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1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 (
A.AB=AD
B.CA平分∠BCD
C.△BEC≌△DEC
D.AB=BD
D
)A.AB=AD
B.CA平分∠BCD
C.△BEC≌△DEC
D.AB=BD
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先根据已知条件“AC垂直平分BD”，结合线段垂直平分线的性质推导得到边相等、角相等的关系，再逐一分析每个选项是否必然成立，最终选出不一定成立的选项。
第一步：回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得A、C到B、D的距离相等；
第二步：结合等腰三角形性质和全等三角形判定，依次验证A、B、C选项的正确性；
第三步：判断D选项是否有对应的推导依据，确定最终答案。
【解析】
已知AC垂直平分BD，可得：BE=DE，AC⊥BD，且点A、C都在BD的垂直平分线AC上，因此AB=AD，CB=CD。
选项A：由线段垂直平分线的性质直接得AB=AD，该结论一定成立，不符合题意；
选项B：因为CB=CD，△BCD是等腰三角形，又AC⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CA平分∠BCD，该结论一定成立，不符合题意；
选项C：在△BEC和△DEC中，$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ BEC=∠ DEC=90°\\ CE=CE\end{array} $，根据SAS可判定△BEC≌△DEC，该结论一定成立，不符合题意；
选项D：题中没有给出边长相关的等量关系，无法推出AB=BD，该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对线段垂直平分线性质的应用，同时结合了等腰三角形和全等三角形的相关知识，熟练掌握基础定理即可快速判断。
【难度系数】
0.85
解题时先根据已知条件“AC垂直平分BD”，结合线段垂直平分线的性质推导得到边相等、角相等的关系，再逐一分析每个选项是否必然成立，最终选出不一定成立的选项。
第一步：回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得A、C到B、D的距离相等；
第二步：结合等腰三角形性质和全等三角形判定，依次验证A、B、C选项的正确性；
第三步：判断D选项是否有对应的推导依据，确定最终答案。
【解析】
已知AC垂直平分BD，可得：BE=DE，AC⊥BD，且点A、C都在BD的垂直平分线AC上，因此AB=AD，CB=CD。
选项A：由线段垂直平分线的性质直接得AB=AD，该结论一定成立，不符合题意；
选项B：因为CB=CD，△BCD是等腰三角形，又AC⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CA平分∠BCD，该结论一定成立，不符合题意；
选项C：在△BEC和△DEC中，$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ BEC=∠ DEC=90°\\ CE=CE\end{array} $，根据SAS可判定△BEC≌△DEC，该结论一定成立，不符合题意；
选项D：题中没有给出边长相关的等量关系，无法推出AB=BD，该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对线段垂直平分线性质的应用，同时结合了等腰三角形和全等三角形的相关知识，熟练掌握基础定理即可快速判断。
【难度系数】
0.85
2.(锡山区月考)如图，DE是$△ ABC$的边BC的垂直平分线.若$AC=8$，$AB=6$，$BC=4$，则$△ ADB$的周长为（
A.14
B.13
C.12
D.10
A
）A.14
B.13
C.12
D.10
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从题目给出的“DE是BC的垂直平分线”这一条件入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得点D到B、C的距离相等，即BD=CD。再写出△ADB的周长表达式为AB+AD+BD，将BD替换为CD后，可将周长转化为AB+AC的和，直接代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BD=CD，
△ADB的周长 = $AB + AD + BD$，
将$BD=CD$代入上式，得：
周长 = $AB + AD + CD$，
又
∵$AD+CD=AC$，
∴△ADB的周长 = $AB + AC$，
代入已知$AB=6$，$AC=8$，得：
周长 = $6+8=14$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成未知线段和已知线段的转化，从而简化周长的计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目给出的“DE是BC的垂直平分线”这一条件入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得点D到B、C的距离相等，即BD=CD。再写出△ADB的周长表达式为AB+AD+BD，将BD替换为CD后，可将周长转化为AB+AC的和，直接代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BD=CD，
△ADB的周长 = $AB + AD + BD$，
将$BD=CD$代入上式，得：
周长 = $AB + AD + CD$，
又
∵$AD+CD=AC$，
∴△ADB的周长 = $AB + AC$，
代入已知$AB=6$，$AC=8$，得：
周长 = $6+8=14$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成未知线段和已知线段的转化，从而简化周长的计算过程。
【难度系数】
0.8
3. 直线$ l $是一条河，$ P,Q $是$ l $同侧的两个村庄.欲在$ l $上的$ M $处修建一个水泵站，向$ P,Q $两地供水.现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则$ M $处到$ P,Q $两地距离相等的方案是 （
C
）答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确核心要求：点M在直线l上，且M到P、Q两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知M既在PQ的垂直平分线上，又在直线l上，因此PQ的垂直平分线与直线l的交点就是所求的M点，据此逐一判断选项即可。
【解析】
若点M到P、Q两地的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，点M一定在线段PQ的垂直平分线上，同时点M在直线l上，因此只需作出线段PQ的垂直平分线，它与直线l的交点即为符合要求的点M。
对各选项逐一分析：
A、B选项的作图都没有作出PQ的垂直平分线，无法保证M到P、Q的距离相等，不符合要求；
C选项中，PQ的垂直平分线与直线l交于M点，此时MP=MQ，符合题意；
