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1.(2024春·徐州期中)下列长度的线段中,与长度是7的线段能组成三角形的是 (
A.1,6
B.1,7
C.2,4
D.2,10
B
)A.1,6
B.1,7
C.2,4
D.2,10
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪组线段能和长度为7的线段组成三角形，需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。简便判断方法是：将三条线段按从小到大排序，只要较短两条的和大于最长的那条，就可以组成三角形。我们只需将每个选项的两条线段和7组合，逐一用这个方法验证即可。
【解析】
根据三角形三边关系，验证时只需判断较短两条线段之和是否大于最长线段：
已知固定边长为7，逐个分析选项：
A. 三条线段为1、6、7，较短两边和为$1+6=7$，等于最长边7，不能组成三角形，不符合要求；
B. 三条线段为1、7、7，较短两边和为$1+7=8＞7$，满足三边关系，可以组成三角形，符合要求；
C. 三条线段为2、4、7，较短两边和为$2+4=6＜7$，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合要求；
D. 三条线段为2、7、10，较短两边和为$2+7=9＜10$，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用考题，熟练掌握“较短两边之和大于最长边即可判定构成三角形”的技巧，可快速完成验证，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要判断哪组线段能和长度为7的线段组成三角形，需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。简便判断方法是：将三条线段按从小到大排序，只要较短两条的和大于最长的那条，就可以组成三角形。我们只需将每个选项的两条线段和7组合，逐一用这个方法验证即可。
【解析】
根据三角形三边关系，验证时只需判断较短两条线段之和是否大于最长线段：
已知固定边长为7，逐个分析选项：
A. 三条线段为1、6、7，较短两边和为$1+6=7$，等于最长边7，不能组成三角形，不符合要求；
B. 三条线段为1、7、7，较短两边和为$1+7=8＞7$，满足三边关系，可以组成三角形，符合要求；
C. 三条线段为2、4、7，较短两边和为$2+4=6＜7$，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合要求；
D. 三条线段为2、7、10，较短两边和为$2+7=9＜10$，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用考题，熟练掌握“较短两边之和大于最长边即可判定构成三角形”的技巧，可快速完成验证，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
2.(2024春·丰县期中)如图,A,B为池塘岸边两点,小丽在池塘一侧取一点O,测得OA=16 m,OB=12 m,则A,B间的距离不可能是 (
A.25 m
B.27 m
C.5 m
D.4 m
D
)A.25 m
B.27 m
C.5 m
D.4 m
答案
2.D
解析
【分析】
要判断A、B间的距离不可能是哪个值，可利用三角形三边关系确定AB的取值范围。首先O、A、B三点可构成三角形，AB作为三角形的第三边，需满足三角形三边的约束：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此计算出AB的取值范围，再对比选项即可选出不符合的答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知OA=16 m，OB=12 m，因此有：
$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$
代入数值计算：
$16 - 12 ＜ AB ＜ 16 + 12$
即 $\boldsymbol{4\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 28\ \mathrm{m}}$
观察选项，25 m、27 m、5 m均在该取值范围内，只有4 m不在范围内，因此A、B间的距离不可能是4 m。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是先根据已知两边的长度确定第三边的取值范围，再对照选项进行判断，解题时注意取值范围的边界值不包含在内。
【难度系数】
0.8
要判断A、B间的距离不可能是哪个值，可利用三角形三边关系确定AB的取值范围。首先O、A、B三点可构成三角形，AB作为三角形的第三边，需满足三角形三边的约束：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此计算出AB的取值范围，再对比选项即可选出不符合的答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知OA=16 m，OB=12 m，因此有：
