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1.(徐州期末)如图①,小明与妈妈购物结束后,同时从超市(点A)出发,沿AB步行回家(点B),小明先把部分物品送回家,然后立即沿原路返回,帮妈妈拿余下的物品,已知两人的速度大小均保持不变,设步行x(min)时两人之间的距离为y(m),从出发到再次相遇,y与x的函数关系如图②所示,根据图象,解决下列问题:
(1)图②中点P的实际意义为
(2)分别求小明与妈妈的速度;
(3)当x为何值时,两人相距100 m?
(1)图②中点P的实际意义为
小明从超市出发步行8 min时,正好将部分物品送到家
;(2)分别求小明与妈妈的速度;
(3)当x为何值时,两人相距100 m?
答案
1.(1)小明从超市出发步行8 min时,正好将部分物品送到家
(2)解:由题图可得,
小明的速度为 800÷8=100(m/min),
妈妈的速度为[800-(10-8)×100]÷10=60(m/min).
(3)解:当0＜x≤8时,100x-60x=100,解得x=2.5;
当8＜x≤10时,100(x-8)+60x=800-100,解得x=$\frac{75}{8}$;
当x＞10时,小明再次到家之前,100(x-10)-60(x-10)=100,解得x=12.5,
∵小明再次回到家用时为(800-60×10)÷100=2(min),
10+2=12＜12.5,
∴x=12.5不合实际,舍去.
综上可得,当x的值为2.5或$\frac{75}{8}$时,两人相距100 m.
(2)解:由题图可得,
小明的速度为 800÷8=100(m/min),
妈妈的速度为[800-(10-8)×100]÷10=60(m/min).
(3)解:当0＜x≤8时,100x-60x=100,解得x=2.5;
当8＜x≤10时,100(x-8)+60x=800-100,解得x=$\frac{75}{8}$;
当x＞10时,小明再次到家之前,100(x-10)-60(x-10)=100,解得x=12.5,
∵小明再次回到家用时为(800-60×10)÷100=2(min),
10+2=12＜12.5,
∴x=12.5不合实际,舍去.
综上可得,当x的值为2.5或$\frac{75}{8}$时,两人相距100 m.
解析
【分析】
(1) 结合题干行程信息和图象坐标分析：点P横坐标为8min，是小明走完全程到家的时间，此时两人距离达到最大值，据此可描述其实际意义。
(2) 求速度时，先根据小明8分钟走完800m的总路程直接计算小明的速度；再结合10分钟时两人相遇的条件，可知妈妈10分钟走的路程加上小明返回2分钟走的路程等于总路程800m，由此可求出妈妈的速度。
(3) 两人相距100m需分时间段讨论：①0＜x≤8时两人同向行驶，距离为路程差，列方程求解；②8＜x≤10时两人相向行驶，距离等于总路程减去两人路程和，列方程求解；③x＞10时两人相遇后背向行驶，距离为路程差，但需验证解是否符合小明后续的行程实际，不符合则舍去。
【解析】
(1) 点P的横坐标对应时间8min，是小明走完全程到家的时间，此时两人距离最大。
(2) 由题意知AB总路程为800m：
小明走完全程用时8min，因此小明的速度为 $800÷8=100\ \mathrm{(m/min)}$
10min时两人相遇，此时小明从家往回走了 $10-8=2\ \mathrm{min}$，返回走的路程为 $100×2=200\ \mathrm{m}$
妈妈10min走的路程为 $800-200=600\ \mathrm{m}$，因此妈妈的速度为 $600÷10=60\ \mathrm{(m/min)}$
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0＜x≤8$时，两人同向往家走，距离为路程差：
$100x-60x=100$
解得 $x=2.5$，符合取值范围；
② 当$8＜x≤10$时，小明往回走、妈妈往家走，两人相向而行，相距100m时总路程和为$800-100=700\ \mathrm{m}$：
$100(x-8)+60x=700$
解得 $x=\frac{75}{8}$，符合取值范围；
③ 当$x＞10$时，两人相遇后背向行驶，距离为路程差：
$100(x-10)-60(x-10)=100$
解得 $x=12.5$
小明从相遇点回到家所需时间为 $(800-60×10)÷100=2\ \mathrm{min}$，即小明12min就已到家，停止运动，因此$x=12.5$不符合实际，舍去。
【答案】
(1) 小明从超市出发步行8 min时，正好将部分物品送到家
(2) 小明的速度为100 m/min，妈妈的速度为60 m/min
(3) 当x的值为2.5或$\frac{75}{8}$时，两人相距100 m
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，分段讨论
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数图象的实际应用，解题核心是读懂图象拐点对应的实际运动状态，分阶段梳理两人的运动关系，同时要注意结合实际情境对解的合理性进行验证，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
