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三、解答题(共40分)
11.(12分)某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克，批发价格为每千克2.5元.小王携带现金300元到该市场采购苹果，并以批发价买进.如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元.
(1)试写出y与x之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)画出相应的函数图象.
11.(12分)某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克，批发价格为每千克2.5元.小王携带现金300元到该市场采购苹果，并以批发价买进.如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元.
(1)试写出y与x之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)画出相应的函数图象.
答案
11.解:(1)根据题意,得 y 与 x 之间的函数表达式为 y=300-2.5x.
∵批发苹果不少于100千克时,批发价为每千克2.5元,
∴$x≥100$,且最多可以购买$300÷2.5=120$(千克).
故自变量 x 的取值范围是$100≤ x≤120$.
综上所述,y 与 x 之间的函数表达式为$y = 300 - 2.5x(100≤ x≤120)$.
(2)由(1)知,$y=300-2.5x(100≤ x≤120)$.
令$x=100$,则$y=50$;令$x=120$,则$y=0$.
画出的图象如答图.
解析
【分析】
解答本题分两步思考：
1. 求解函数表达式与自变量范围：首先明确剩余现金=总携带现金-购买苹果的花费，根据这个等量关系就能列出y关于x的表达式；再结合题目限制条件：一是批发价要求购买量不少于100千克，二是总现金只有300元，最多可购买的苹果重量为总钱数除以单价，两个限制结合就能得到x的取值范围。
2. 绘制函数图像：该函数是一次函数，且自变量有明确的取值范围，因此图像是线段，只需要计算区间两个端点对应的y值，得到两个端点坐标，在坐标系中描出实心端点后连线即可。
【解析】
(1) 由题意得，剩余现金等于总现金减去买苹果的支出，买x千克苹果的花费为2.5x元，因此函数表达式为：
$y = 300 - 2.5x$
接下来确定自变量x的取值范围：
① 按照批发价格的要求，批发苹果不少于100千克，因此$x≥100$；
② 小王总现金为300元，最多可购买苹果的重量为$300÷2.5=120$千克，因此$x≤120$。
综上，自变量x的取值范围是$100≤ x≤120$，因此y与x的函数关系为$\boldsymbol{y = 300 - 2.5x(100≤ x≤120)}$。
(2) 绘制函数图象：
该函数是定义域为$[100,120]$的一次函数，图象为线段：
① 计算端点值：当$x=100$时，$y=300-2.5×100=50$，得到端点$(100,50)$；当$x=120$时，$y=300-2.5×120=0$，得到端点$(120,0)$。
② 在平面直角坐标系中描出这两个实心点，连接两点所得的线段即为所求函数图象。
【答案】
(1) $y = 300 - 2.5x(100≤ x≤120)$
(2) 函数图象如下：
【知识点】
一次函数实际应用，自变量取值范围确定，一次函数图像绘制
【点评】
本题结合生活中的采购场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确梳理数量关系列函数式，尤其要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，绘制图像时避免画成整条直线，要符合定义域要求。
【难度系数】
0.8
解答本题分两步思考：
1. 求解函数表达式与自变量范围：首先明确剩余现金=总携带现金-购买苹果的花费，根据这个等量关系就能列出y关于x的表达式；再结合题目限制条件：一是批发价要求购买量不少于100千克，二是总现金只有300元，最多可购买的苹果重量为总钱数除以单价，两个限制结合就能得到x的取值范围。
2. 绘制函数图像：该函数是一次函数，且自变量有明确的取值范围，因此图像是线段，只需要计算区间两个端点对应的y值，得到两个端点坐标，在坐标系中描出实心端点后连线即可。
【解析】
(1) 由题意得，剩余现金等于总现金减去买苹果的支出，买x千克苹果的花费为2.5x元，因此函数表达式为：
$y = 300 - 2.5x$
接下来确定自变量x的取值范围：
① 按照批发价格的要求，批发苹果不少于100千克，因此$x≥100$；
② 小王总现金为300元，最多可购买苹果的重量为$300÷2.5=120$千克，因此$x≤120$。
综上，自变量x的取值范围是$100≤ x≤120$，因此y与x的函数关系为$\boldsymbol{y = 300 - 2.5x(100≤ x≤120)}$。
(2) 绘制函数图象：
该函数是定义域为$[100,120]$的一次函数，图象为线段：
① 计算端点值：当$x=100$时，$y=300-2.5×100=50$，得到端点$(100,50)$；当$x=120$时，$y=300-2.5×120=0$，得到端点$(120,0)$。
② 在平面直角坐标系中描出这两个实心点，连接两点所得的线段即为所求函数图象。
【答案】
(1) $y = 300 - 2.5x(100≤ x≤120)$
(2) 函数图象如下：
【知识点】
一次函数实际应用，自变量取值范围确定，一次函数图像绘制
【点评】
本题结合生活中的采购场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确梳理数量关系列函数式，尤其要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，绘制图像时避免画成整条直线，要符合定义域要求。
【难度系数】
0.8
12.(14分)已知一次函数$y=(2m+4)x+(3-n)$.