$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$
代入数值计算：
$16 - 12 ＜ AB ＜ 16 + 12$
即 $\boldsymbol{4\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 28\ \mathrm{m}}$
观察选项，25 m、27 m、5 m均在该取值范围内，只有4 m不在范围内，因此A、B间的距离不可能是4 m。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是先根据已知两边的长度确定第三边的取值范围，再对照选项进行判断，解题时注意取值范围的边界值不包含在内。
【难度系数】
0.8
3. (工业园区期中)如图,在△ABC中,AB＞AE=AC,AD⊥BC于点D,则∠B
＜
∠BCA ＜
∠BEA.(填“＞”“＜”或“=”)答案
3.＜ ＜
解析
【分析】解题分两步推导角的大小关系：
第一步比较∠B和∠BCA：由已知AB＞AE=AC，可得AB＞AC，根据三角形中大边对大角的性质，可直接判断二者大小；
第二步比较∠BCA和∠BEA：先由AE=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠AEC=∠BCA，再观察∠BEA是△AEC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可推出∠BEA大于∠BCA，最终得到三个角的大小顺序。
【解析】
解：①在△ABC中，
∵AB＞AE=AC，即AB＞AC，
根据三角形中大边对大角的性质，可得∠B＜∠BCA；
②
∵AE=AC，
∴△AEC为等腰三角形，根据等边对等角，得∠AEC=∠BCA，
∵∠BEA是△AEC的外角，
根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BEA=∠BCA+∠EAC，
又
∵∠EAC＞0°，
∴∠BCA＜∠BEA。
综上，∠B＜∠BCA＜∠BEA。
【答案】
＜；＜
【知识点】
大边对大角；等边对等角；三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形边角关系的基础题，解题的关键是结合图形找准角的位置关系，熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质进行推导。
【难度系数】
0.7
第一步比较∠B和∠BCA：由已知AB＞AE=AC，可得AB＞AC，根据三角形中大边对大角的性质，可直接判断二者大小；
第二步比较∠BCA和∠BEA：先由AE=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠AEC=∠BCA，再观察∠BEA是△AEC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可推出∠BEA大于∠BCA，最终得到三个角的大小顺序。
【解析】
解：①在△ABC中，
∵AB＞AE=AC，即AB＞AC，
根据三角形中大边对大角的性质，可得∠B＜∠BCA；
②
∵AE=AC，
∴△AEC为等腰三角形，根据等边对等角，得∠AEC=∠BCA，
∵∠BEA是△AEC的外角，
根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BEA=∠BCA+∠EAC，
又
∵∠EAC＞0°，
∴∠BCA＜∠BEA。
综上，∠B＜∠BCA＜∠BEA。
【答案】
＜；＜
【知识点】
大边对大角；等边对等角；三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形边角关系的基础题，解题的关键是结合图形找准角的位置关系，熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质进行推导。
【难度系数】
0.7
4.(2024春·秦淮区月考)用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?
答案
4.解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.
根据题意,得2x+2x+x=18,解得x=3.6.
所以三边长分别为7.2 cm,7.2 cm,3.6 cm.
(2)能围成有一边长为4 cm的等腰三角形.理由如下:
若4 cm长的边为底边,则可得腰长为7 cm,此时等腰三角形三边的长为7 cm、7 cm、4 cm;
若4 cm长的边为腰,则可得底边长为10 cm,此时组不成三角形.
根据题意,得2x+2x+x=18,解得x=3.6.
所以三边长分别为7.2 cm,7.2 cm,3.6 cm.
(2)能围成有一边长为4 cm的等腰三角形.理由如下:
若4 cm长的边为底边,则可得腰长为7 cm,此时等腰三角形三边的长为7 cm、7 cm、4 cm;
若4 cm长的边为腰,则可得底边长为10 cm,此时组不成三角形.
