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1.如图，$△ ABC$和$△ BED$都是等边三角形，且点$A$，$E$，$D$在同一条直线上.
求证：$AD=BD+CD$.
求证：$AD=BD+CD$.
答案
证明:
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.
解析
【分析】
要证明AD=BD+CD，属于线段和差类证明问题，可采用“截长”思路推导：观察图形可知AD可拆分为AE与DE的和，已知△BED是等边三角形，因此DE=BD，此时只需证明AE=CD即可。要证AE=CD，可证AE、CD所在的△ABE和△CBD全等：结合两个等边三角形的性质，可得AB=CB、BE=BD，再通过两个60°角同时减去公共角∠EBC，得到夹角∠ABE=∠CBD，用SAS即可判定两三角形全等，得到AE=CD，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明:
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵点A、E、D在同一直线上，
∴AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.
【答案】
证明:
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差证明
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是利用等边三角形的边、角性质构造全等三角形，通过等量代换将长线段拆分为两条对应待证的短线段，解题时要注意挖掘图形中隐含的等角关系，熟练运用全等三角形的判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要证明AD=BD+CD，属于线段和差类证明问题，可采用“截长”思路推导：观察图形可知AD可拆分为AE与DE的和，已知△BED是等边三角形，因此DE=BD，此时只需证明AE=CD即可。要证AE=CD，可证AE、CD所在的△ABE和△CBD全等：结合两个等边三角形的性质，可得AB=CB、BE=BD，再通过两个60°角同时减去公共角∠EBC，得到夹角∠ABE=∠CBD，用SAS即可判定两三角形全等，得到AE=CD，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明:
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵点A、E、D在同一直线上，
∴AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.
【答案】
证明:
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°−∠EBC,∠CBD=60°−∠EBC,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形,
∴BD=DE.
∵AD=DE+AE,
∴AD=BD+CD.
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差证明
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是利用等边三角形的边、角性质构造全等三角形，通过等量代换将长线段拆分为两条对应待证的短线段，解题时要注意挖掘图形中隐含的等角关系，熟练运用全等三角形的判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2.(溧阳月考改编)如图,在$△ ABC$中,D是BC边的中点,$DE⊥ DF$于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:$BE+CF＞EF$.
答案
证明:如答图,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM.
∵D是BC边的中点,
∴BD=CD.
在△BMD和△CFD中,$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDF,\\ DM=DF, \end{cases}$
∴△BMD≌△CFD(SAS),
∴BM=CF.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDM=90°.
在△EDF和△EDM中,$\begin{cases} ED=ED,\\ ∠EDF=∠EDM,\\ FD=MD, \end{cases}$
∴△EDF≌△EDM(SAS),
∴EF=EM.
在△BME中,由三角形的三边关系,
得BE+BM＞EM,即BE+CF＞EF.
解析
【分析】
要证明BE+CF＞EF，这类线段和的不等关系通常借助三角形三边关系“两边之和大于第三边”推导，因此需要将分散的BE、CF、EF三条线段转化到同一个三角形中。已知D是BC的中点，且DE⊥DF，可采用倍长线段的构造思路：延长FD至点M，使DM=DF，既可以通过全等三角形将CF转化为BM，又可以利用DE垂直DF的条件证明EF=EM，最终将三条线段集中到△BEM中，即可利用三边关系完成证明。
【解析】
证明：如答图，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM。
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD。
在△BMD和△CFD中，$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDF,\\ DM=DF, \end{cases}$
∴△BMD≌△CFD(SAS)，
∴BM=CF。
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠EDM=90°。
在△EDF和△EDM中，$\begin{cases} ED=ED,\\ ∠EDF=∠EDM,\\ FD=MD, \end{cases}$
∴△EDF≌△EDM(SAS)，
∴EF=EM。
在△BME中，由三角形的三边关系，
得BE+BM＞EM，即BE+CF＞EF。
【答案】
证明:如答图,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM.
∵D是BC边的中点,
∴BD=CD.
在△BMD和△CFD中,$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDF,\\ DM=DF, \end{cases}$
∴△BMD≌△CFD(SAS),
∴BM=CF.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDM=90°.