(1)当m______，n______时，y随x的增大而增大，且函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(2)当m______，n______时，此函数图象平行于直线$y=2x-3$；
(3)若x每增加1，y随之减小2，且此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求这个函数的表达式.
(1)当m______，n______时，y随x的增大而增大，且函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(2)当m______，n______时，此函数图象平行于直线$y=2x-3$；
(3)若x每增加1，y随之减小2，且此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求这个函数的表达式.
答案
12.(1)$＞-2$ $＞3$ (2)$=-1$ $≠6$
(3)解:设该函数图象经过点 T,点 T 的横坐标为 t,则$(2m+4)(t+1)+(3-n)-[(2m+4)t+(3-n)]=-2$,
解得$m=-3$,故$y=-2x+(3-n)$.
易得该函数图象与 x 轴的交点坐标为$(\dfrac{3-n}{2},0)$,与 y 轴的交点坐标为$(0,3-n)$,则$\dfrac{1}{2}·\left|\dfrac{3-n}{2}\right|·|3-n|=4$,解得$n=-1$或$n=7$.
综上所述,这个函数的表达式为$y=-2x+4$或$y=-2x-4$.
(3)解:设该函数图象经过点 T,点 T 的横坐标为 t,则$(2m+4)(t+1)+(3-n)-[(2m+4)t+(3-n)]=-2$,
解得$m=-3$,故$y=-2x+(3-n)$.
易得该函数图象与 x 轴的交点坐标为$(\dfrac{3-n}{2},0)$,与 y 轴的交点坐标为$(0,3-n)$,则$\dfrac{1}{2}·\left|\dfrac{3-n}{2}\right|·|3-n|=4$,解得$n=-1$或$n=7$.
综上所述,这个函数的表达式为$y=-2x+4$或$y=-2x-4$.
解析
【分析】
本题围绕一次函数的核心性质展开，各小问解题思路如下：
(1) 一次函数y随x增大而增大，说明一次项系数（斜率k）大于0；函数图象与y轴交点在x轴下方，说明常数项（截距b）小于0，分别列不等式求解即可。
(2) 两个一次函数图象平行的条件是斜率相等且截距不相等（避免两直线重合），据此列等式和不等式求解即可。
(3) 首先根据“x每增加1，y随之减小2”可直接得到斜率k的值，求出m的取值；再求出函数与x轴、y轴的交点坐标，利用三角形面积公式列方程，注意截距的正负需要用绝对值处理，求解得到n后即可得到函数表达式。
【解析】
(1) 要使y随x的增大而增大，则一次项系数大于0：
$2m+4＞0$，解得$m＞-2$；
要使函数图象与y轴的交点在x轴下方，即x=0时y＜0：
$3-n＜0$，解得$n＞3$。
(2) 函数图象平行于直线$y=2x-3$，首先斜率相等：
$2m+4=2$，解得$m=-1$；
其次两直线不能重合，因此截距不相等：
$3-n≠-3$，解得$n≠6$。
(3) 已知x每增加1，y随之减小2，说明函数斜率$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=-2$，因此：
$2m+4=-2$，解得$m=-3$，此时函数为$y=-2x+(3-n)$。
求函数与坐标轴的交点：
令$y=0$，解得$x=\frac{3-n}{2}$，即与x轴交点为$(\frac{3-n}{2},0)$；
令$x=0$，解得$y=3-n$，即与y轴交点为$(0,3-n)$。
函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，因此：
$\frac{1}{2} · \left|\frac{3-n}{2}\right| · |3-n| = 4$
整理得$\frac{(3-n)^2}{4}=4$，即$(3-n)^2=16$，开方得$3-n=\pm4$：
当$3-n=4$时，$n=-1$，函数为$y=-2x+4$；
当$3-n=-4$时，$n=7$，函数为$y=-2x-4$。
【答案】
(1)$＞-2$ $＞3$
(2)$=-1$ $≠6$
(3)$y=-2x+4$或$y=-2x-4$
【知识点】