解析
【分析】
(1) 第一问已知等腰三角形周长为18cm，腰长是底边长的2倍，可通过设未知数列方程求解：先设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据“等腰三角形周长=2倍腰长+底边长”列方程求解，最后验证所得三边长是否满足三角形三边关系即可。
(2) 第二问仅给出一边长为4cm，未说明该边是腰还是底，因此需要分类讨论：①4cm为底边；②4cm为腰。分别计算两种情况下其余两边的长度，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，最终得出结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm。
根据细绳总长（即三角形周长）为18cm，列方程得：
$2x+2x+x=18$
合并同类项得$5x=18$，解得$x=3.6$。
因此腰长为$2x=2×3.6=7.2$ cm。
验证三边长：$3.6+7.2＞7.2$，满足三角形三边关系，符合要求。
(2) 能围成，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若4cm长的边为底边，设腰长为$y$ cm，列方程得：
$2y+4=18$，解得$y=7$。
此时三边长为7cm、7cm、4cm，验证：$4+7＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
② 若4cm长的边为腰，设底边长为$z$ cm，列方程得：
$4×2+z=18$，解得$z=10$。
此时三边长为4cm、4cm、10cm，验证：$4+4=8＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，仅第一种情况成立，因此可以围成符合要求的等腰三角形。
【答案】
(1) 三边长分别为7.2 cm，7.2 cm，3.6 cm；
(2) 能围成，此时等腰三角形的三边长为7 cm、7 cm、4 cm。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一元一次方程应用
【点评】
本题重点考察等腰三角形的周长计算和分类讨论思想，解题时需注意：当等腰三角形的边长未明确对应腰还是底边时，必须分情况讨论，且所有情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问已知等腰三角形周长为18cm，腰长是底边长的2倍，可通过设未知数列方程求解：先设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据“等腰三角形周长=2倍腰长+底边长”列方程求解，最后验证所得三边长是否满足三角形三边关系即可。
(2) 第二问仅给出一边长为4cm，未说明该边是腰还是底，因此需要分类讨论：①4cm为底边；②4cm为腰。分别计算两种情况下其余两边的长度，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，最终得出结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm。
根据细绳总长（即三角形周长）为18cm，列方程得：
$2x+2x+x=18$
合并同类项得$5x=18$，解得$x=3.6$。
因此腰长为$2x=2×3.6=7.2$ cm。
验证三边长：$3.6+7.2＞7.2$，满足三角形三边关系，符合要求。
(2) 能围成，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若4cm长的边为底边，设腰长为$y$ cm，列方程得：
$2y+4=18$，解得$y=7$。
此时三边长为7cm、7cm、4cm，验证：$4+7＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
② 若4cm长的边为腰，设底边长为$z$ cm，列方程得：
$4×2+z=18$，解得$z=10$。
此时三边长为4cm、4cm、10cm，验证：$4+4=8＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，仅第一种情况成立，因此可以围成符合要求的等腰三角形。
【答案】
(1) 三边长分别为7.2 cm，7.2 cm，3.6 cm；
(2) 能围成，此时等腰三角形的三边长为7 cm、7 cm、4 cm。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一元一次方程应用
【点评】
本题重点考察等腰三角形的周长计算和分类讨论思想，解题时需注意：当等腰三角形的边长未明确对应腰还是底边时，必须分情况讨论，且所有情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.75
5.(2024春·徐州期中)若三角形的两条边长分别是2 cm和5 cm,第三条边长的值是奇数,则这个三角形的周长是 (
A.9 cm
B.12 cm
C.10 cm
D.14 cm
B
)A.9 cm
B.12 cm
C.10 cm
D.14 cm
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合“第三边长是奇数”的限制条件筛选出符合要求的第三边长度，最后计算三角形周长即可得到答案。具体思考步骤：①回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；②根据已知的两条边长，列出第三边的不等式，求出取值范围；③在取值范围内找出奇数，得到第三边的准确值；④将三边长度相加得到周长，对应选项即可。
【解析】
设三角形的第三条边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据三角形三边关系可得：
$ 5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2 $
即$ 3 ＜ x ＜ 7 $。
已知第三条边长是奇数，在$ 3 ＜ x ＜ 7 $范围内的奇数只有$ 5 $，因此$ x = 5 $。
三角形的周长为三边长度之和：$ 2 + 5 + 5 = 12 \, \mathrm{cm} $。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边的基础常考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合题干的限制条件确定第三边的长度，最后计算周长即可，解题时要注意第三边的取值范围不包含边界值，避免错选。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合“第三边长是奇数”的限制条件筛选出符合要求的第三边长度，最后计算三角形周长即可得到答案。具体思考步骤：①回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；②根据已知的两条边长，列出第三边的不等式，求出取值范围；③在取值范围内找出奇数，得到第三边的准确值；④将三边长度相加得到周长，对应选项即可。
