1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（）

A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOC
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD

1.B

【分析】
要判断各选项结论是否正确，可结合已知条件逐步推导：首先根据角平分线的性质得到PC和PD的数量关系，先判断A选项；再证明△OCP与△ODP全等，利用全等三角形的性质判断C、D选项；最后分析∠CPD和∠DOC的关系，判断B选项是否成立，最终选出错误结论即可。
【解析】
已知OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB：
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PC=PD，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 在△OCP和△ODP中：
$\{\begin{array}{l}∠ OCP=∠ ODP=90°\\∠ COP=∠ DOP\\OP=OP\end{array} $

∴△OCP≌△ODP（AAS）
根据全等三角形的性质可得：∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D选项结论正确，不符合题意；
3. 题干无相关条件可证明∠CPD=∠DOC，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，结合全等三角形的判定得到边角的等量关系，再对选项逐一验证即可。
【难度系数】
0.8

2.(徐州期中)如图,在$△ ABC$中,CD是边AB上的高,BE平分$∠ ABC$,交CD于点E,BC=10,DE=3,则$△ BCE$的面积为 ()

A.16
B.15
C.14
D.13

2.B

【分析】
要计算△BCE的面积，已知底BC=10，只需要求出BC边上的高即可。根据已知条件，BE是∠ABC的角平分线，E在BE上，CD是AB边上的高即ED⊥AB，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点E到BC边的距离等于DE的长度，得到高之后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得EF=DE=3，
∴△BCE的面积为$\frac{1}{2}×BC×EF=\frac{1}{2}×10×3=15$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形BC边上的高，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7

3.已知$△ ABC$内一点P，如果点P到BC，AC两边的距离相等，则点P（）

A.在AB边的垂直平分线上
B.在AB边的高上
C.在AB边所对角的平分线上
D.在AB边的中线上

3.C

【分析】
解题时先回忆相关几何判定定理：首先明确角平分线的判定规则是“角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上”，线段垂直平分线的判定规则是“到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上”。题中给出点P到BC、AC两边的距离相等，先找到BC、AC的夹角是∠ACB（也就是AB边所对的角），初步判断点P在∠ACB的角平分线上，再逐一核对各选项对应的判定条件，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
已知点P到△ABC的边BC、AC的距离相等，边BC和AC的夹角为∠ACB，即AB边所对的角，因此点P在∠ACB的角平分线上，也就是AB边所对角的平分线上。
对各选项逐一分析：
A. 只有到点A、B距离相等的点才在AB边的垂直平分线上，不符合题设条件，排除；
B. AB边的高是过点C垂直于AB的线段，和点P到AC、BC距离相等的条件无关，排除；
D. AB边的中线是连接点C和AB中点的线段，不满足题设条件，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的基本线段
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是区分角平分线、垂直平分线、三角形高和中线的判定条件，准确匹配题设条件和对应定理即可快速解题，注意不要混淆不同几何图形的性质与判定规则。
【难度系数】
0.8

4.如图，在$△ ABC$中，$O$是$△ ABC$内一点，且点$O$到$△ ABC$三边的距离相等.若$∠ A=70°$，则$∠ BOC$的度数是________.

4.$125°$

【分析】
首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由点O到△ABC三边距离相等，可得出O是△ABC三个内角的角平分线的交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再求出这两个角一半的和，也就是△OBC中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，根据三角形内角和为$180°$，
得$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为$180°$，
得$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形与角平分线知识的基础综合题，解题的关键是先根据点到三边距离相等判断出点是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和公式逐步计算即可，是角平分线相关知识的典型常考题。
【难度系数】
0.8

5.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=41.8°$，$D$为$BC$上一点，$DE⊥ AB$，垂足为$E$。若$BC=4$，$DE=1.6$，$BD=2.4$，则$∠ DAC$的度数为________。

