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1.(2024春·玄武区期中)下列图形中,画△ABC的边BC上的高AD正确的是 (
B
)答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪个图形是△ABC边BC上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。因此BC边上的高AD需要满足两个核心条件：①必须过顶点A；②AD和BC所在的直线互相垂直，垂足为D。我们按照这两个条件逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段为该边上的高。作△ABC边BC上的高AD，需满足过点A，且AD与BC所在直线垂直。
对各选项逐一分析：
选项A：所作垂线未经过顶点A，不符合高的定义，错误；
选项B：过点A作BC所在直线的垂线，垂足D落在BC的延长线上，符合三角形高的定义，正确；
选项C：所作垂线段为CD，起点不是点A，不符合要求，错误；
选项D：AD与AB垂直，未与BC所在直线垂直，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义、垂直的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的掌握，需要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，熟记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图形是△ABC边BC上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。因此BC边上的高AD需要满足两个核心条件：①必须过顶点A；②AD和BC所在的直线互相垂直，垂足为D。我们按照这两个条件逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段为该边上的高。作△ABC边BC上的高AD，需满足过点A，且AD与BC所在直线垂直。
对各选项逐一分析：
选项A：所作垂线未经过顶点A，不符合高的定义，错误；
选项B：过点A作BC所在直线的垂线，垂足D落在BC的延长线上，符合三角形高的定义，正确；
选项C：所作垂线段为CD，起点不是点A，不符合要求，错误；
选项D：AD与AB垂直，未与BC所在直线垂直，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义、垂直的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的掌握，需要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，熟记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.(2024春·丰县期中)如图，AD是$△ ABC$的中线，$AB=8$，$AC=7$.若$△ ACD$的周长为18，则$△ ABD$的周长为（
A.15
B.16
C.20
D.19
D
）A.15
B.16
C.20
D.19
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此AD是△ABC的中线可推出BD=CD。接下来分别写出△ACD和△ABD的周长公式，对比两个公式可以发现：二者都包含公共边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差仅来源于AB与AC的边长差。已知△ACD的周长，只需先求出CD与AD的和，再整体代入△ABD的周长公式即可求解，无需单独计算每条未知边的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，即$\boldsymbol{BD=CD}$。
已知△ACD的周长为18，AC=7，根据三角形周长定义：
$C_{△ ACD}=AC+CD+AD=18$，
代入AC=7得：$CD+AD=18-7=11$。
再计算△ABD的周长：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
∵BD=CD，
∴$C_{△ ABD}=AB+(CD+AD)$，
代入AB=8，$CD+AD=11$得：
$C_{△ ABD}=8+11=19$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题的关键是抓住中线带来的等线段关系，通过整体代入的方法简化计算，避免无意义的单独求解未知边，降低计算量和出错概率。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此AD是△ABC的中线可推出BD=CD。接下来分别写出△ACD和△ABD的周长公式，对比两个公式可以发现：二者都包含公共边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差仅来源于AB与AC的边长差。已知△ACD的周长，只需先求出CD与AD的和，再整体代入△ABD的周长公式即可求解，无需单独计算每条未知边的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，即$\boldsymbol{BD=CD}$。
已知△ACD的周长为18，AC=7，根据三角形周长定义：
$C_{△ ACD}=AC+CD+AD=18$，
代入AC=7得：$CD+AD=18-7=11$。
再计算△ABD的周长：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
∵BD=CD，
∴$C_{△ ABD}=AB+(CD+AD)$，
代入AB=8，$CD+AD=11$得：
$C_{△ ABD}=8+11=19$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题的关键是抓住中线带来的等线段关系，通过整体代入的方法简化计算，避免无意义的单独求解未知边，降低计算量和出错概率。
【难度系数】
0.8
3.(2024春·宜兴期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$∠ ABC=80°$,$BD$是$△ ABC$的高,$BE$是$△ ABC$的角平分线,则$∠ DBE$的度数是 (
A.$10°$
B.$12°$
C.$15°$
D.$18°$
A
)A.$10°$
B.$12°$
C.$15°$
D.$18°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，再结合三角形高的定义得到Rt△ABD，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD的度数，最后通过两个角的差计算出∠DBE的度数即可。
【解析】
∵ BE是△ABC的角平分线，∠ABC=80°，
∴ $∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵ BD是△ABC的高，
∴ $∠ ADB=90°$，
在Rt△ABD中，∠A=60°，
