】
一次函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查一次函数的增减性与一次项系数符号的对应关系，解题核心是根据自变量和函数值的变化趋势判断系数符号，是对基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.8
一次函数$y=-2x+5$的图象与坐标轴围成的三角形的面积是
$\dfrac{25}{4}$
.答案
8.$\dfrac{25}{4}$
解析
【分析】
要求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，首先需明确：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，先求出两个交点的坐标，再以两个交点到原点的距离作为直角三角形的两条直角边，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求一次函数与y轴的交点坐标
令$x=0$，代入$y=-2x+5$，得$y=5$，即函数与y轴的交点为$(0,5)$，该点到原点的距离为5。
步骤2：求一次函数与x轴的交点坐标
令$y=0$，代入$y=-2x+5$，得$0=-2x+5$，解得$x=\frac{5}{2}$，即函数与x轴的交点为$(\frac{5}{2},0)$，该点到原点的距离为$\frac{5}{2}$。
步骤3：计算三角形面积
一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为5和$\frac{5}{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
一次函数图象特征；坐标轴点的坐标；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数图象相关的基础题型，解题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，计算时注意不要混淆横纵坐标的取值。
【难度系数】
0.8
要求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，首先需明确：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，先求出两个交点的坐标，再以两个交点到原点的距离作为直角三角形的两条直角边，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求一次函数与y轴的交点坐标
令$x=0$，代入$y=-2x+5$，得$y=5$，即函数与y轴的交点为$(0,5)$，该点到原点的距离为5。
步骤2：求一次函数与x轴的交点坐标
令$y=0$，代入$y=-2x+5$，得$0=-2x+5$，解得$x=\frac{5}{2}$，即函数与x轴的交点为$(\frac{5}{2},0)$，该点到原点的距离为$\frac{5}{2}$。
步骤3：计算三角形面积
一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为5和$\frac{5}{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
一次函数图象特征；坐标轴点的坐标；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数图象相关的基础题型，解题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，计算时注意不要混淆横纵坐标的取值。
【难度系数】
0.8
9.如图，点B，C分别在一次函数$y_1=2x$和一次函数$y_2=kx$的图象上，A，D是x轴上的两点.若四边形ABCD是正方形，则k的值为
$\dfrac{2}{3}$
.答案
9.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
我们需要先找到一次函数$y_2=kx$上点C的坐标关系，结合正方形的性质推导坐标：首先设OA的长度为$a(a＞0)$，点B在$y_1=2x$上且横坐标和A相同，代入即可得到B点坐标，进而得到正方形的边长；再根据正方形边长相等的性质，推导出点C的横、纵坐标，最后将点C坐标代入$y_2=kx$即可消去参数$a$，求出$k$的值。
【解析】
设线段OA的长为$a(a＞0)$，则点A坐标为$(a,0)$。
$\because$ 点B在$y_1=2x$的图象上，且$AB⊥ x$轴，
$\therefore$ 点B的横坐标为$a$，代入$y_1=2x$得$y=2a$，即$B(a,2a)$，
$\therefore$ 正方形ABCD的边长$AB=2a$，则$AD=AB=2a$，
$\therefore$ $OD=OA+AD=a+2a=3a$，
又$\because CD⊥ x$轴，$CD=AB=2a$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(3a,2a)$。
将$C(3a,2a)$代入$y_2=kx$得：
$2a=k·3a$，
$\because a≠0$，两边同时除以$a$得$3k=2$，
解得$k=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.正方形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合常考题，解题核心是通过设参数表示关键点坐标，再利用函数图象上的点满足函数解析式的特点求解，思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
我们需要先找到一次函数$y_2=kx$上点C的坐标关系，结合正方形的性质推导坐标：首先设OA的长度为$a(a＞0)$，点B在$y_1=2x$上且横坐标和A相同，代入即可得到B点坐标，进而得到正方形的边长；再根据正方形边长相等的性质，推导出点C的横、纵坐标，最后将点C坐标代入$y_2=kx$即可消去参数$a$，求出$k$的值。
【解析】
设线段OA的长为$a(a＞0)$，则点A坐标为$(a,0)$。
$\because$ 点B在$y_1=2x$的图象上，且$AB⊥ x$轴，
$\therefore$ 点B的横坐标为$a$，代入$y_1=2x$得$y=2a$，即$B(a,2a)$，
$\therefore$ 正方形ABCD的边长$AB=2a$，则$AD=AB=2a$，
$\therefore$ $OD=OA+AD=a+2a=3a$，
又$\because CD⊥ x$轴，$CD=AB=2a$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(3a,2a)$。
将$C(3a,2a)$代入$y_2=kx$得：
$2a=k·3a$，
$\because a≠0$，两边同时除以$a$得$3k=2$，