【解析】
设三角形的第三条边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据三角形三边关系可得：
$ 5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2 $
即$ 3 ＜ x ＜ 7 $。
已知第三条边长是奇数，在$ 3 ＜ x ＜ 7 $范围内的奇数只有$ 5 $，因此$ x = 5 $。
三角形的周长为三边长度之和：$ 2 + 5 + 5 = 12 \, \mathrm{cm} $。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边的基础常考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合题干的限制条件确定第三边的长度，最后计算周长即可，解题时要注意第三边的取值范围不包含边界值，避免错选。
【难度系数】
0.8
6.已知a,b,c是三角形的三边长,化简:|a−b−c|+|b−c+a|+|c−a−b|=
a+3b−c
.答案
6.a+3b−c
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要根据绝对值的性质，判断每个绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。判断正负的依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先分别对三个绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负，再去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
∵a、b、c是三角形的三边长
∴根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得：
$b + c ＞ a$，$a + b ＞ c$
据此判断三个绝对值内代数式的正负：
1. $a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，因此$|a−b−c| = -(a - b - c) = -a + b + c$
2. $b - c + a = (a + b) - c ＞ 0$，因此$|b−c+a| = b - c + a$
3. $c - a - b = c - (a + b) ＜ 0$，因此$|c−a−b| = -(c - a - b) = -c + a + b$
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&= (-a + b + c) + (a + b - c) + (a + b - c)\\&= -a + b + c + a + b - c + a + b - c\\&= a + 3b - c\end{aligned}$
【答案】
a+3b−c
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减
【点评】
本题是三角形性质与整式运算的综合基础题，解题核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再按绝对值性质去绝对值，最后合并同类项即可，熟练掌握三角形三边关系就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的式子，首先需要根据绝对值的性质，判断每个绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。判断正负的依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先分别对三个绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负，再去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
∵a、b、c是三角形的三边长
∴根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得：
$b + c ＞ a$，$a + b ＞ c$
据此判断三个绝对值内代数式的正负：
1. $a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，因此$|a−b−c| = -(a - b - c) = -a + b + c$
2. $b - c + a = (a + b) - c ＞ 0$，因此$|b−c+a| = b - c + a$
3. $c - a - b = c - (a + b) ＜ 0$，因此$|c−a−b| = -(c - a - b) = -c + a + b$
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&= (-a + b + c) + (a + b - c) + (a + b - c)\\&= -a + b + c + a + b - c + a + b - c\\&= a + 3b - c\end{aligned}$
【答案】
a+3b−c
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减
【点评】
本题是三角形性质与整式运算的综合基础题，解题核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再按绝对值性质去绝对值，最后合并同类项即可，熟练掌握三角形三边关系就能快速解答。
【难度系数】
0.8
7.(秦淮区月考)如图，D是△ABC内一点.
求证:(1)$BD+CD＜AB+AC$;
(2)$AD+BD+CD＜AB+BC+AC$.
求证:(1)$BD+CD＜AB+AC$;
(2)$AD+BD+CD＜AB+BC+AC$.
答案
7.证明:(1)如答图,延长BD交AC于点E.
在△ABE中,AB+AE＞BE,
在△EDC中,ED+EC＞CD,
∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD.
∵AE+EC=AC,BE=BD+DE,
∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD,
∴AB+AC＞BD+CD.
(2)由(1)同理可得AB+BC＞AD+CD,BC+AC＞BD+AD,AB+AC＞BD+CD,
∴2(AB+BC+AC)＞2(AD+BD+CD),
∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD,
即AD+BD+CD＜AB+BC+AC.