(1) 结合题干行程信息和图象坐标分析：点P横坐标为8min，是小明走完全程到家的时间，此时两人距离达到最大值，据此可描述其实际意义。
(2) 求速度时，先根据小明8分钟走完800m的总路程直接计算小明的速度；再结合10分钟时两人相遇的条件，可知妈妈10分钟走的路程加上小明返回2分钟走的路程等于总路程800m，由此可求出妈妈的速度。
(3) 两人相距100m需分时间段讨论：①0＜x≤8时两人同向行驶，距离为路程差，列方程求解；②8＜x≤10时两人相向行驶，距离等于总路程减去两人路程和，列方程求解；③x＞10时两人相遇后背向行驶，距离为路程差，但需验证解是否符合小明后续的行程实际，不符合则舍去。
【解析】
(1) 点P的横坐标对应时间8min，是小明走完全程到家的时间，此时两人距离最大。
(2) 由题意知AB总路程为800m：
小明走完全程用时8min，因此小明的速度为 $800÷8=100\ \mathrm{(m/min)}$
10min时两人相遇，此时小明从家往回走了 $10-8=2\ \mathrm{min}$，返回走的路程为 $100×2=200\ \mathrm{m}$
妈妈10min走的路程为 $800-200=600\ \mathrm{m}$，因此妈妈的速度为 $600÷10=60\ \mathrm{(m/min)}$
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0＜x≤8$时，两人同向往家走，距离为路程差：
$100x-60x=100$
解得 $x=2.5$，符合取值范围；
② 当$8＜x≤10$时，小明往回走、妈妈往家走，两人相向而行，相距100m时总路程和为$800-100=700\ \mathrm{m}$：
$100(x-8)+60x=700$
解得 $x=\frac{75}{8}$，符合取值范围；
③ 当$x＞10$时，两人相遇后背向行驶，距离为路程差：
$100(x-10)-60(x-10)=100$
解得 $x=12.5$
小明从相遇点回到家所需时间为 $(800-60×10)÷100=2\ \mathrm{min}$，即小明12min就已到家，停止运动，因此$x=12.5$不符合实际，舍去。
【答案】
(1) 小明从超市出发步行8 min时，正好将部分物品送到家
(2) 小明的速度为100 m/min，妈妈的速度为60 m/min
(3) 当x的值为2.5或$\frac{75}{8}$时，两人相距100 m
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，分段讨论
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数图象的实际应用，解题核心是读懂图象拐点对应的实际运动状态，分阶段梳理两人的运动关系，同时要注意结合实际情境对解的合理性进行验证，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
2.(2024秋·扬州期末)如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分)的函数图象,小明骑行10分钟时车子发生故障,维修车子用了5分钟,修好车子后继续骑行回家.
(1)分别求出维修车子前与维修车子后y与x的函数表达式;
(2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了
(1)分别求出维修车子前与维修车子后y与x的函数表达式;
(2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了
0.1
千米.答案
2.解:(1)设维修车子前y与x的函数表达式为y=kx.
∵(10,2)在该函数图象上,
∴10k=2,解得k=0.2,
即维修车子前y与x的函数表达式为y=0.2x.
设维修车子后y与x的函数表达式为y=ax+b.
∵点(15,2),(20,3.5)在该函数图象上,
∴$\begin{cases} 15a+b=2, \\ 20a+b=3.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=0.3, \\ b=-2.5, \end{cases}$
即维修车子后y与x的函数表达式为y=0.3x-2.5.
(2)0.1
∵(10,2)在该函数图象上,
∴10k=2,解得k=0.2,
即维修车子前y与x的函数表达式为y=0.2x.
设维修车子后y与x的函数表达式为y=ax+b.
∵点(15,2),(20,3.5)在该函数图象上,
∴$\begin{cases} 15a+b=2, \\ 20a+b=3.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=0.3, \\ b=-2.5, \end{cases}$
即维修车子后y与x的函数表达式为y=0.3x-2.5.
