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10.若实数$x,y,z$满足条件$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{4}(x+y+z+9)$，求$xyz$的值.
答案
10.解:根据题意,得$x-4\sqrt{x}+y-4\sqrt{y-1}+z-4\sqrt{z-2}+9=0$,
$\therefore(x-4\sqrt{x}+4)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)+(z-2-4\sqrt{z-2}+4)=0$,
即$(\sqrt{x}-2)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-2)^2=0$,
$\therefore\sqrt{x}-2=0$且$\sqrt{y-1}-2=0$且$\sqrt{z-2}-2=0$,
$\therefore\sqrt{x}=2,\sqrt{y-1}=2,\sqrt{z-2}=2$,
$\therefore x=4,y-1=4,z-2=4$,
解得$x=4,y=5,z=6$.
$\therefore xyz=120$.
$\therefore(x-4\sqrt{x}+4)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)+(z-2-4\sqrt{z-2}+4)=0$,
即$(\sqrt{x}-2)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-2)^2=0$,
$\therefore\sqrt{x}-2=0$且$\sqrt{y-1}-2=0$且$\sqrt{z-2}-2=0$,
$\therefore\sqrt{x}=2,\sqrt{y-1}=2,\sqrt{z-2}=2$,
$\therefore x=4,y-1=4,z-2=4$,
解得$x=4,y=5,z=6$.
$\therefore xyz=120$.
解析
【分析】
首先观察等式结构，左边是三个二次根式的和，右边含有x、y、z的一次项，解题时可先将等式右侧的项全部移到左侧，再把x变形为$(\sqrt{x})^2$，$y$变形为$(y-1)+1$，$z$变形为$(z-2)+2$，凑出完全平方公式的结构，将原式转化为几个完全平方式的和为0的形式，最后利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质分别求出x、y、z的值，代入计算xyz即可。
【解析】
将原式移项变形得：
$x-4\sqrt{x}+y-4\sqrt{y-1}+z-4\sqrt{z-2}+9=0$
对式子拆分凑完全平方：
$(x-4\sqrt{x}+4)+[(y-1)-4\sqrt{y-1}+4]+[(z-2)-4\sqrt{z-2}+4]=0$
由完全平方公式可得：
$(\sqrt{x}-2)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-2)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(\sqrt{x}-2)^2≥0$，$(\sqrt{y-1}-2)^2≥0$，$(\sqrt{z-2}-2)^2≥0$
∴ 每个完全平方式都为0，即：
$\sqrt{x}-2=0$，$\sqrt{y-1}-2=0$，$\sqrt{z-2}-2=0$
分别求解得：
$\sqrt{x}=2\implies x=4$
$\sqrt{y-1}=2\implies y-1=4\implies y=5$
$\sqrt{z-2}=2\implies z-2=4\implies z=6$
代入计算得：$xyz=4×5×6=120$
【答案】
120
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，二次根式化简
【点评】
本题是实数运算的典型题型，核心解题思路是通过配方法将原式转化为非负数和为0的形式，解题时需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对含根式和一次项的式子进行拆分凑形，能有效考查对公式的应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
首先观察等式结构，左边是三个二次根式的和，右边含有x、y、z的一次项，解题时可先将等式右侧的项全部移到左侧，再把x变形为$(\sqrt{x})^2$，$y$变形为$(y-1)+1$，$z$变形为$(z-2)+2$，凑出完全平方公式的结构，将原式转化为几个完全平方式的和为0的形式，最后利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质分别求出x、y、z的值，代入计算xyz即可。
【解析】
将原式移项变形得：
$x-4\sqrt{x}+y-4\sqrt{y-1}+z-4\sqrt{z-2}+9=0$
对式子拆分凑完全平方：
$(x-4\sqrt{x}+4)+[(y-1)-4\sqrt{y-1}+4]+[(z-2)-4\sqrt{z-2}+4]=0$
由完全平方公式可得：
$(\sqrt{x}-2)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-2)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(\sqrt{x}-2)^2≥0$，$(\sqrt{y-1}-2)^2≥0$，$(\sqrt{z-2}-2)^2≥0$
∴ 每个完全平方式都为0，即：
$\sqrt{x}-2=0$，$\sqrt{y-1}-2=0$，$\sqrt{z-2}-2=0$
分别求解得：
$\sqrt{x}=2\implies x=4$
$\sqrt{y-1}=2\implies y-1=4\implies y=5$
$\sqrt{z-2}=2\implies z-2=4\implies z=6$
代入计算得：$xyz=4×5×6=120$
【答案】
120
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，二次根式化简
【点评】
本题是实数运算的典型题型，核心解题思路是通过配方法将原式转化为非负数和为0的形式，解题时需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对含根式和一次项的式子进行拆分凑形，能有效考查对公式的应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
11.已知$\frac{\sqrt{3a - b} + |a^2 - 49|}{\sqrt{a + 7}} = 0$，求实数$a,b$的值，并求出$\sqrt{b}$的整数部分和小数部分。
答案
11.解:根据题意,得$3a-b=0,a^2-49=0$且$a+7＞0$,
解得$a=7,b=21$.
