登录
5.如图，$AD// BC$，$∠ PAB$的平分线与$∠ CBA$的平分线相交于点$E$，连接$CE$并延长交$AP$于点$D$.求证:$AD+BC=AB$.
答案
5. 证明:如答图,在 AB 上截取 AF=AD,连接 EF
.$\because AE$平分$∠ PAB,\therefore ∠ DAE=∠ FAE.$
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\begin{cases} AD=AF,\\ ∠ DAE=∠ FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADE=∠ AFE.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ ADE+∠ C=180°.$
$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°,\therefore ∠ EFB=∠ C.$
$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ EBF=∠ EBC.$
在$△ BEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠ EFB=∠ C,\\ ∠ EBF=∠ EBC,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS}),\therefore BC=BF.$
$\because AD=AF,\therefore AD+BC=AF+BF=AB.$
解析
【分析】
要证明两条线段的和等于第三条线段，通常采用截长补短的辅助线构造方法。本题适合用截长法：首先在AB上截取一段AF等于AD，利用AE是∠PAB的平分线得到一组等角，结合公共边AE，可证明△DAE与△FAE全等，得到对应角相等；再根据AD平行于BC可得同旁内角互补，结合平角的性质推出∠EFB=∠C，然后利用BE是∠CBA的平分线得到等角，结合公共边BE证明△BEF与△BEC全等，得到BC=BF，最后由AF+BF=AB即可推出AD+BC=AB。
【解析】
我们采用截长法证明：
1. 构造辅助线：在AB上截取AF=AD，连接EF。
2. 证明第一组三角形全等：
已知AE平分∠PAB，因此∠DAE=∠FAE。在△DAE和△FAE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE（公共边），由SAS判定可得△DAE≌△FAE，因此对应角∠ADE=∠AFE。
3. 推导角的等量关系：
因为AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠ADE+∠C=180°。又因为∠AFE+∠EFB=180°（平角的定义），根据等角的补角相等，可得∠EFB=∠C。
4. 证明第二组三角形全等：
已知BE平分∠ABC，因此∠EBF=∠EBC。在△BEF和△BEC中，∠EFB=∠C，∠EBF=∠EBC，BE=BE（公共边），由AAS判定可得△BEF≌△BEC，因此对应边BC=BF。
5. 推导线段和：
因为AB=AF+BF，且AD=AF，BC=BF，所以AD+BC=AF+BF=AB，结论得证。
【答案】
证明:如答图,在 AB 上截取 AF=AD,连接 EF.
$\because AE$平分$∠ PAB,\therefore ∠ DAE=∠ FAE.$
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\begin{cases} AD=AF,\\ ∠ DAE=∠ FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADE=∠ AFE.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ ADE+∠ C=180°.$
$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°,\therefore ∠ EFB=∠ C.$
$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ EBF=∠ EBC.$
在$△ BEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠ EFB=∠ C,\\ ∠ EBF=∠ EBC,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS}),\therefore BC=BF.$
$\because AD=AF,\therefore AD+BC=AF+BF=AB.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，核心考查截长补短辅助线的构造思路，解题时需结合已知的角平分线、平行线条件推导角的等量关系，进而通过证明三角形全等得到线段的等量关系，也可尝试用补短法（延长AE交BC的延长线于一点）求解，有助于发散解题思维。
【难度系数】
0.6
要证明两条线段的和等于第三条线段，通常采用截长补短的辅助线构造方法。本题适合用截长法：首先在AB上截取一段AF等于AD，利用AE是∠PAB的平分线得到一组等角，结合公共边AE，可证明△DAE与△FAE全等，得到对应角相等；再根据AD平行于BC可得同旁内角互补，结合平角的性质推出∠EFB=∠C，然后利用BE是∠CBA的平分线得到等角，结合公共边BE证明△BEF与△BEC全等，得到BC=BF，最后由AF+BF=AB即可推出AD+BC=AB。
【解析】
我们采用截长法证明：
1. 构造辅助线：在AB上截取AF=AD，连接EF。
2. 证明第一组三角形全等：
已知AE平分∠PAB，因此∠DAE=∠FAE。在△DAE和△FAE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE（公共边），由SAS判定可得△DAE≌△FAE，因此对应角∠ADE=∠AFE。
3. 推导角的等量关系：
因为AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠ADE+∠C=180°。又因为∠AFE+∠EFB=180°（平角的定义），根据等角的补角相等，可得∠EFB=∠C。
4. 证明第二组三角形全等：
已知BE平分∠ABC，因此∠EBF=∠EBC。在△BEF和△BEC中，∠EFB=∠C，∠EBF=∠EBC，BE=BE（公共边），由AAS判定可得△BEF≌△BEC，因此对应边BC=BF。
5. 推导线段和：
因为AB=AF+BF，且AD=AF，BC=BF，所以AD+BC=AF+BF=AB，结论得证。
【答案】
证明:如答图,在 AB 上截取 AF=AD,连接 EF
.$\because AE$平分$∠ PAB,\therefore ∠ DAE=∠ FAE.$
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\begin{cases} AD=AF,\\ ∠ DAE=∠ FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADE=∠ AFE.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ ADE+∠ C=180°.$
$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°,\therefore ∠ EFB=∠ C.$
$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ EBF=∠ EBC.$
在$△ BEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠ EFB=∠ C,\\ ∠ EBF=∠ EBC,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS}),\therefore BC=BF.$
$\because AD=AF,\therefore AD+BC=AF+BF=AB.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，核心考查截长补短辅助线的构造思路，解题时需结合已知的角平分线、平行线条件推导角的等量关系，进而通过证明三角形全等得到线段的等量关系，也可尝试用补短法（延长AE交BC的延长线于一点）求解，有助于发散解题思维。
【难度系数】
0.6
6.(玄武区月考)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°.