解析
【分析】
要证明线段和的不等关系，优先考虑三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。
(1) 待证的BD、CD、AB、AC不在同一三角形中，无法直接用三边关系，因此通过作辅助线：延长BD交AC于点E，将线段拆分到△ABE和△EDC两个三角形中，分别列出三边关系的不等式，再将两个不等式相加，通过等量代换消去公共线段ED，即可推导得到结论。
(2) 利用(1)的证明思路，同理得到另外两组关于三角形三边和的不等式，将三组不等式左右两边分别相加，再两边同时除以2，即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：如答图，延长BD交AC于点E。
根据三角形三边关系：
在△ABE中，两边之和大于第三边，得$AB + AE ＞ BE$；
在△EDC中，两边之和大于第三边，得$ED + EC ＞ CD$；
将两个不等式左右两边分别相加，得：$AB + AE + ED + EC ＞ BE + CD$。
根据线段和差可知$AE + EC = AC$，$BE = BD + DE$，代入上式得：
$AB + AC + ED ＞ BD + DE + CD$，
两边同时减去ED，可得$AB + AC ＞ BD + CD$，即$BD + CD ＜ AB + AC$。
(2) 证明：
由(1)的证明方法同理可得：
$AB + BC ＞ AD + CD$，
$BC + AC ＞ BD + AD$，
$AB + AC ＞ BD + CD$；
将三个不等式左右两边分别相加，得：
$2(AB + BC + AC) ＞ 2(AD + BD + CD)$，
不等式两边同时除以2，得：
$AB + BC + AC ＞ AD + BD + CD$，即$AD + BD + CD ＜ AB + BC + AC$。
【答案】
证明:(1)如答图,延长BD交AC于点E.
在△ABE中,AB+AE＞BE,
在△EDC中,ED+EC＞CD,
∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD.
∵AE+EC=AC,BE=BD+DE,
∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD,
∴AB+AC＞BD+CD.
(2)由(1)同理可得AB+BC＞AD+CD,BC+AC＞BD+AD,AB+AC＞BD+CD,
∴2(AB+BC+AC)＞2(AD+BD+CD),
∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD,
即AD+BD+CD＜AB+BC+AC.
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的基本性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是三角形边的性质的典型应用题型，核心解题思路是通过构造辅助线将分散的线段整合到可利用三边关系的三角形中，再结合不等式的性质推导不等关系，需要掌握这类延长线段构造三角形的辅助线技巧，能提升处理线段不等关系类题目的能力。
【难度系数】
0.7
要证明线段和的不等关系，优先考虑三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。
(1) 待证的BD、CD、AB、AC不在同一三角形中，无法直接用三边关系，因此通过作辅助线：延长BD交AC于点E，将线段拆分到△ABE和△EDC两个三角形中，分别列出三边关系的不等式，再将两个不等式相加，通过等量代换消去公共线段ED，即可推导得到结论。
(2) 利用(1)的证明思路，同理得到另外两组关于三角形三边和的不等式，将三组不等式左右两边分别相加，再两边同时除以2，即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：如答图，延长BD交AC于点E。
根据三角形三边关系：
在△ABE中，两边之和大于第三边，得$AB + AE ＞ BE$；
在△EDC中，两边之和大于第三边，得$ED + EC ＞ CD$；
将两个不等式左右两边分别相加，得：$AB + AE + ED + EC ＞ BE + CD$。
根据线段和差可知$AE + EC = AC$，$BE = BD + DE$，代入上式得：
$AB + AC + ED ＞ BD + DE + CD$，
两边同时减去ED，可得$AB + AC ＞ BD + CD$，即$BD + CD ＜ AB + AC$。
(2) 证明：
由(1)的证明方法同理可得：
$AB + BC ＞ AD + CD$，
$BC + AC ＞ BD + AD$，
$AB + AC ＞ BD + CD$；
将三个不等式左右两边分别相加，得：
$2(AB + BC + AC) ＞ 2(AD + BD + CD)$，
不等式两边同时除以2，得：
$AB + BC + AC ＞ AD + BD + CD$，即$AD + BD + CD ＜ AB + BC + AC$。
【答案】
证明:(1)如答图,延长BD交AC于点E.
在△ABE中,AB+AE＞BE,
在△EDC中,ED+EC＞CD,
∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD.
∵AE+EC=AC,BE=BD+DE,
∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD,
∴AB+AC＞BD+CD.
(2)由(1)同理可得AB+BC＞AD+CD,BC+AC＞BD+AD,AB+AC＞BD+CD,
∴2(AB+BC+AC)＞2(AD+BD+CD),
∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD,
即AD+BD+CD＜AB+BC+AC.