$\because16＜21＜25,\therefore4＜\sqrt{21}＜5$,
$\therefore\sqrt{21}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{21}-4$.
解得$a=7,b=21$.
$\because16＜21＜25,\therefore4＜\sqrt{21}＜5$,
$\therefore\sqrt{21}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{21}-4$.
解析
【分析】
解题时首先回忆分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0。其次分子中的算术平方根、绝对值都属于非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可列出关于a、b的方程；同时分母是带二次根式的分式，要满足被开方数大于0，以此排除不符合要求的a的取值，即可求出a、b的值。最后估算√b的大小，找到夹着b的两个相邻完全平方数，即可确定√b的整数部分，小数部分等于原数减去整数部分。
【解析】
解：根据分式值为0的条件，结合非负数的性质可得：
$\begin{cases}3a - b = 0 \\ a^2 - 49 = 0 \\ a + 7 ＞ 0\end{cases}$
解方程$a^2 - 49 = 0$得$a=7$或$a=-7$，
结合$a + 7 ＞ 0$即$a＞-7$的限制，可得$a=7$，
将$a=7$代入$3a - b = 0$，得$3×7 - b=0$，解得$b=21$。
估算$\sqrt{21}$的大小：
$\because 16＜21＜25$，即$4^2＜21＜5^2$，
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$，
因此$\sqrt{21}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{21}-4$。
【答案】
$a=7$，$b=21$；$\sqrt{b}$的整数部分为4，小数部分为$\sqrt{21}-4$
【知识点】
非负数的性质，分式有意义的条件，无理数的估算
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是不要遗漏分母不为0、二次根式被开方数为正的隐含条件，避免误将$a=-7$代入计算；估算无理数时要熟练掌握常见完全平方数的大小关系，才能快速确定无理数的范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0。其次分子中的算术平方根、绝对值都属于非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可列出关于a、b的方程；同时分母是带二次根式的分式，要满足被开方数大于0，以此排除不符合要求的a的取值，即可求出a、b的值。最后估算√b的大小，找到夹着b的两个相邻完全平方数，即可确定√b的整数部分，小数部分等于原数减去整数部分。
【解析】
解：根据分式值为0的条件，结合非负数的性质可得：
$\begin{cases}3a - b = 0 \\ a^2 - 49 = 0 \\ a + 7 ＞ 0\end{cases}$
解方程$a^2 - 49 = 0$得$a=7$或$a=-7$，
结合$a + 7 ＞ 0$即$a＞-7$的限制，可得$a=7$，
将$a=7$代入$3a - b = 0$，得$3×7 - b=0$，解得$b=21$。
估算$\sqrt{21}$的大小：
$\because 16＜21＜25$，即$4^2＜21＜5^2$，
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$，
因此$\sqrt{21}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{21}-4$。
【答案】
$a=7$，$b=21$；$\sqrt{b}$的整数部分为4，小数部分为$\sqrt{21}-4$
【知识点】
非负数的性质，分式有意义的条件，无理数的估算
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是不要遗漏分母不为0、二次根式被开方数为正的隐含条件，避免误将$a=-7$代入计算；估算无理数时要熟练掌握常见完全平方数的大小关系，才能快速确定无理数的范围。
【难度系数】
0.7
12. 对一切实数$k$，有$\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3} ≥ k$总成立，求$k$的最大值.
答案
12.解:要使根式有意义,则$3≤ x≤8$.