∴ $∠ ABD=90°-∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $∠ DBE=∠ ABE-∠ ABD=40°-30°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形角平分线的定义；三角形高的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线的性质，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，再结合三角形高的定义得到Rt△ABD，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD的度数，最后通过两个角的差计算出∠DBE的度数即可。
【解析】
∵ BE是△ABC的角平分线，∠ABC=80°，
∴ $∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵ BD是△ABC的高，
∴ $∠ ADB=90°$，
在Rt△ABD中，∠A=60°，
∴ $∠ ABD=90°-∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $∠ DBE=∠ ABE-∠ ABD=40°-30°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形角平分线的定义；三角形高的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线的性质，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
4.(2024春·玄武区月考)如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是中线,AF是高.如果BC=10 cm,那么BE的长为
5 cm
;如果∠ABC=40°,∠ACB=60°,那么∠BAD的度数是40°
,∠DAF的度数是10°
.答案
4. 5 cm 40° 10°
解析
【分析】
解题时分别结合三种线段的定义和性质逐一计算：
1. 求BE的长：AE是三角形的中线，根据中线定义，中线平分对边，因此BE的长度是BC的一半，代入BC的长度即可求解。
2. 求∠BAD的度数：先根据三角形内角和为180°求出∠BAC的度数，再结合AD是角平分线，角平分线平分顶角，因此∠BAD是∠BAC的一半，代入计算即可。
3. 求∠DAF的度数：先根据AF是高，可得△ABF是直角三角形，用直角三角形两锐角互余求出∠BAF的度数，再用∠BAF减去已求出的∠BAD的度数，即可得到∠DAF的大小。
【解析】
1. 计算BE的长度：
∵AE是△ABC的中线，BC=10cm，
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×10\mathrm{cm}$ = 5cm。
2. 计算∠BAD的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×80°$ = 40°。
3. 计算∠DAF的度数：
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFB = 90°，
在Rt△ABF中，∠BAF = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°，
∴∠DAF = ∠BAF - ∠BAD = 50° - 40° = 10°。
【答案】
5 cm；40°；10°
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形中线、角平分线、高的基础性质，结合三角形内角和定理进行边长和角度的计算，解题的核心是牢记三类线段的定义和性质，计算过程难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时分别结合三种线段的定义和性质逐一计算：
1. 求BE的长：AE是三角形的中线，根据中线定义，中线平分对边，因此BE的长度是BC的一半，代入BC的长度即可求解。
2. 求∠BAD的度数：先根据三角形内角和为180°求出∠BAC的度数，再结合AD是角平分线，角平分线平分顶角，因此∠BAD是∠BAC的一半，代入计算即可。
3. 求∠DAF的度数：先根据AF是高，可得△ABF是直角三角形，用直角三角形两锐角互余求出∠BAF的度数，再用∠BAF减去已求出的∠BAD的度数，即可得到∠DAF的大小。
【解析】
1. 计算BE的长度：
∵AE是△ABC的中线，BC=10cm，
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×10\mathrm{cm}$ = 5cm。
2. 计算∠BAD的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×80°$ = 40°。
3. 计算∠DAF的度数：
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFB = 90°，
在Rt△ABF中，∠BAF = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°，
∴∠DAF = ∠BAF - ∠BAD = 50° - 40° = 10°。
【答案】
5 cm；40°；10°
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形中线、角平分线、高的基础性质，结合三角形内角和定理进行边长和角度的计算，解题的核心是牢记三类线段的定义和性质，计算过程难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AD是$△ ABC$的高，CE是$△ ABC$的角平分线，F是AC的中点，$∠ ACB=50°$，$∠ BAD=65°$。
(1) 求$∠ AEC$的度数；
(2) 若$△ BCF$与$△ BAF$的周长差为3，$AB=7$，求BC的长。
(1) 求$∠ AEC$的度数；
(2) 若$△ BCF$与$△ BAF$的周长差为3，$AB=7$，求BC的长。
答案
5.解:(1)
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=90°.
∵∠BAD=65°,
∴∠ABD=90°-65°=25°.
∵CE是△ACB的角平分线,∠ACB=50°,
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=25°.
∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50°.
(2)
∵F是AC的中点,
∴AF=FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3,
∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,
∴BC-AB=3.
∵AB=7,
∴BC=10.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=90°.
∵∠BAD=65°,
∴∠ABD=90°-65°=25°.
∵CE是△ACB的角平分线,∠ACB=50°,
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=25°.
∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50°.
(2)
∵F是AC的中点,
∴AF=FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3,
∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,
∴BC-AB=3.
∵AB=7,
∴BC=10.