一次函数的性质，两直线平行的条件，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，考察的均为一次函数的核心考点，解题时需要注意处理截距相关的面积问题时要加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕一次函数的核心性质展开，各小问解题思路如下：
(1) 一次函数y随x增大而增大，说明一次项系数（斜率k）大于0；函数图象与y轴交点在x轴下方，说明常数项（截距b）小于0，分别列不等式求解即可。
(2) 两个一次函数图象平行的条件是斜率相等且截距不相等（避免两直线重合），据此列等式和不等式求解即可。
(3) 首先根据“x每增加1，y随之减小2”可直接得到斜率k的值，求出m的取值；再求出函数与x轴、y轴的交点坐标，利用三角形面积公式列方程，注意截距的正负需要用绝对值处理，求解得到n后即可得到函数表达式。
【解析】
(1) 要使y随x的增大而增大，则一次项系数大于0：
$2m+4＞0$，解得$m＞-2$；
要使函数图象与y轴的交点在x轴下方，即x=0时y＜0：
$3-n＜0$，解得$n＞3$。
(2) 函数图象平行于直线$y=2x-3$，首先斜率相等：
$2m+4=2$，解得$m=-1$；
其次两直线不能重合，因此截距不相等：
$3-n≠-3$，解得$n≠6$。
(3) 已知x每增加1，y随之减小2，说明函数斜率$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=-2$，因此：
$2m+4=-2$，解得$m=-3$，此时函数为$y=-2x+(3-n)$。
求函数与坐标轴的交点：
令$y=0$，解得$x=\frac{3-n}{2}$，即与x轴交点为$(\frac{3-n}{2},0)$；
令$x=0$，解得$y=3-n$，即与y轴交点为$(0,3-n)$。
函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，因此：
$\frac{1}{2} · \left|\frac{3-n}{2}\right| · |3-n| = 4$
整理得$\frac{(3-n)^2}{4}=4$，即$(3-n)^2=16$，开方得$3-n=\pm4$：
当$3-n=4$时，$n=-1$，函数为$y=-2x+4$；
当$3-n=-4$时，$n=7$，函数为$y=-2x-4$。
【答案】
(1)$＞-2$ $＞3$
(2)$=-1$ $≠6$
(3)$y=-2x+4$或$y=-2x-4$
【知识点】
一次函数的性质，两直线平行的条件，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，考察的均为一次函数的核心考点，解题时需要注意处理截距相关的面积问题时要加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13.(14分)如图，直线$y=-\frac{4}{3}x+8$与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处。
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线AM的函数表达式；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，M，B'为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线AM的函数表达式；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，M，B'为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
13.解:(1)当$x=0$时,$y=8$,$\therefore B(0,8)$.
当$y=0$时,$-\dfrac{4}{3}x+8=0$,解得$x=6$,$\therefore A(6,0)$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,$OA=6$,$OB=8$,
$\therefore AB=10$.由折叠得$AB=AB'=10$,
$\therefore OB'=AB'-OA=10-6=4$.
设$OM=a$,则$BM=B'M=8-a$,
在$\mathrm{Rt}△ B'OM$中,由勾股定理,得$a^2+4^2=(8-a)^2$,
解得$a=3$.$\therefore M(0,3)$.