设$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$,
则$y^2=8-x+x-3+2\sqrt{(8-x)(x-3)}=5+2\sqrt{-(x-\frac{11}{2})^2+\frac{25}{4}}$,
$\therefore$当$x=\frac{11}{2}$时,$y^2$有最大值,最大值为$5+2×\frac{5}{2}=10$,
$\therefore y$的最大值为$\sqrt{10}$,即$\sqrt{10}≥ k$,
$\therefore k$的最大值为$\sqrt{10}$.
设$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$,
则$y^2=8-x+x-3+2\sqrt{(8-x)(x-3)}=5+2\sqrt{-(x-\frac{11}{2})^2+\frac{25}{4}}$,
$\therefore$当$x=\frac{11}{2}$时,$y^2$有最大值,最大值为$5+2×\frac{5}{2}=10$,
$\therefore y$的最大值为$\sqrt{10}$,即$\sqrt{10}≥ k$,
$\therefore k$的最大值为$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
首先需要先确定二次根式有意义的x的取值范围，题目要求不等式恒成立时k的最大值，本质是求代数式$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$的最大值，只要k不超过这个最大值，不等式就能恒成立。我们可以通过对y平方的方式去掉根号，将根号内的式子整理为二次函数的形式，利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
要使二次根式有意义，需满足：
$\begin{cases}8-x≥0 \\ x-3≥0\end{cases}$，解得$3≤ x≤8$。
设$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$，将等式两边平方得：
$y^2=(\sqrt{8-x})^2+2\sqrt{(8-x)(x-3)}+(\sqrt{x-3})^2$
$=8-x+x-3+2\sqrt{(8-x)(x-3)}$
$=5+2\sqrt{(8-x)(x-3)}$
将根号内的式子配方：
$(8-x)(x-3)=-x^2+11x-24=-(x-\frac{11}{2})^2+\frac{25}{4}$
∵二次项系数为$-1＜0$，
∴当$x=\frac{11}{2}$时，$(8-x)(x-3)$取得最大值$\frac{25}{4}$，
此时$y^2$的最大值为$5+2×\sqrt{\frac{25}{4}}=5+2×\frac{5}{2}=10$，
∵y表示两个非负二次根式的和，
∴$y＞0$，则y的最大值为$\sqrt{10}$，
∵$\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}≥ k$总成立，
∴k的最大值为$\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次函数的最值，恒成立问题
【点评】
本题综合考查二次根式的性质与二次函数求最值的应用，解题的关键是通过平方将双根号代数式转化为二次函数形式求最值，同时要注意自变量的取值范围限制，避免忽略定义域导致错误。
【难度系数】
0.65
首先需要先确定二次根式有意义的x的取值范围，题目要求不等式恒成立时k的最大值，本质是求代数式$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$的最大值，只要k不超过这个最大值，不等式就能恒成立。我们可以通过对y平方的方式去掉根号，将根号内的式子整理为二次函数的形式，利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
要使二次根式有意义，需满足：
$\begin{cases}8-x≥0 \\ x-3≥0\end{cases}$，解得$3≤ x≤8$。
设$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$，将等式两边平方得：
$y^2=(\sqrt{8-x})^2+2\sqrt{(8-x)(x-3)}+(\sqrt{x-3})^2$
$=8-x+x-3+2\sqrt{(8-x)(x-3)}$
$=5+2\sqrt{(8-x)(x-3)}$
将根号内的式子配方：
$(8-x)(x-3)=-x^2+11x-24=-(x-\frac{11}{2})^2+\frac{25}{4}$
∵二次项系数为$-1＜0$，
∴当$x=\frac{11}{2}$时，$(8-x)(x-3)$取得最大值$\frac{25}{4}$，
此时$y^2$的最大值为$5+2×\sqrt{\frac{25}{4}}=5+2×\frac{5}{2}=10$，
∵y表示两个非负二次根式的和，
∴$y＞0$，则y的最大值为$\sqrt{10}$，
∵$\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}≥ k$总成立，
∴k的最大值为$\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次函数的最值，恒成立问题
【点评】
本题综合考查二次根式的性质与二次函数求最值的应用，解题的关键是通过平方将双根号代数式转化为二次函数形式求最值，同时要注意自变量的取值范围限制，避免忽略定义域导致错误。
【难度系数】
0.65