解析
【分析】
(1) 求∠AEC的度数时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AEC=∠ABC+∠ECB，因此只需分别求出∠ABC和∠ECB的度数即可。首先根据AD是高得到△ABD是直角三角形，结合∠BAD的度数利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC；再根据CE是角平分线，结合∠ACB的度数求出∠ECB，二者相加即可得到结果。
(2) 求BC的长时，先分别写出两个三角形的周长表达式，结合F是AC中点可知AF=CF，且两个三角形有公共边BF，因此周长差即为BC与AB的差，代入已知的周长差和AB的长度即可求出BC。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=65°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-65°=25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB=50°，
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
∵∠AEC是△BEC的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50°。
(2)
∵F是AC的中点，
∴AF=FC，
△BCF的周长为$BC+CF+BF$，△BAF的周长为$AB+AF+BF$，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴$(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3$，
化简得$BC-AB=3$，
又
∵AB=7，
∴$BC=3+AB=3+7=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题属于三角形基础性质的综合应用题型，侧重考查对三角形高、角平分线、中线相关性质的理解与运用，解题时结合图形梳理角、边的数量关系即可快速求解，是巩固基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠AEC的度数时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AEC=∠ABC+∠ECB，因此只需分别求出∠ABC和∠ECB的度数即可。首先根据AD是高得到△ABD是直角三角形，结合∠BAD的度数利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC；再根据CE是角平分线，结合∠ACB的度数求出∠ECB，二者相加即可得到结果。
(2) 求BC的长时，先分别写出两个三角形的周长表达式，结合F是AC中点可知AF=CF，且两个三角形有公共边BF，因此周长差即为BC与AB的差，代入已知的周长差和AB的长度即可求出BC。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=65°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-65°=25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB=50°，
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
∵∠AEC是△BEC的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50°。
(2)
∵F是AC的中点，
∴AF=FC，
△BCF的周长为$BC+CF+BF$，△BAF的周长为$AB+AF+BF$，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴$(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3$，
化简得$BC-AB=3$，
又
∵AB=7，
∴$BC=3+AB=3+7=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题属于三角形基础性质的综合应用题型，侧重考查对三角形高、角平分线、中线相关性质的理解与运用，解题时结合图形梳理角、边的数量关系即可快速求解，是巩固基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
6.(2024春·锡山区期中)如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法错误的是（
A.$BF=CF$
B.$∠ C+∠ CAD=90°$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$S_{△ ABC}=2S_{△ ABF}$
C
）A.$BF=CF$
B.$∠ C+∠ CAD=90°$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$S_{△ ABC}=2S_{△ ABF}$
答案
6.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形的高、角平分线、中线的定义及相关性质，再结合选项逐一判断：1. 三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段，对应的直角三角形两锐角互余；2. 三角形的角平分线：平分三角形一个内角的线段，可得到两个相等的角；3. 三角形的中线：连接顶点和对边中点的线段，可将对边分为相等的两段，且中线分原三角形为两个面积相等的三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为AF是△ABC的中线，根据中线定义可知F是BC的中点，所以BF=CF，该选项说法正确；
B. 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，在Rt△ADC中两个锐角互余，因此∠C+∠CAD=90°，该选项说法正确；
C. 仅角平分线可以平分三角形的内角，本题中AE是角平分线，才有∠BAE=∠CAE，AF是中线不是角平分线，若无AB=AC的特殊条件，不存在∠BAF=∠CAF的结论，该选项说法错误；
D. 由AF是中线得BF=CF，△ABF和△ABC同高，底BF是BC的一半，因此S△ABF=½S△ABC，即S△ABC=2S△ABF，该选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形的高、角平分线、中线三类线段的不同性质，避免混淆不同线段的功能即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三角形的高、角平分线、中线的定义及相关性质，再结合选项逐一判断：1. 三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段，对应的直角三角形两锐角互余；2. 三角形的角平分线：平分三角形一个内角的线段，可得到两个相等的角；3. 三角形的中线：连接顶点和对边中点的线段，可将对边分为相等的两段，且中线分原三角形为两个面积相等的三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为AF是△ABC的中线，根据中线定义可知F是BC的中点，所以BF=CF，该选项说法正确；
B. 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，在Rt△ADC中两个锐角互余，因此∠C+∠CAD=90°，该选项说法正确；
C. 仅角平分线可以平分三角形的内角，本题中AE是角平分线，才有∠BAE=∠CAE，AF是中线不是角平分线，若无AB=AC的特殊条件，不存在∠BAF=∠CAF的结论，该选项说法错误；
D. 由AF是中线得BF=CF，△ABF和△ABC同高，底BF是BC的一半，因此S△ABF=½S△ABC，即S△ABC=2S△ABF，该选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形的高、角平分线、中线三类线段的不同性质，避免混淆不同线段的功能即可快速判断。
【难度系数】
0.8