求证:DA平分∠CDE.
求证:DA平分∠CDE.
答案
6. 证明:如答图,连接 AC,延长 DE 到点 F,使 EF=BC,连接 AF
.$\because BC+DE=CD,EF+DE=DF,\therefore CD=FD.$
$\because ∠ ABC+∠ AED=180°,∠ AEF+∠ AED=180°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ AEF.$
在$△ ABC$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ ABC=∠ AEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AF.$
在$△ ACD$和$△ AFD$中,$\begin{cases} AC=AF\\ CD=FD,\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ ADF,$
即$DA$平分$∠ CDE.$
解析
【分析】
要证明DA平分∠CDE，本质是证明∠ADC=∠ADE，可通过证明包含这两个角的三角形全等实现。观察已知条件：有AB=AE，∠ABC与∠AED互补，且BC+DE=CD。首先利用“同角的补角相等”构造等角，同时凑出相等的线段：延长DE到F使EF=BC，此时既可得∠AEF=∠ABC，又能得到DF=BC+DE=CD。结合AB=AE先证△ABC≌△AEF，得到AC=AF，再利用公共边AD，即可通过SSS证明△ACD≌△AFD，推出对应角相等，完成证明。
【解析】
证明：如答图，连接 AC，延长 DE 到点 F，使 EF=BC，连接 AF。
$\because BC+DE=CD,EF+DE=DF,\therefore CD=FD.$
$\because ∠ ABC+∠ AED=180°,∠ AEF+∠ AED=180°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ AEF.$
在$△ ABC$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ ABC=∠ AEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AF.$
在$△ ACD$和$△ AFD$中,$\begin{cases} AC=AF\\ CD=FD,\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ ADF,$
即$DA$平分$∠ CDE.$
【答案】
证明：如答图，连接 AC，延长 DE 到点 F，使 EF=BC，连接 AF。
$\because BC+DE=CD,EF+DE=DF,\therefore CD=FD.$
$\because ∠ ABC+∠ AED=180°,∠ AEF+∠ AED=180°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ AEF.$
在$△ ABC$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ ABC=∠ AEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AF.$
在$△ ACD$和$△ AFD$中,$\begin{cases} AC=AF\\ CD=FD,\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ ADF,$
即$DA$平分$∠ CDE.$
【知识点】
全等三角形判定与性质；补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等证明中典型的辅助线构造类题型，解题核心是根据已知的边相等、角互补的特征，通过延长线段构造全等三角形，将分散的边、角条件整合到可证全等的三角形中，再利用全等的性质推导角相等，对学生的条件转化和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要证明DA平分∠CDE，本质是证明∠ADC=∠ADE，可通过证明包含这两个角的三角形全等实现。观察已知条件：有AB=AE，∠ABC与∠AED互补，且BC+DE=CD。首先利用“同角的补角相等”构造等角，同时凑出相等的线段：延长DE到F使EF=BC，此时既可得∠AEF=∠ABC，又能得到DF=BC+DE=CD。结合AB=AE先证△ABC≌△AEF，得到AC=AF，再利用公共边AD，即可通过SSS证明△ACD≌△AFD，推出对应角相等，完成证明。
【解析】
证明：如答图，连接 AC，延长 DE 到点 F，使 EF=BC，连接 AF
。$\because BC+DE=CD,EF+DE=DF,\therefore CD=FD.$
$\because ∠ ABC+∠ AED=180°,∠ AEF+∠ AED=180°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ AEF.$
在$△ ABC$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ ABC=∠ AEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AF.$
在$△ ACD$和$△ AFD$中,$\begin{cases} AC=AF\\ CD=FD,\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ ADF,$
即$DA$平分$∠ CDE.$
【答案】
证明：如答图，连接 AC，延长 DE 到点 F，使 EF=BC，连接 AF
。$\because BC+DE=CD,EF+DE=DF,\therefore CD=FD.$
$\because ∠ ABC+∠ AED=180°,∠ AEF+∠ AED=180°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ AEF.$
在$△ ABC$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ ABC=∠ AEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AF.$
在$△ ACD$和$△ AFD$中,$\begin{cases} AC=AF\\ CD=FD,\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ ADF,$
即$DA$平分$∠ CDE.$
【知识点】
全等三角形判定与性质；补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等证明中典型的辅助线构造类题型，解题核心是根据已知的边相等、角互补的特征，通过延长线段构造全等三角形，将分散的边、角条件整合到可证全等的三角形中，再利用全等的性质推导角相等，对学生的条件转化和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.(建湖县月考)如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E,且AD=CD.