设直线 AM 的函数表达式为$y=kx+b$,
则$\begin{cases}6k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
$\therefore$直线 AM 的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
(3)在 x 轴上存在点 P,使得以点 P,M,B'为顶点的三角形是等腰三角形,如答图.
$\because M(0,3),B'(-4,0),\therefore B'M=5$.
①当$PB'=B'M$时,$P_1(-9,0),P_2(1,0)$.
②当$B'M=PM$时,$P_3(4,0)$.
③当$PB'=PM$时,作$B'M$的垂直平分线,交 x 轴于点$P_4$,交$B'M$于点 Q,则$P_4M=P_4B'$,设$P_4M=P_4B'=t$,则$OP_4=4-t$.
在$\mathrm{Rt}△ MOP_4$中,由勾股定理,得$3^2+(4-t)^2=t^2$,解得$t=\dfrac{25}{8}$,$\therefore OP_4=4-t=4-\dfrac{25}{8}=\dfrac{7}{8}$,$\therefore P_4(-\dfrac{7}{8},0)$.
综上所述,点 P 的坐标为$(-9,0)$或$(1,0)$或$(4,0)$或$(-\dfrac{7}{8},0)$.
解析
【分析】
(1)求直线与坐标轴的交点坐标，只需分别令x=0、y=0代入直线解析式求解，即可得到B、A两点的坐标。
(2)先在Rt△AOB中用勾股定理求出AB的长度，结合折叠前后对应边相等的性质得到AB'=AB，进而求出OB'的长度；设OM的长度为a，可得B'M=BM=8-a，在Rt△B'OM中利用勾股定理列方程求出a的值，得到M点坐标，再用待定系数法代入A、M两点坐标，即可求出直线AM的函数表达式。
(3)要判断x轴上是否存在点P使△PMB'为等腰三角形，需分三种情况分类讨论：①以B'为顶点，即PB'=B'M；②以M为顶点，即B'M=PM；③以P为顶点，即PB'=PM。分别结合勾股定理和坐标的性质计算每种情况下P点的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\frac{4}{3}x+8$：
当$x=0$时，$y=8$，$\therefore B(0,8)$；
当$y=0$时，$-\dfrac{4}{3}x+8=0$，解得$x=6$，$\therefore A(6,0)$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=6$，$OB=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质可得$AB=AB'=10$，$\therefore OB'=AB'-OA=10-6=4$。
设$OM=a$，则$BM=B'M=8-a$，在$\mathrm{Rt}△ B'OM$中，由勾股定理得：
$a^2+4^2=(8-a)^2$，
展开化简得$16=64-16a$，解得$a=3$，$\therefore M(0,3)$。
设直线AM的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}6k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\b=3\end{cases}$，
$\therefore$直线AM的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
(3) x轴上存在点P使得以点P，M，B'为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
由$M(0,3)$、$B'(-4,0)$，根据勾股定理得$B'M=\sqrt{(-4-0)^2+(0-3)^2}=5$，分三种情况讨论：
① 当$PB'=B'M=5$时：
若点P在$B'$左侧，$OP=OB'+PB'=4+5=9$，即$P_1(-9,0)$；
若点P在$B'$右侧，$OP=PB'-OB'=5-4=1$，即$P_2(1,0)$。
② 当$B'M=PM=5$时：
点M在y轴上，此时点P与点$B'$关于y轴对称，$\therefore P_3(4,0)$。
③ 当$PB'=PM$时：
作$B'M$的垂直平分线，交x轴于点$P_4$，设$P_4M=P_4B'=t$，则$OP_4=4-t$，
在$\mathrm{Rt}△ MOP_4$中，由勾股定理得$3^2+(4-t)^2=t^2$，
展开化简得$25-8t=0$，解得$t=\dfrac{25}{8}$，
$\therefore OP_4=4-\dfrac{25}{8}=\dfrac{7}{8}$，又$P_4$在x轴负半轴，$\therefore P_4(-\dfrac{7}{8},0)$。
综上所述，满足条件的点P的坐标为$(-9,0)$或$(1,0)$或$(4,0)$或$(-\dfrac{7}{8},0)$。
【答案】
(1)$A(6,0)$，$B(0,8)$；