在△EDF和△EDM中,$\begin{cases} ED=ED,\\ ∠EDF=∠EDM,\\ FD=MD, \end{cases}$
∴△EDF≌△EDM(SAS),
∴EF=EM.
在△BME中,由三角形的三边关系,
得BE+BM＞EM,即BE+CF＞EF.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、中点的性质
【点评】
本题是线段和差不等式证明的典型题，解题关键是通过倍长线段构造全等三角形，将分散的线段转移到同一个三角形中，再结合三角形三边关系推导结论，这类构造辅助线的方法在中点相关的几何证明题中非常常用。
【难度系数】
0.6
要证明BE+CF＞EF，这类线段和的不等关系通常借助三角形三边关系“两边之和大于第三边”推导，因此需要将分散的BE、CF、EF三条线段转化到同一个三角形中。已知D是BC的中点，且DE⊥DF，可采用倍长线段的构造思路：延长FD至点M，使DM=DF，既可以通过全等三角形将CF转化为BM，又可以利用DE垂直DF的条件证明EF=EM，最终将三条线段集中到△BEM中，即可利用三边关系完成证明。
【解析】
证明：如答图，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM。
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD。
在△BMD和△CFD中，$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDF,\\ DM=DF, \end{cases}$
∴△BMD≌△CFD(SAS)，
∴BM=CF。
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠EDM=90°。
在△EDF和△EDM中，$\begin{cases} ED=ED,\\ ∠EDF=∠EDM,\\ FD=MD, \end{cases}$
∴△EDF≌△EDM(SAS)，
∴EF=EM。
在△BME中，由三角形的三边关系，
得BE+BM＞EM，即BE+CF＞EF。
【答案】
证明:如答图,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM.
∵D是BC边的中点,
∴BD=CD.
在△BMD和△CFD中,$\begin{cases} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDF,\\ DM=DF, \end{cases}$
∴△BMD≌△CFD(SAS),
∴BM=CF.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDM=90°.
在△EDF和△EDM中,$\begin{cases} ED=ED,\\ ∠EDF=∠EDM,\\ FD=MD, \end{cases}$
∴△EDF≌△EDM(SAS),
∴EF=EM.
在△BME中,由三角形的三边关系,
得BE+BM＞EM,即BE+CF＞EF.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、中点的性质
【点评】
本题是线段和差不等式证明的典型题，解题关键是通过倍长线段构造全等三角形，将分散的线段转移到同一个三角形中，再结合三角形三边关系推导结论，这类构造辅助线的方法在中点相关的几何证明题中非常常用。
【难度系数】
0.6
3.如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠BAC=45°,∠ACB=90°.点D在线段AB上运动(不与点A,B重合),连接CD.CE在CD右侧,且∠DCE=45°.当点E不与点A重合时,AE⊥AB,连接DE.线段BD,AE,DE三者之间在数量上满足怎样的等量关系?请证明.
答案
解:分两种情况考虑.
第一种情况:如答图①,当CE在CA左侧时,过点C作CF⊥CE,交AB的延长线于点F,
则∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AE⊥AB,
∴∠EAB=90°.
∵∠CAB=45°,
∴∠CBF=∠CAE=135°.
在△CBF和△CAE中,$\begin{cases} ∠BCF=∠ACE,\\ BC=AC,\\ ∠CBF=∠CAE, \end{cases}$
∴△CBF≌△CAE(ASA),
∴BF=AE,CF=CE.
∵∠DCE=45°,∠ECF=90°,
∴∠DCE=∠DCF=45°.
在△DCE和△DCF中,$\begin{cases} CE=CF,\\ ∠DCE=∠DCF,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF.
∵BD+BF=DF,
∴BD+AE=DE.
第二种情况:如答图②,当CE在CA右侧时,过点C作CF⊥CE,交AB于点F,同上得△CBF≌△CAE,△DCE≌△DCF,
∴BF=AE,DE=DF.
∵DF=BD−BF,
∴BD−AE=DE.
综上所述,当CE在CA左侧时,BD+AE=DE;当CE在CA右侧时,BD−AE=DE.