D选项的作图是求PM+QM最短时M点的方法（作P关于l的对称点，连接对称点与Q交l于M），不能保证MP=MQ，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图应用
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定的实际应用，解题时要注意区分“到两点距离相等”和“到两点路径和最短”两类常见作图题的不同逻辑，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确核心要求：点M在直线l上，且M到P、Q两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知M既在PQ的垂直平分线上，又在直线l上，因此PQ的垂直平分线与直线l的交点就是所求的M点，据此逐一判断选项即可。
【解析】
若点M到P、Q两地的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，点M一定在线段PQ的垂直平分线上，同时点M在直线l上，因此只需作出线段PQ的垂直平分线，它与直线l的交点即为符合要求的点M。
对各选项逐一分析：
A、B选项的作图都没有作出PQ的垂直平分线，无法保证M到P、Q的距离相等，不符合要求；
C选项中，PQ的垂直平分线与直线l交于M点，此时MP=MQ，符合题意；
D选项的作图是求PM+QM最短时M点的方法（作P关于l的对称点，连接对称点与Q交l于M），不能保证MP=MQ，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图应用
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定的实际应用，解题时要注意区分“到两点距离相等”和“到两点路径和最短”两类常见作图题的不同逻辑，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
4.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BC=BD+AD，则点D在
线段AC
的垂直平分线上。答案
4.线段AC
解析
【分析】
首先观察图形，点D在BC上，因此BC可拆分为BD与DC的和，结合题目给出的BC=BD+AD，通过等量代换即可推导出AD与DC的长度相等。再回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可判断点D所在的垂直平分线对应的线段。
【解析】
∵ 点D在BC上，
∴ $BC = BD + DC$，
又
∵ 已知$BC = BD + AD$，
∴ $BD + DC = BD + AD$，
等式两边同时减去BD，可得$AD = DC$，
根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点D在线段AC的垂直平分线上。
【答案】
线段AC
【知识点】
线段的和差计算；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过线段的和差关系推导出AD=DC，再结合线段垂直平分线的判定定理得出结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，点D在BC上，因此BC可拆分为BD与DC的和，结合题目给出的BC=BD+AD，通过等量代换即可推导出AD与DC的长度相等。再回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可判断点D所在的垂直平分线对应的线段。
【解析】
∵ 点D在BC上，
∴ $BC = BD + DC$，
又
∵ 已知$BC = BD + AD$，
∴ $BD + DC = BD + AD$，
等式两边同时减去BD，可得$AD = DC$，
根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点D在线段AC的垂直平分线上。
【答案】
线段AC
【知识点】
线段的和差计算；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过线段的和差关系推导出AD=DC，再结合线段垂直平分线的判定定理得出结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. $△ ABC$三边的垂直平分线交于点$O$,若点$O$在$△ ABC$的内部,则$△ ABC$的形状为________;若点$O$在$△ ABC$的外部,则$△ ABC$的形状为________;若点$O$在$△ ABC$的边上,则$△ ABC$的形状为________.
答案
5. 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形
解析
【分析】
解题时首先要明确：三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心（即外接圆的圆心），外心的位置和三角形的形状有直接对应关系。我们可以分别回忆三类按角划分的三角形的外心位置：锐角三角形的外心在内部，钝角三角形的外心在外部，直角三角形的外心在斜边中点（即三角形的边上），对应填入即可。
【解析】
三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外接圆圆心，也叫外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。
1. 若外心在△ABC内部，说明三角形三个内角均为锐角，△ABC是锐角三角形；
2. 若外心在△ABC外部，说明三角形存在一个大于90°的钝角，△ABC是钝角三角形；
3. 若外心在△ABC的边上，说明该边是外接圆的直径，对应的角为直角，△ABC是直角三角形。
【答案】
锐角三角形；钝角三角形；直角三角形
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形外心；三角形分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握三角形外心位置与三角形形状的对应规律，牢记三类三角形的外心位置即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心（即外接圆的圆心），外心的位置和三角形的形状有直接对应关系。我们可以分别回忆三类按角划分的三角形的外心位置：锐角三角形的外心在内部，钝角三角形的外心在外部，直角三角形的外心在斜边中点（即三角形的边上），对应填入即可。
【解析】
三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外接圆圆心，也叫外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。
1. 若外心在△ABC内部，说明三角形三个内角均为锐角，△ABC是锐角三角形；
2. 若外心在△ABC外部，说明三角形存在一个大于90°的钝角，△ABC是钝角三角形；
3. 若外心在△ABC的边上，说明该边是外接圆的直径，对应的角为直角，△ABC是直角三角形。
【答案】
锐角三角形；钝角三角形；直角三角形
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形外心；三角形分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握三角形外心位置与三角形形状的对应规律，牢记三类三角形的外心位置即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.