(2)0.1
解析
【分析】
对于（1），维修车子前的图象是过原点的直线，属于正比例函数，可设解析式为$y=kx$，代入图象上的点$(10,2)$即可求出$k$，得到对应解析式；维修用时5分钟，因此维修结束时的时间为$10+5=15$分钟，此时路程仍为2千米，即维修后图象过点$(15,2)$，同时还过点$(20,3.5)$，设这一段的一次函数解析式为$y=ax+b$，代入两个点的坐标得到方程组，解方程组即可求得维修后的解析式。
对于（2），一次函数中$x$的系数对应每分钟行驶的路程（速度），求出维修前后的速度作差即可得到结果。
【解析】
(1) ①求维修车子前的函数表达式：
设维修车子前$y$与$x$的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将点$(10,2)$代入解析式，得$10k=2$，解得$k=0.2$，
因此维修车子前的函数表达式为$y=0.2x\ (0≤ x≤10)$。
②求维修车子后的函数表达式：
由题意得，维修结束时$x=10+5=15$，此时$y=2$，即维修后函数图象过点$(15,2)$和$(20,3.5)$。
设维修后$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b$（$a≠0$），将两点坐标代入得：
$\begin{cases}15a + b = 2 \\20a + b = 3.5\end{cases}$
两式相减得$5a=1.5$，解得$a=0.3$，
将$a=0.3$代入$15a+b=2$，得$4.5+b=2$，解得$b=-2.5$，
因此维修车子后的函数表达式为$y=0.3x-2.5\ (15≤ x≤20)$。
(2) 维修前速度为0.2千米/分，维修后速度为0.3千米/分，
则每分钟行驶的路程增加了$0.3-0.2=0.1$千米。
【答案】
(1) 维修前：$y=0.2x(0≤ x≤10)$；维修后：$y=0.3x-2.5(15≤ x≤20)$
(2) $0.1$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；行程图象分析
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是准确从题干和图象中提取有效坐标信息，注意维修阶段时间增长、路程不变的特点，再用待定系数法求解即可，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
对于（1），维修车子前的图象是过原点的直线，属于正比例函数，可设解析式为$y=kx$，代入图象上的点$(10,2)$即可求出$k$，得到对应解析式；维修用时5分钟，因此维修结束时的时间为$10+5=15$分钟，此时路程仍为2千米，即维修后图象过点$(15,2)$，同时还过点$(20,3.5)$，设这一段的一次函数解析式为$y=ax+b$，代入两个点的坐标得到方程组，解方程组即可求得维修后的解析式。
对于（2），一次函数中$x$的系数对应每分钟行驶的路程（速度），求出维修前后的速度作差即可得到结果。
【解析】
(1) ①求维修车子前的函数表达式：
设维修车子前$y$与$x$的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将点$(10,2)$代入解析式，得$10k=2$，解得$k=0.2$，
因此维修车子前的函数表达式为$y=0.2x\ (0≤ x≤10)$。
②求维修车子后的函数表达式：
由题意得，维修结束时$x=10+5=15$，此时$y=2$，即维修后函数图象过点$(15,2)$和$(20,3.5)$。
设维修后$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b$（$a≠0$），将两点坐标代入得：
$\begin{cases}15a + b = 2 \\20a + b = 3.5\end{cases}$
两式相减得$5a=1.5$，解得$a=0.3$，
将$a=0.3$代入$15a+b=2$，得$4.5+b=2$，解得$b=-2.5$，
因此维修车子后的函数表达式为$y=0.3x-2.5\ (15≤ x≤20)$。
(2) 维修前速度为0.2千米/分，维修后速度为0.3千米/分，
则每分钟行驶的路程增加了$0.3-0.2=0.1$千米。
【答案】
(1) 维修前：$y=0.2x(0≤ x≤10)$；维修后：$y=0.3x-2.5(15≤ x≤20)$
(2) $0.1$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；行程图象分析
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是准确从题干和图象中提取有效坐标信息，注意维修阶段时间增长、路程不变的特点，再用待定系数法求解即可，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
3.(2024秋·大丰区期末)在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲车从A地出发沿这条公路匀速驶向目的地C,乙车从B地出发沿这条公路匀速驶向目的地A.在甲车出发至甲车到达C地的过程中,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车的行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.请你根据图上的数据,解答下列问题:
(1)乙车出发1.5 h时,两车相距多少千米?
(2)乙车出发多长时间,两车相遇?
(3)甲车到达C地时,两车相距
(1)乙车出发1.5 h时,两车相距多少千米?
(2)乙车出发多长时间,两车相遇?
