1.如图，$△ ABC$和$△ BED$都是等边三角形，且点$A$，$E$，$D$在同一条直线上.
求证：$AD=BD+CD$.

证明:
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.

2.(溧阳月考改编)如图,在$△ ABC$中,D是BC边的中点,$DE⊥ DF$于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:$BE+CF＞EF$.

证明:如答图,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM.

∵D是BC边的中点,
∴BD=CD.
在△BMD和△CFD中,$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDF,\\ DM=DF, \end{cases}$
∴△BMD≌△CFD(SAS),
∴BM=CF.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDM=90°.
在△EDF和△EDM中,$\begin{cases} ED=ED,\\ ∠EDF=∠EDM,\\ FD=MD, \end{cases}$
∴△EDF≌△EDM(SAS),
∴EF=EM.
在△BME中,由三角形的三边关系,
得BE+BM＞EM,即BE+CF＞EF.

3.如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠BAC=45°,∠ACB=90°.点D在线段AB上运动(不与点A,B重合),连接CD.CE在CD右侧,且∠DCE=45°.当点E不与点A重合时,AE⊥AB,连接DE.线段BD,AE,DE三者之间在数量上满足怎样的等量关系?请证明.

解:分两种情况考虑.
第一种情况:如答图①,当CE在CA左侧时,过点C作CF⊥CE,交AB的延长线于点F,
则∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AE⊥AB,
∴∠EAB=90°.
∵∠CAB=45°,
∴∠CBF=∠CAE=135°.
在△CBF和△CAE中,$\begin{cases} ∠BCF=∠ACE,\\ BC=AC,\\ ∠CBF=∠CAE, \end{cases}$
∴△CBF≌△CAE(ASA),
∴BF=AE,CF=CE.
∵∠DCE=45°,∠ECF=90°,
∴∠DCE=∠DCF=45°.
在△DCE和△DCF中,$\begin{cases} CE=CF,\\ ∠DCE=∠DCF,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF.
∵BD+BF=DF,
∴BD+AE=DE.
第二种情况:如答图②,当CE在CA右侧时,过点C作CF⊥CE,交AB于点F,同上得△CBF≌△CAE,△DCE≌△DCF,
∴BF=AE,DE=DF.
∵DF=BD−BF,
∴BD−AE=DE.
综上所述,当CE在CA左侧时,BD+AE=DE;当CE在CA右侧时,BD−AE=DE.