5.$24.1°$

【分析】
解题思路可分为三步：第一步先计算CD的长度，对比CD与DE的长度关系；第二步结合DE⊥AB、DC⊥AC的垂直条件，根据角平分线的判定定理判断AD是∠BAC的角平分线；第三步先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
1. 计算CD的长度：
已知$BC=4$，$BD=2.4$，
$\therefore CD=BC-BD=4-2.4=1.6$，
又$\because DE=1.6$，$\therefore CD=DE$。
2. 判断AD为角平分线：
$\because ∠C=90°$，$\therefore DC⊥ AC$，
又$\because DE⊥ AB$，
根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在$∠ BAC$的平分线上，即$AD$平分$∠ BAC$。
3. 计算$∠ DAC$的度数：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=41.8°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ B=90°-41.8°=48.2°$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×48.2°=24.1°$。
【答案】
$24.1°$
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础应用题，核心是通过线段长度相等推导角平分线，再结合直角三角形的角度性质计算目标角，重点考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

6.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D为垂足，CF=CB。求证：BE=FD。

6. 证明:$\because AC$平分$∠ BAD$,$CE⊥ AB$,$CD⊥ AD$,$\therefore CD=CE$.
在$\mathrm{Rt}△ CBE$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中,$\begin{cases} CB=CF, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CBE≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}),\therefore BE=FD.$

【分析】
要证明线段$BE=FD$，可通过证明二者所在的三角形全等推导。首先根据已知$AC$平分$∠ BAD$，且$CE⊥ AB$、$CD⊥ AD$，利用角平分线的性质可得到$CD=CE$；观察可得$BE$在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$FD$在$\mathrm{Rt}△ CFD$中，结合已知$CF=CB$，即可用直角三角形全等的HL判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明:$\because AC$平分$∠ BAD$,$CE⊥ AB$,$CD⊥ AD$,
$\therefore CD=CE$.
在$\mathrm{Rt}△ CBE$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中,
$\begin{cases} CB=CF, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CBE≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=FD.$
【答案】
证明:$\because AC$平分$∠ BAD$,$CE⊥ AB$,$CD⊥ AD$,$\therefore CD=CE$.
在$\mathrm{Rt}△ CBE$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中,$\begin{cases} CB=CF, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CBE≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}),\therefore BE=FD.$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是先通过角平分线的性质得到相等的垂线段，再结合已知条件证明直角三角形全等，整体逻辑连贯，能有效考查对基础几何性质和判定的掌握情况。
【难度系数】
0.8

7.(宜兴期末改编)如图,已知△ABC是锐角三角形,且三边长分别为a,b,c.
(1)请用圆规和无刻度的直尺作出点O,使点O到△ABC三边的距离相等;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若(1)中的点O到△ABC三边的距离均为m,则△ABC的面积为.(用含a,b,c,m的式子表示)

7.(1)解:如答图,点O即为所求.

(2)$\frac{1}{2}m(a+b+c)$

【分析】
(1) 解题思路：根据角平分线的性质，三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，交点即为所求的点O；
(2) 解题思路：要求△ABC的面积，可通过连接OA、OB、OC，将大三角形分割为3个分别以△ABC三边为底、以m为高的小三角形，分别计算3个小三角形的面积后求和，即可得到大三角形的面积。
【解析】
(1) 用尺规分别作出∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为点O，作图痕迹如答图所示；
(2) 连接OA、OB、OC，可得△OAB、△OBC、△OAC三个三角形。
已知点O到△ABC三边的距离均为m，即三个小三角形的高均为m，且BC=a，AC=b，AB=c。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}am$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}bm$，$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}cm$。
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}+S_{△ OAB}=\frac{1}{2}am+\frac{1}{2}bm+\frac{1}{2}cm=\frac{1}{2}m(a+b+c)$。
【答案】
(1) 如答图，点O即为所求。

(2) $\frac{1}{2}m(a+b+c)$
【知识点】
角平分线的性质；尺规作角平分线；三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查基础几何知识点的应用，作图类问题要牢记特殊点的性质来确定作图方法，面积计算类问题可通过合理分割图形简化计算过程，解题难度较低。
【难度系数】
0.8