解得$k=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.正方形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合常考题，解题核心是通过设参数表示关键点坐标，再利用函数图象上的点满足函数解析式的特点求解，思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,有点A(1,3),B(2,1),在x轴和y轴上分别找点Q,P,使得四边形ABQP的周长最短,则点P的坐标为
$(0,\dfrac{5}{3})$
,点Q的坐标为$(\dfrac{5}{4},0)$
.答案
10.$(0,\dfrac{5}{3})$ $(\dfrac{5}{4},0)$
解析
【分析】
要使四边形ABQP的周长最短，首先观察到AB为固定线段，长度不变，因此只需保证AP+PQ+QB的和最小即可。根据最短路径问题的常用解法，通过作对称点将折线转化为直线段：作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，由对称性质可知AP=A'P，QB=QB'，因此AP+PQ+QB=A'P+PQ+QB'。根据两点之间线段最短，当A'、P、Q、B'四点共线时，上述线段和最小，此时直线A'B'与y轴的交点即为所求点P，与x轴的交点即为所求点Q，再求出直线解析式即可得到两点坐标。
【解析】
1. 求对称点坐标：
点A(1,3)关于y轴对称的点A'坐标为(-1,3)（关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变）；
点B(2,1)关于x轴对称的点B'坐标为(2,-1)（关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变）。
2. 求直线A'B'的解析式：
设直线A'B'的解析式为$ y = kx + b $，将A'(-1,3)、B'(2,-1)代入得方程组：
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 2k + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$ 3k = -4 $，解得$ k = -\dfrac{4}{3} $。
将$ k = -\dfrac{4}{3} $代入$ -k + b = 3 $，得$ \dfrac{4}{3} + b = 3 $，解得$ b = \dfrac{5}{3} $。
因此直线A'B'的解析式为$ y = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{5}{3} $。
3. 求P、Q坐标：
点P在y轴上，令x=0，代入解析式得$ y = \dfrac{5}{3} $，故P(0,$ \dfrac{5}{3} $)；
点Q在x轴上，令y=0，代入解析式得$ 0 = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{5}{3} $，解得$ x = \dfrac{5}{4} $，故Q($ \dfrac{5}{4} $,0)。
【答案】
$ (0,\dfrac{5}{3}) $；$ (\dfrac{5}{4},0) $
【知识点】
最短路径问题；轴对称的坐标性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是最短路径问题在平面直角坐标系中的典型应用，解题核心是利用轴对称将折线和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合一次函数的知识求交点坐标，有效考察了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
要使四边形ABQP的周长最短，首先观察到AB为固定线段，长度不变，因此只需保证AP+PQ+QB的和最小即可。根据最短路径问题的常用解法，通过作对称点将折线转化为直线段：作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，由对称性质可知AP=A'P，QB=QB'，因此AP+PQ+QB=A'P+PQ+QB'。根据两点之间线段最短，当A'、P、Q、B'四点共线时，上述线段和最小，此时直线A'B'与y轴的交点即为所求点P，与x轴的交点即为所求点Q，再求出直线解析式即可得到两点坐标。
【解析】
1. 求对称点坐标：
点A(1,3)关于y轴对称的点A'坐标为(-1,3)（关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变）；
点B(2,1)关于x轴对称的点B'坐标为(2,-1)（关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变）。
2. 求直线A'B'的解析式：
设直线A'B'的解析式为$ y = kx + b $，将A'(-1,3)、B'(2,-1)代入得方程组：
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 2k + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$ 3k = -4 $，解得$ k = -\dfrac{4}{3} $。
将$ k = -\dfrac{4}{3} $代入$ -k + b = 3 $，得$ \dfrac{4}{3} + b = 3 $，解得$ b = \dfrac{5}{3} $。
因此直线A'B'的解析式为$ y = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{5}{3} $。
3. 求P、Q坐标：
点P在y轴上，令x=0，代入解析式得$ y = \dfrac{5}{3} $，故P(0,$ \dfrac{5}{3} $)；
点Q在x轴上，令y=0，代入解析式得$ 0 = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{5}{3} $，解得$ x = \dfrac{5}{4} $，故Q($ \dfrac{5}{4} $,0)。
【答案】
$ (0,\dfrac{5}{3}) $；$ (\dfrac{5}{4},0) $
【知识点】
最短路径问题；轴对称的坐标性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是最短路径问题在平面直角坐标系中的典型应用，解题核心是利用轴对称将折线和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合一次函数的知识求交点坐标，有效考察了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
