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4.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ADC＝120°.将一个足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形ABCD的顶点B重合，当三角尺的30°角(∠MBN)绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于点E，F.
(1)当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF时(如图①)，请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系.
(2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图②)，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.
(3)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图③和图④)，请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系.
易错知识点:全等三角形的判定与性质
(1)当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF时(如图①)，请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系.
(2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图②)，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.
(3)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图③和图④)，请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系.
易错知识点:全等三角形的判定与性质
答案
解:(1)AE+CF=EF.
(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:
如答图,延长EA到点G,使AG=FC,连接BG.
∵AB⊥AD,BC⊥CD,
∴∠BAG=∠BAD=∠BCD=90°.
又
∵GA=FC,AB=CB,
∴△GAB≌△FCB(SAS),
∴∠GBA=∠FBC,GB=FB.
∵∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=120°,
∴∠ABC=60°,
∴∠FBC+∠FBA=60°,
∴∠GBA+∠FBA=60°,即∠GBF=60°.
∵∠EBF=30°,
∴∠GBE=∠EBF=30°.
又
∵GB=FB,BE=BE,
∴△GBE≌△FBE(SAS),
∴GE=FE.
∵GE=AG+AE,
∴EF=AE+CF.
(3)题图③中,AE−CF=EF;题图④中,AE+EF=CF.
解析
【分析】
这是旋转背景下的线段和差关系探究题，解题核心是用截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上推导关系：
1. 第(1)问已知AE=CF，可先证△ABE和△CBF全等，结合∠MBN=30°的条件，直接推导EF与AE、CF的和差关系；
2. 第(2)问AE≠CF时，采用补短法：延长EA到G使AG=CF，利用已知的AB=BC、两组直角条件先证△GAB≌△FCB，得到边和角的等量关系，再结合四边形内角和算出∠ABC=60°，配合∠EBF=30°的条件证△GBE≌△FBE，将EF转化为GE即可得到三者关系；
3. 第(3)问的两个图形中，同理用截长补短构造全等，根据E、F的位置变化，推导对应的线段和差关系即可。
【解析】
(1) 当AE=CF时，可证△ABE≌△CBF，结合角度条件推导得AE+CF=EF；
(2) (1)中的结论仍然成立，证明如下：
如答图，延长EA到点G，使AG=FC，连接BG。
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠BAG=∠BAD=∠BCD=90°。
又
∵GA=FC，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB(SAS)，
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB。
∵四边形内角和为360°，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，
∴∠ABC=360°-90°-90°-120°=60°，
∴∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，即∠GBF=60°。
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=∠GBF-∠EBF=30°，即∠GBE=∠EBF。
又
∵GB=FB，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(SAS)，
∴GE=FE。
∵GE=AG+AE，AG=CF，
∴EF=AE+CF。
(3) 题图③中E在AD延长线、F在DC上，同理构造全等可得AE−CF=EF；题图④中E在DA延长线、F在DC延长线上，推导可得AE+EF=CF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE+CF=EF}$
(2) 成立，证明如下：
如答图，延长EA到点G，使AG=FC，连接BG。
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠BAG=∠BAD=∠BCD=90°。
又
∵GA=FC，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB(SAS)，
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB。
∵∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，即∠GBF=60°。
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=∠EBF=30°。
又
∵GB=FB，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(SAS)，
∴GE=FE。
∵GE=AG+AE，
∴$\boldsymbol{EF=AE+CF}$。
(3) 题图③：$\boldsymbol{AE−CF=EF}$；题图④：$\boldsymbol{AE+EF=CF}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 四边形内角和
3. 截长补短法
【点评】
本题是旋转类线段和差探究题，核心是通过截长补短构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上建立等量关系，解题时要充分利用已知的边相等、垂直等条件，灵活运用全等判定定理，同时注意动点位置变化时线段和差关系会对应改变，需分类讨论避免出错。
【难度系数】
0.6
这是旋转背景下的线段和差关系探究题，解题核心是用截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上推导关系：
1. 第(1)问已知AE=CF，可先证△ABE和△CBF全等，结合∠MBN=30°的条件，直接推导EF与AE、CF的和差关系；
2. 第(2)问AE≠CF时，采用补短法：延长EA到G使AG=CF，利用已知的AB=BC、两组直角条件先证△GAB≌△FCB，得到边和角的等量关系，再结合四边形内角和算出∠ABC=60°，配合∠EBF=30°的条件证△GBE≌△FBE，将EF转化为GE即可得到三者关系；
3. 第(3)问的两个图形中，同理用截长补短构造全等，根据E、F的位置变化，推导对应的线段和差关系即可。
【解析】
(1) 当AE=CF时，可证△ABE≌△CBF，结合角度条件推导得AE+CF=EF；
(2) (1)中的结论仍然成立，证明如下：
如答图，延长EA到点G，使AG=FC，连接BG。
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠BAG=∠BAD=∠BCD=90°。
又
∵GA=FC，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB(SAS)，
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB。
∵四边形内角和为360°，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，
∴∠ABC=360°-90°-90°-120°=60°，
∴∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，即∠GBF=60°。
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=∠GBF-∠EBF=30°，即∠GBE=∠EBF。
又
∵GB=FB，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(SAS)，
∴GE=FE。
∵GE=AG+AE，AG=CF，
∴EF=AE+CF。
(3) 题图③中E在AD延长线、F在DC上，同理构造全等可得AE−CF=EF；题图④中E在DA延长线、F在DC延长线上，推导可得AE+EF=CF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE+CF=EF}$
(2) 成立，证明如下：
如答图，延长EA到点G，使AG=FC，连接BG。
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠BAG=∠BAD=∠BCD=90°。
又
∵GA=FC，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB(SAS)，
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB。
∵∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，即∠GBF=60°。
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=∠EBF=30°。
又
∵GB=FB，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(SAS)，
∴GE=FE。
∵GE=AG+AE，
∴$\boldsymbol{EF=AE+CF}$。
(3) 题图③：$\boldsymbol{AE−CF=EF}$；题图④：$\boldsymbol{AE+EF=CF}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 四边形内角和
3. 截长补短法
【点评】
本题是旋转类线段和差探究题，核心是通过截长补短构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上建立等量关系，解题时要充分利用已知的边相等、垂直等条件，灵活运用全等判定定理，同时注意动点位置变化时线段和差关系会对应改变，需分类讨论避免出错。
【难度系数】
0.6