(3)甲车到达C地时,两车相距
40
km.答案
3.解:(1)甲车的速度为240÷4=60(km/h),
乙车的速度为200÷(3.5-1)=80(km/h).
240+200-60×(1+1.5)-80×1.5=170(km).
答:乙车出发1.5 h时,两车相距170 km.
(2)设乙车出发m h后两车相遇.根据题意,得
60(m+1)+80m=240+200,解得m=$\frac{19}{7}$.
答:乙车出发$\frac{19}{7}$ h后两车相遇.
(3)40
乙车的速度为200÷(3.5-1)=80(km/h).
240+200-60×(1+1.5)-80×1.5=170(km).
答:乙车出发1.5 h时,两车相距170 km.
(2)设乙车出发m h后两车相遇.根据题意,得
60(m+1)+80m=240+200,解得m=$\frac{19}{7}$.
答:乙车出发$\frac{19}{7}$ h后两车相遇.
(3)40
解析
【分析】解决本题的核心是先从函数图像中提取关键信息求出两车速度：首先由图可知A到C的距离为240km，甲车走完全程用时4h，可求甲的速度；乙车比甲车晚1h出发，B到C的距离为200km，乙车从B到C用时$3.5-1=2.5\mathrm{h}$，可求乙的速度。(1)求乙出发1.5h时两车距离，先算出此时甲的总行驶时长，再计算两车共行驶的路程，用A、B总距离减去两车共走路程即可；(2)相遇时两车行驶路程和等于A、B总距离，设乙出发时间为未知数列方程求解；(3)甲车到达C地时，先算乙的行驶时长，求出乙走的总路程，减去B到C的距离就是两车相距距离。
【解析】
先计算两车速度及A、B总距离：
甲车速度：$240÷4=60(\mathrm{km/h})$
乙车速度：$200÷(3.5-1)=80(\mathrm{km/h})$
A、B两地总距离：$240+200=440(\mathrm{km})$
(1) 乙车出发1.5h时，甲车总行驶时长为$1+1.5=2.5(\mathrm{h})$
两车共行驶路程：$60×2.5 + 80×1.5=270(\mathrm{km})$
两车相距：$440-270=170(\mathrm{km})$
(2) 设乙车出发$m\mathrm{h}$后两车相遇，此时甲车行驶时长为$(m+1)\mathrm{h}$，由两车路程和等于总距离列方程：
$60(m+1)+80m=440$
解得：$m=\frac{19}{7}$
(3) 甲车到达C地时$t=4\mathrm{h}$，乙车行驶时长为$4-1=3(\mathrm{h})$
乙车总行驶路程：$80×3=240(\mathrm{km})$
乙车超过C地的距离为$240-200=40(\mathrm{km})$，即两车相距40km。
【答案】
(1) 170 km；(2) $\frac{19}{7}$ h；(3) 40
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】本题结合一次函数图像考查实际行程问题，关键是从图像中准确提取两车的行驶路程、时间的对应信息，求出速度后结合行程的基本数量关系求解即可。
【难度系数】
0.65
【解析】
先计算两车速度及A、B总距离：
甲车速度：$240÷4=60(\mathrm{km/h})$
乙车速度：$200÷(3.5-1)=80(\mathrm{km/h})$
A、B两地总距离：$240+200=440(\mathrm{km})$
(1) 乙车出发1.5h时，甲车总行驶时长为$1+1.5=2.5(\mathrm{h})$
两车共行驶路程：$60×2.5 + 80×1.5=270(\mathrm{km})$
两车相距：$440-270=170(\mathrm{km})$
(2) 设乙车出发$m\mathrm{h}$后两车相遇，此时甲车行驶时长为$(m+1)\mathrm{h}$，由两车路程和等于总距离列方程：
$60(m+1)+80m=440$
解得：$m=\frac{19}{7}$
(3) 甲车到达C地时$t=4\mathrm{h}$，乙车行驶时长为$4-1=3(\mathrm{h})$
乙车总行驶路程：$80×3=240(\mathrm{km})$
乙车超过C地的距离为$240-200=40(\mathrm{km})$，即两车相距40km。
【答案】
(1) 170 km；(2) $\frac{19}{7}$ h；(3) 40
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】本题结合一次函数图像考查实际行程问题，关键是从图像中准确提取两车的行驶路程、时间的对应信息，求出速度后结合行程的基本数量关系求解即可。
【难度系数】
0.65