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的基本性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是三角形边的性质的典型应用题型，核心解题思路是通过构造辅助线将分散的线段整合到可利用三边关系的三角形中，再结合不等式的性质推导不等关系，需要掌握这类延长线段构造三角形的辅助线技巧，能提升处理线段不等关系类题目的能力。
【难度系数】
0.7
8.(2024春·虎丘区期中)三角形各边均为整数的三角形称为“整边三角形”.已知△ABC是“整边三角形”,三角形的三边长分别为a,b,c,且$a≤b＜c$,当$b=7$时,则符合条件的△ABC有
易错知识点:三角形形成(三边关系)的条件
易错考法:三角形的三边关系与等腰三角形中的分类讨论
21
个.易错知识点:三角形形成(三边关系)的条件
易错考法:三角形的三边关系与等腰三角形中的分类讨论
答案
8.21
解析
【分析】
解题思路如下：首先结合题目条件确定各边限制：①a≤b=7，且a是正整数，因此a的取值为1到7的整数；②c是最大边（b＜c），根据三角形三边关系，仅需满足较小两边之和大于最大边，即a+b＞c，无需验证其余两个三边关系不等式，因此c的取值范围为7＜c＜a+7，且c为整数。接下来对a的取值分类讨论，分别计算每种a对应的符合条件的c的个数，最后求和即可得到总个数。
【解析】
已知b=7，且a≤b＜c，a、b、c均为正整数，结合三角形三边关系（最大边小于另外两边之和）可得：
1. a的取值范围：1≤a≤7，a为整数；
2. 对每个a，c满足：7＜c＜a+7，c为整数，据此分类计算：
当a=1时，7＜c＜8，无符合条件的整数c，共0个；
当a=2时，7＜c＜9，c=8，共1个；
当a=3时，7＜c＜10，c=8、9，共2个；
当a=4时，7＜c＜11，c=8、9、10，共3个；
当a=5时，7＜c＜12，c=8、9、10、11，共4个；
当a=6时，7＜c＜13，c=8、9、10、11、12，共5个；
当a=7时，7＜c＜14，c=8、9、10、11、12、13，共6个。
将所有情况的个数相加：0+1+2+3+4+5+6=21。
【答案】
21
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；整数解计数
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的灵活应用，解题时抓住“c是最大边”的特点可以简化三边关系的验证，通过对a的取值逐一分类计数，避免漏算或多算，是计数类几何题的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先结合题目条件确定各边限制：①a≤b=7，且a是正整数，因此a的取值为1到7的整数；②c是最大边（b＜c），根据三角形三边关系，仅需满足较小两边之和大于最大边，即a+b＞c，无需验证其余两个三边关系不等式，因此c的取值范围为7＜c＜a+7，且c为整数。接下来对a的取值分类讨论，分别计算每种a对应的符合条件的c的个数，最后求和即可得到总个数。
【解析】
已知b=7，且a≤b＜c，a、b、c均为正整数，结合三角形三边关系（最大边小于另外两边之和）可得：
1. a的取值范围：1≤a≤7，a为整数；
2. 对每个a，c满足：7＜c＜a+7，c为整数，据此分类计算：
当a=1时，7＜c＜8，无符合条件的整数c，共0个；
当a=2时，7＜c＜9，c=8，共1个；
当a=3时，7＜c＜10，c=8、9，共2个；
当a=4时，7＜c＜11，c=8、9、10，共3个；
当a=5时，7＜c＜12，c=8、9、10、11，共4个；
当a=6时，7＜c＜13，c=8、9、10、11、12，共5个；
当a=7时，7＜c＜14，c=8、9、10、11、12、13，共6个。
将所有情况的个数相加：0+1+2+3+4+5+6=21。
【答案】
21
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；整数解计数
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的灵活应用，解题时抓住“c是最大边”的特点可以简化三边关系的验证，通过对a的取值逐一分类计数，避免漏算或多算，是计数类几何题的典型考法。
【难度系数】
0.6