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)试探究线段AB,BC,BE之间的数量关系,并说明理由.
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)试探究线段AB,BC,BE之间的数量关系,并说明理由.
答案
7. (1)证明:如答图,过点 D 作$DF⊥ BA$于点 F
.$\because BD$为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ EBD=∠ FBD.$
$\because DE⊥ BC,DF⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ BFD=90°.$
在$△ BDE$和$△ BDF$中,$\begin{cases} ∠ EBD=∠ FBD,\\ ∠ BED=∠ BFD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$\begin{cases} AD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAF=∠ DCE,AF=CE.$
$\because ∠ DAF+∠ BAD=180°,\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°.$
(2)解:$AB+BC=2BE$.理由如下:
由(1)可知$△ BDF≌△ BDE$,则$BF=BE$,
$\therefore AB+BC=BF-AF+BE+EC=2BE.$
解析
【分析】
(1)要证∠BAD+∠BCD=180°，结合BD是∠ABC的平分线，可利用角平分线的性质构造全等三角形：过点D作DF⊥BA的延长线于F，可得DE=DF；结合已知AD=CD，可证明Rt△ADF≌Rt△CDE，得到∠DAF=∠BCD，再根据∠DAF与∠BAD互为邻补角，即可完成证明。
(2)探究AB、BC、BE的数量关系时，结合(1)中的全等结论可得AF=CE，同时由△BDE≌△BDF可得BF=BE，将AB改写为BF-AF，BC改写为BE+CE，代入后化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)证明：如答图，过点D作$DF⊥ BA$于点F。
$\because BD$为$∠ ABC$的平分线，$\therefore ∠ EBD=∠ FBD$。
$\because DE⊥ BC,DF⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ BFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ BDF$中，$\begin{cases} ∠ EBD=∠ FBD,\\ ∠ BED=∠ BFD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} AD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAF=∠ DCE,AF=CE$。
$\because ∠ DAF+∠ BAD=180°,\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$。
(2)解：$AB+BC=2BE$，理由如下：
由(1)可知$△ BDF≌△ BDE$，则$BF=BE$，
$\therefore AB+BC=BF-AF+BE+EC=BE-CE+BE+CE=2BE$。
【答案】
(1) 证明：如答图，过点 D 作$DF⊥ BA$于点 F。
$\because BD$为$∠ ABC$的平分线，$\therefore ∠ EBD=∠ FBD$。
$\because DE⊥ BC,DF⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ BFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ BDF$中，$\begin{cases} ∠ EBD=∠ FBD,\\ ∠ BED=∠ BFD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} AD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAF=∠ DCE,AF=CE$。
$\because ∠ DAF+∠ BAD=180°,\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$。
(2) $AB+BC=2BE$，理由如下：
由(1)可知$△ BDF≌△ BDE$，则$BF=BE$，
$\therefore AB+BC=BF-AF+BE+EC=2BE$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，解题的核心是根据角平分线的性质构造垂线得到全等三角形，将待证的角、线段关系通过全等转化，这类辅助线构造方法是几何证明中的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1)要证∠BAD+∠BCD=180°，结合BD是∠ABC的平分线，可利用角平分线的性质构造全等三角形：过点D作DF⊥BA的延长线于F，可得DE=DF；结合已知AD=CD，可证明Rt△ADF≌Rt△CDE，得到∠DAF=∠BCD，再根据∠DAF与∠BAD互为邻补角，即可完成证明。
(2)探究AB、BC、BE的数量关系时，结合(1)中的全等结论可得AF=CE，同时由△BDE≌△BDF可得BF=BE，将AB改写为BF-AF，BC改写为BE+CE，代入后化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)证明：如答图，过点D作$DF⊥ BA$于点F
。$\because BD$为$∠ ABC$的平分线，$\therefore ∠ EBD=∠ FBD$。
$\because DE⊥ BC,DF⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ BFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ BDF$中，$\begin{cases} ∠ EBD=∠ FBD,\\ ∠ BED=∠ BFD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} AD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAF=∠ DCE,AF=CE$。
$\because ∠ DAF+∠ BAD=180°,\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$。
(2)解：$AB+BC=2BE$，理由如下：
由(1)可知$△ BDF≌△ BDE$，则$BF=BE$，