解析
【分析】
要探究BD、AE、DE的数量关系，观察发现三条线段不在同一图形中，可通过构造全等三角形实现线段等量转化。已知△ABC是等腰直角三角形，有AC=BC、∠ACB=90°的条件，可通过作CF⊥CE构造等角，先证△CBF和△CAE全等，将AE转化为BF，再结合∠DCE=45°证△DCE和△DCF全等，将DE转化为DF，最后根据DF与BD、BF的关系推导结论。另外要注意CE的位置有CA左侧、右侧两种情况，需分类讨论避免漏解。
【解析】
分两种情况证明：
第一种情况：当CE在CA左侧时，如答图①，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于点F，
则∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ECF - ∠ACD = ∠ACB - ∠ACD，即∠ACE=∠BCF。
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
又
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=∠CAB + ∠EAB = 135°，∠CBF=180° - ∠CBA = 135°，即∠CBF=∠CAE。
在△CBF和△CAE中：
$\begin{cases} ∠BCF=∠ACE,\\ BC=AC,\\ ∠CBF=∠CAE, \end{cases}$
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴BF=AE，CF=CE。
∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，
∴∠DCF=∠ECF - ∠DCE = 45°，即∠DCE=∠DCF。
在△DCE和△DCF中：
$\begin{cases} CE=CF,\\ ∠DCE=∠DCF,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF。
∵BD+BF=DF，
∴BD+AE=DE。
第二种情况：当CE在CA右侧时，如答图②，过点C作CF⊥CE，交AB于点F，
同理可证△CBF≌△CAE，△DCE≌△DCF，
∴BF=AE，DE=DF。
∵DF=BD - BF，
∴BD - AE=DE。
【答案】
当CE在CA左侧时，$\boldsymbol{BD+AE=DE}$；当CE在CA右侧时，$\boldsymbol{BD-AE=DE}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是线段和差关系探究的典型题型，核心解题思路是构造全等三角形实现线段的等量转化，同时需要考虑图形的多种位置情况分类讨论，对逻辑推理能力和思维严谨性有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
要探究BD、AE、DE的数量关系，观察发现三条线段不在同一图形中，可通过构造全等三角形实现线段等量转化。已知△ABC是等腰直角三角形，有AC=BC、∠ACB=90°的条件，可通过作CF⊥CE构造等角，先证△CBF和△CAE全等，将AE转化为BF，再结合∠DCE=45°证△DCE和△DCF全等，将DE转化为DF，最后根据DF与BD、BF的关系推导结论。另外要注意CE的位置有CA左侧、右侧两种情况，需分类讨论避免漏解。
【解析】
分两种情况证明：
第一种情况：当CE在CA左侧时，如答图①，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于点F，
则∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ECF - ∠ACD = ∠ACB - ∠ACD，即∠ACE=∠BCF。
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
又
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=∠CAB + ∠EAB = 135°，∠CBF=180° - ∠CBA = 135°，即∠CBF=∠CAE。
在△CBF和△CAE中：
$\begin{cases} ∠BCF=∠ACE,\\ BC=AC,\\ ∠CBF=∠CAE, \end{cases}$
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴BF=AE，CF=CE。
∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，
∴∠DCF=∠ECF - ∠DCE = 45°，即∠DCE=∠DCF。
在△DCE和△DCF中：
$\begin{cases} CE=CF,\\ ∠DCE=∠DCF,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF。
∵BD+BF=DF，
∴BD+AE=DE。
第二种情况：当CE在CA右侧时，如答图②，过点C作CF⊥CE，交AB于点F，
同理可证△CBF≌△CAE，△DCE≌△DCF，
∴BF=AE，DE=DF。
∵DF=BD - BF，
∴BD - AE=DE。
【答案】
当CE在CA左侧时，$\boldsymbol{BD+AE=DE}$；当CE在CA右侧时，$\boldsymbol{BD-AE=DE}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是线段和差关系探究的典型题型，核心解题思路是构造全等三角形实现线段的等量转化，同时需要考虑图形的多种位置情况分类讨论，对逻辑推理能力和思维严谨性有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
