7. 如图，折叠等腰三角形纸片$ABC$，使点$C$落在边$AB$上的点$F$处，折痕为$DE$. 已知$AB=AC$，$FD⊥ BC$.
(1)求证：$∠ AFE=90°$；
(2)如果$AF=3$，$BF=6$，求$AE$的长.

7.(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处,
∴∠EFD=∠C,
∴∠B=∠EFD.
∵∠B+∠BDF=∠EFD+∠AFE，
∴∠BDF=∠AFE.
∵FD⊥BC,
∴∠BDF=90°,
∴∠AFE=90°.
(2)解:
∵AF=3,BF=6，
∴AB=AF+BF=9=AC.
设AE=x,则CE=9−x.
∵折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处,
∴EF=CE=9−x.
在Rt△AFE中,由勾股定理,得AF²+EF²=AE²，
即3²+(9−x)²=x²,解得x=5,
∴AE=5.

【分析】
(1)证明∠AFE=90°的思路：首先利用等腰三角形两底角相等的性质得∠B=∠C，再根据折叠前后对应角相等得∠EFD=∠C，等量代换得到∠B=∠EFD；结合平角定义可知∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EFD+∠AFE+∠BFD=180°，去掉公共部分可推出∠AFE=∠BDF，最后由FD⊥BC得∠BDF=90°，即可得证。
(2)求AE长度的思路：先由AF、BF的长度算出AB=AC=9，再根据折叠前后对应边相等得EF=CE，把未知线段转化到第(1)问得到的Rt△AFE中，设AE为x，用含x的式子表示EF，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，
∴∠EFD=∠C，
∴∠B=∠EFD。
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EFD+∠AFE+∠BFD=180°，
∴∠BDF=∠AFE。
∵FD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠AFE=90°。
(2)解：
∵AF=3，BF=6，
∴AB=AF+BF=9，
∵AB=AC，
∴AC=9。
设AE=x，则CE=AC-AE=9−x，
∵折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，
∴EF=CE=9−x。
在Rt△AFE中，∠AFE=90°，由勾股定理得：AF²+EF²=AE²，
即3²+(9−x)²=x²，
解得x=5，
∴AE=5。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)AE的长为5
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将等腰三角形、折叠变换与勾股定理结合考察，核心是利用折叠的性质实现角和边的等量转化，再结合直角三角形的性质用方程思想求解线段长度，是特殊三角形类问题的常见考法。
【难度系数】
0.65

8. 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.
(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请直接写出结论：AE DB；(填“＞”“＜”或“=”)
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请直接写出结论：AE DB(填“＞”“＜”或“=”).理由如下：过点E作EF//BC，交AC于点F，请你完成解答过程；
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长.(请画出相应图形，并直接写出结果)

8.(1)=
(2)解：= 解答过程如下：
过点E作EF//BC,交AC于点F,则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,
∴∠AEF=∠AFE=60°,
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF,
∴BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°−∠D,∠ECF=60°−∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中，$\begin{cases} DE=EC, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
∴AE=DB.
(3)解:点E在AB的延长线上时,如答图所示,同理可得△AEF是等边三角形,△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=2,
∴CD=BC+DB=3.

【分析】
(1) 第一问为特殊情况，E是等边△ABC的AB边中点，首先利用等边三角形三线合一性质，得CE平分∠ACB，∠ECB=30°，结合ED=EC得∠D=30°，再利用外角性质推出∠DEB=30°，得DB=BE，结合AE=BE即可得到线段关系。
(2) 第二问为一般情况，按照给出的辅助线EF//BC，首先结合等边三角形内角为60°，可证△AEF是等边三角形，得到AE=EF、BE=CF；再结合ED=EC推导得∠DEB=∠ECF，即可通过SAS证明△DBE≌△EFC，得到DB=EF，等量代换得AE与DB的关系。
(3) 第三问中E在直线AB上，AE=2大于△ABC边长1，因此E在AB延长线上，类比第二问的方法构造辅助线，同理证全等得DB=AE=2，代入CD=BC+DB即可求出结果。
【解析】
(1) 当E为AB中点时，
∵△ABC是等边三角形，E是AB中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，∠ECB=30°。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°。
∵∠ABC是△DBE的外角，∠ABC=60°，
∴∠DEB=∠ABC-∠D=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE，
又
∵AE=BE，
∴AE=DB。
(2) 过点E作EF//BC，交AC于点F，则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD。
∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°−∠D，∠ECF=∠ACB-∠ECD=60°−∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF。
在△DBE和△EFC中，$\begin{cases} DE=EC, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴△DBE≌△EFC(SAS)，
∴DB=EF，
又
∵AE=EF，
∴AE=DB。
(3) 点E在AB的延长线上时，过E作EF//BC，交AC的延长线于点F，同理可得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=AE=2，
∵△ABC边长为1，即BC=1，
∴CD=BC+DB=1+2=3。
【答案】
(1)=
(2)=，解答过程见解析
(3)CD的长为3，图形如下：

【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何探究类问题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，通过构造平行线得到等边三角形，再结合全等三角形证明线段等量关系，解题时要注意“点E在直线AB上”的条件，需先判断点E的位置再求解，能够锻炼逻辑推理和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.6