$\therefore AB+BC=BF-AF+BE+EC=BE-CE+BE+CE=2BE$。
【答案】
(1) 证明：如答图，过点 D 作$DF⊥ BA$于点 F
。$\because BD$为$∠ ABC$的平分线，$\therefore ∠ EBD=∠ FBD$。
$\because DE⊥ BC,DF⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ BFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ BDF$中，$\begin{cases} ∠ EBD=∠ FBD,\\ ∠ BED=∠ BFD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} AD=CD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAF=∠ DCE,AF=CE$。
$\because ∠ DAF+∠ BAD=180°,\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$。
(2) $AB+BC=2BE$，理由如下：
由(1)可知$△ BDF≌△ BDE$，则$BF=BE$，
$\therefore AB+BC=BF-AF+BE+EC=2BE$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，解题的核心是根据角平分线的性质构造垂线得到全等三角形，将待证的角、线段关系通过全等转化，这类辅助线构造方法是几何证明中的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.求证:∠B=∠C. 
答案
8. 证明:如答图,过点 D 作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$,则$∠ DEA=∠ DFA=90°$
.$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
又$\because ∠ DEA=∠ DFA,AD=AD,$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF.$
又$\because BD=CD,\therefore \mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ B=∠ C.$
解析
【分析】
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，可过D向AB、AC作垂线段，得到一组相等的垂线段；再结合已知BD=CD，即可证明两个直角三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，可得$∠ DEA=∠ DFA=90°$。
2. 证明$△ ADE≌△ ADF$：
因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD=∠ CAD$，又$∠ DEA=∠ DFA$，且AD为公共边，根据AAS判定定理，可得$△ ADE≌△ ADF$，因此$DE=DF$。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF$：
已知$BD=CD$，且已证$DE=DF$，两个三角形均为直角三角形，根据HL判定定理，可得$\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF$。
4. 根据全等三角形对应角相等，即可得$∠ B=∠ C$。
【答案】
证明:如答图,过点 D 作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$,则$∠ DEA=∠ DFA=90°$.
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
又$\because ∠ DEA=∠ DFA,AD=AD,$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF.$
又$\because BD=CD,\therefore \mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ B=∠ C.$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题属于构造全等三角形证明角相等的基础题型，利用角平分线的性质作辅助线得到相等的垂线段是解题的突破口，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能结合已知条件灵活选择辅助线的做法。
【难度系数】
0.7
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，可过D向AB、AC作垂线段，得到一组相等的垂线段；再结合已知BD=CD，即可证明两个直角三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，可得$∠ DEA=∠ DFA=90°$。
2. 证明$△ ADE≌△ ADF$：
因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD=∠ CAD$，又$∠ DEA=∠ DFA$，且AD为公共边，根据AAS判定定理，可得$△ ADE≌△ ADF$，因此$DE=DF$。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF$：
已知$BD=CD$，且已证$DE=DF$，两个三角形均为直角三角形，根据HL判定定理，可得$\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF$。
4. 根据全等三角形对应角相等，即可得$∠ B=∠ C$。
【答案】
证明:如答图,过点 D 作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$,则$∠ DEA=∠ DFA=90°$
.$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
又$\because ∠ DEA=∠ DFA,AD=AD,$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF.$
又$\because BD=CD,\therefore \mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ B=∠ C.$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题属于构造全等三角形证明角相等的基础题型，利用角平分线的性质作辅助线得到相等的垂线段是解题的突破口，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能结合已知条件灵活选择辅助线的做法。
【难度系数】
0.7