(1)若AC=6,△ABD的周长是13,则△ABC的周长是
(2)若在△ABC中,∠B=62°,∠C=36°,求∠BAD的度数.
(1)若AC=6,△ABD的周长是13,则△ABC的周长是
19
;(2)若在△ABC中,∠B=62°,∠C=36°,求∠BAD的度数.
答案
6.(1)19
(2)解:在△ABC中,∠B=62°,∠C=36°,
则∠BAC=180°-∠B-∠C=82°.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=36°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°.
(2)解:在△ABC中,∠B=62°,∠C=36°,
则∠BAC=180°-∠B-∠C=82°.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=36°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°.
解析
【分析】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题思路如下：
(1) 先根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，将△ABD的周长转化为AB+BC的长度，再结合AC的长度，即可求出△ABC的周长；
(2) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据线段垂直平分线的性质推出DA=DC，进而得到∠DAC=∠C，最后用∠BAC减去∠DAC即可求出∠BAD的度数。
【解析】
(1)
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC。
∵△ABD的周长是13，即AB+BD+AD=13，
将AD替换为DC，可得AB+BD+DC=AB+BC=13，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19。
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-62°-36°=82°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=36°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°。
【答案】
(1)19；(2)46°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，将周长计算、角度计算与该性质结合，解题核心是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等这一性质，能快速实现线段和角的等量转化。
【难度系数】
0.8
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题思路如下：
(1) 先根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，将△ABD的周长转化为AB+BC的长度，再结合AC的长度，即可求出△ABC的周长；
(2) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据线段垂直平分线的性质推出DA=DC，进而得到∠DAC=∠C，最后用∠BAC减去∠DAC即可求出∠BAD的度数。
【解析】
(1)
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC。
∵△ABD的周长是13，即AB+BD+AD=13，
将AD替换为DC，可得AB+BD+DC=AB+BC=13，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19。
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-62°-36°=82°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=36°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°。
【答案】
(1)19；(2)46°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，将周长计算、角度计算与该性质结合，解题核心是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等这一性质，能快速实现线段和角的等量转化。
【难度系数】
0.8
7.有下列说法:①线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等;②如果一个点到一条线段两端的距离相等,那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上;③线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合;④到一条线段两端距离不相等的点,不可能在这条线段的垂直平分线上.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查线段垂直平分线的相关概念辨析，解题时需逐一验证四个说法的正误：首先回忆线段垂直平分线的性质定理、判定定理，再结合其集合定义、逻辑关系判断反向表述的正确性，最后统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：这是线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，表述正确；
2. 说法②：这是线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，表述正确；
3. 说法③：线段垂直平分线的集合定义就是：所有到线段两端距离相等的点组成的图形就是这条线段的垂直平分线，因此表述正确；
4. 说法④：由性质定理可知，只要在垂直平分线上的点，到线段两端距离一定相等，因此到线段两端距离不相等的点，必然不在这条线段的垂直平分线上，表述正确。
综上，4个说法全部正确，正确个数是4。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；垂直平分线的集合定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，重点考查对线段垂直平分线性质和判定的理解，需要熟练掌握相关定理的正向表述和反向逻辑，避免对概念的理解出现偏差。
【难度系数】
0.8
本题考查线段垂直平分线的相关概念辨析，解题时需逐一验证四个说法的正误：首先回忆线段垂直平分线的性质定理、判定定理，再结合其集合定义、逻辑关系判断反向表述的正确性，最后统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：这是线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，表述正确；
2. 说法②：这是线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，表述正确；
3. 说法③：线段垂直平分线的集合定义就是：所有到线段两端距离相等的点组成的图形就是这条线段的垂直平分线，因此表述正确；
4. 说法④：由性质定理可知，只要在垂直平分线上的点，到线段两端距离一定相等，因此到线段两端距离不相等的点，必然不在这条线段的垂直平分线上，表述正确。
综上，4个说法全部正确，正确个数是4。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；垂直平分线的集合定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，重点考查对线段垂直平分线性质和判定的理解，需要熟练掌握相关定理的正向表述和反向逻辑，避免对概念的理解出现偏差。
【难度系数】
0.8
