8. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$ED$ 是 $AC$ 的垂直平分线,交 $AC$ 于点 $D$,交 $BC$ 于点 $E$.若 $∠ BAE=10°$,则 $∠ C$ 的度数是 .

8.40°

【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到ED是AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得EA=EC，再根据等腰三角形等边对等角的性质，推出∠EAC=∠C；②已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠BAC+∠C=90°；③观察角的组成，∠BAC=∠BAE+∠EAC，把∠BAE=10°、∠EAC=∠C代入上述关系，就可以得到关于∠C的一元一次方程，解方程即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C。
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠BAC + ∠C = 90°。
又
∵∠BAC = ∠BAE + ∠EAC，∠BAE=10°，∠EAC=∠C，
∴10° + ∠C + ∠C = 90°，
即2∠C = 80°，
解得∠C=40°。
【答案】
40°
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.等腰三角形等边对等角
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角关系，再结合直角三角形的角度性质建立等量关系计算即可，这类题是线段垂直平分线性质的典型应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

9.如图,在△ABC中,点D在边BC上,将点D分别以AB,AC所在直线为对称轴,画出对称点E,F,连接AE,AF.根据图中标示的角度可知∠EAF的度数是.

9.106°

【分析】
解题时先结合轴对称的性质推导角的等量关系：点D关于AB的对称点是E，可得∠EAB=∠DAB；点D关于AC的对称点是F，可得∠FAC=∠DAC，因此可推导出∠EAF=2∠BAC。再根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC，最后代入计算即可得到∠EAF的度数。
【解析】
1. 由轴对称的性质可知：
点D与点E关于AB对称，故$∠ EAB = ∠ DAB$；
点D与点F关于AC对称，故$∠ FAC = ∠ DAC$。
2. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理计算$∠ BAC$：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 55° - 72° = 53°$
3. 计算$∠ EAF$：
$∠ EAF = ∠ EAB + ∠ DAB + ∠ DAC + ∠ FAC = 2(∠ DAB + ∠ DAC) = 2∠ BAC = 2×53° = 106°$
【答案】
$106°$
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，核心是通过轴对称的性质将所求角转化为已知三角形内角的2倍，再结合三角形内角和定理求解，解题关键是找准对称后相等的角。
【难度系数】
0.7

10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD,BC相交于点E,F,连接AF.求证:AE=AF. 第10题图

10.证明:
∵O为AC的中点,
∴OA=OC.
∵AD//BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中,$\begin{cases}∠OAE=∠OCF,\\OA=OC,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
∵EF⊥AC,
∴AC垂直平分EF,
∴AE=AF.

【分析】
要证明AE=AF，可利用线段垂直平分线的性质推导：若能证明AC是线段EF的垂直平分线，则点A在EF的垂直平分线上，即可得AE=AF。首先结合已知条件证明△AOE和△COF全等得到OE=OF：先由AD//BC可得一组内错角相等，再结合O是AC中点、对顶角相等的条件，用ASA即可判定两个三角形全等；之后结合EF⊥AC的条件，可推出AC垂直平分EF，最终得到结论。
【解析】
证明:
∵O为AC的中点,
∴OA=OC.
∵AD//BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中,
$\begin{cases}∠OAE=∠OCF,\\OA=OC,\\∠∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
∵EF⊥AC,
∴AC垂直平分EF,
∴AE=AF.
【答案】
AE=AF，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先通过全等三角形得到线段相等，进而推出线段的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质得到待证结论，要求熟练掌握全等三角形的判定定理和线段垂直平分线的性质，并能灵活运用。
【难度系数】
0.7

11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E.求证:BE垂直平分CD.

11.证明:
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,$\begin{cases}BD=BC,\\BE=BE,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),
∴ED=EC.
∵ED=EC,BD=BC,
∴BE垂直平分CD.

【分析】
要证明BE垂直平分CD，可利用线段垂直平分线的判定思路：若两个点都到某条线段两端的距离相等，则过这两个点的直线就是该线段的垂直平分线。首先由已知BD=BC，可得点B在CD的垂直平分线上；接下来只需证明ED=EC，就能说明点E也在CD的垂直平分线上。观察图形可知，Rt△BDE和Rt△BCE有公共斜边BE，且已知BD=BC，可通过HL定理证明两个三角形全等，从而得到ED=EC，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ACB=∠BDE=90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
$\begin{cases} BD=BC \\ BE=BE \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴ED=EC。
∵ED=EC，BD=BC，
∴BE垂直平分CD。
【答案】
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,$\begin{cases}BD=BC,\\BE=BE,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),
∴ED=EC.
∵ED=EC,BD=BC,
∴BE垂直平分CD.
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定与线段垂直平分线的判定，解题时先通过全等得到对应边相等，再结合垂直平分线的判定定理即可得证，熟练掌握基础定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

12.如图,已知直线l及其两侧的点A,B,请按照下列要求分别作图:(尺规作图,保留痕迹,不写作法)
(1)在直线l上求作一点O,使其到A,B两点的距离之和最短；
(2)在直线l上求作一点P,使PA=PB；
(3)在直线l上求作一点Q,使直线l平分∠AQB.

易错知识点:线段垂直平分线的性质
易错考法:与线段垂直平分线有关的计算或证明

12.解:(1)如答图①,点O即为所求作的点.
(2)如答图②,点P即为所求作的点.
(3)如答图③,点Q即为所求作的点.

【分析】
本题是尺规作图的综合考查，三个小问对应不同的几何性质，解题思路如下：
(1)求直线l上到A、B距离和最短的点：因为点A、B在直线l两侧，根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB与直线l的交点即为所求点，此时距离和等于AB的长度，是最小值；
(2)求直线l上到A、B距离相等的点：根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为所求点；
(3)求直线l上使l平分∠AQB的点：根据轴对称的性质，若直线l平分∠AQB，则点B关于直线l的对称点一定在射线QA上，因此先作点B关于l的对称点B'，连接AB'并延长，与直线l的交点即为所求点。
【解析】
(1)连接AB，线段AB与直线l的交点即为点O，此时OA+OB=AB，根据两点之间线段最短，该距离和为最小值；
(2)作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线l的交点即为点P，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB；
(3)作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，与直线l的交点即为点Q，根据轴对称的性质，直线l平分∠BQB'，又Q、A、B'共线，因此直线l平分∠AQB。
【答案】
(1)如答图①,点O即为所求作的点.
(2)如答图②,点P即为所求作的点.
(3)如答图③,点Q即为所求作的点.
【知识点】
两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【点评】
本题是尺规作图的典型基础题，分别对应最短路径、等距点、角平分线三类常见作图需求，解题核心是准确将作图要求匹配对应的几何性质，注意区分三类作图的原理，避免混淆。
【难度系数】
0.7