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x+3$；
(3)存在，点P的坐标为$(-9,0)$、$(1,0)$、$(4,0)$、$(-\dfrac{7}{8},0)$。
【知识点】
一次函数解析式求解；折叠的性质；等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题型，结合了折叠变换、勾股定理、等腰三角形判定等核心知识点，解题时要注意利用折叠的不变性得到相等线段，处理等腰三角形存在性问题时需按顶点类型分类讨论，避免漏解，能很好地考查数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.5
(1)求直线与坐标轴的交点坐标，只需分别令x=0、y=0代入直线解析式求解，即可得到B、A两点的坐标。
(2)先在Rt△AOB中用勾股定理求出AB的长度，结合折叠前后对应边相等的性质得到AB'=AB，进而求出OB'的长度；设OM的长度为a，可得B'M=BM=8-a，在Rt△B'OM中利用勾股定理列方程求出a的值，得到M点坐标，再用待定系数法代入A、M两点坐标，即可求出直线AM的函数表达式。
(3)要判断x轴上是否存在点P使△PMB'为等腰三角形，需分三种情况分类讨论：①以B'为顶点，即PB'=B'M；②以M为顶点，即B'M=PM；③以P为顶点，即PB'=PM。分别结合勾股定理和坐标的性质计算每种情况下P点的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\frac{4}{3}x+8$：
当$x=0$时，$y=8$，$\therefore B(0,8)$；
当$y=0$时，$-\dfrac{4}{3}x+8=0$，解得$x=6$，$\therefore A(6,0)$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=6$，$OB=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质可得$AB=AB'=10$，$\therefore OB'=AB'-OA=10-6=4$。
设$OM=a$，则$BM=B'M=8-a$，在$\mathrm{Rt}△ B'OM$中，由勾股定理得：
$a^2+4^2=(8-a)^2$，
展开化简得$16=64-16a$，解得$a=3$，$\therefore M(0,3)$。
设直线AM的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}6k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\b=3\end{cases}$，
$\therefore$直线AM的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
(3) x轴上存在点P使得以点P，M，B'为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
由$M(0,3)$、$B'(-4,0)$，根据勾股定理得$B'M=\sqrt{(-4-0)^2+(0-3)^2}=5$，分三种情况讨论：
① 当$PB'=B'M=5$时：
若点P在$B'$左侧，$OP=OB'+PB'=4+5=9$，即$P_1(-9,0)$；
若点P在$B'$右侧，$OP=PB'-OB'=5-4=1$，即$P_2(1,0)$。
② 当$B'M=PM=5$时：
点M在y轴上，此时点P与点$B'$关于y轴对称，$\therefore P_3(4,0)$。
③ 当$PB'=PM$时：
作$B'M$的垂直平分线，交x轴于点$P_4$，设$P_4M=P_4B'=t$，则$OP_4=4-t$，
在$\mathrm{Rt}△ MOP_4$中，由勾股定理得$3^2+(4-t)^2=t^2$，
展开化简得$25-8t=0$，解得$t=\dfrac{25}{8}$，
$\therefore OP_4=4-\dfrac{25}{8}=\dfrac{7}{8}$，又$P_4$在x轴负半轴，$\therefore P_4(-\dfrac{7}{8},0)$。
综上所述，满足条件的点P的坐标为$(-9,0)$或$(1,0)$或$(4,0)$或$(-\dfrac{7}{8},0)$。
【答案】
(1)$A(6,0)$，$B(0,8)$；
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x+3$；
(3)存在，点P的坐标为$(-9,0)$、$(1,0)$、$(4,0)$、$(-\dfrac{7}{8},0)$。
【知识点】
一次函数解析式求解；折叠的性质；等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题型，结合了折叠变换、勾股定理、等腰三角形判定等核心知识点，解题时要注意利用折叠的不变性得到相等线段，处理等腰三角形存在性问题时需按顶点类型分类讨论，避免漏解，能很好地考查数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.5
