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7.(秦淮区月考)如图,线段AD,BC相交于点O,连接AB,CD,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,则∠P,∠B,∠D满足的关系式是 (
A.∠P=∠B+∠D
B.∠P=∠D−∠B
C.∠P=$\frac{1}{2}$(∠D−∠B)
D.∠P=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)
D
)A.∠P=∠B+∠D
B.∠P=∠D−∠B
C.∠P=$\frac{1}{2}$(∠D−∠B)
D.∠P=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)
答案
7.D
解析
【分析】
本题可利用角平分线的性质设出相等的角，再结合“8字形”三角形中对顶角相等、三角形内角和为180°的性质，列出角度关系式，通过消去公共参数推导∠P、∠B、∠D的关系。具体思路：首先根据角平分线定义设∠BAP=∠PAD=α，∠BCP=∠PCD=β；再分别在两组有对顶角的三角形中，利用内角和得到两个含α、β的等式；最后将两个等式相加消去α、β，即可得到三者的关系。
【解析】
解：
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，
∴设∠BAP=∠PAD=α，∠BCP=∠PCD=β。
在△AOB和△COP中，∠AOB=∠COP（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得：
∠B + ∠BAP + ∠AOB = 180°，∠P + ∠BCP + ∠COP = 180°，
∴∠B + α = ∠P + β ①；
同理，在△AOP和△COD中，∠AOP=∠COD（对顶角相等），
可得：∠D + ∠PCD + ∠COD = 180°，∠P + ∠PAD + ∠AOP = 180°，
∴∠D + β = ∠P + α ②；
将①+②，得：∠B + α + ∠D + β = ∠P + β + ∠P + α，
两边消去α、β，整理得：∠B + ∠D = 2∠P，
即∠P=$\frac{1}{2}$(∠B + ∠D)。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是典型的角度推导类题目，通过设参数表示相等的角，结合“8字形”三角形的角的等量关系列式，消参后即可得到结论，掌握这种方法能快速解决同类角平分线与相交线结合的角度计算问题。
【难度系数】
0.7
本题可利用角平分线的性质设出相等的角，再结合“8字形”三角形中对顶角相等、三角形内角和为180°的性质，列出角度关系式，通过消去公共参数推导∠P、∠B、∠D的关系。具体思路：首先根据角平分线定义设∠BAP=∠PAD=α，∠BCP=∠PCD=β；再分别在两组有对顶角的三角形中，利用内角和得到两个含α、β的等式；最后将两个等式相加消去α、β，即可得到三者的关系。
【解析】
解：
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，
∴设∠BAP=∠PAD=α，∠BCP=∠PCD=β。
在△AOB和△COP中，∠AOB=∠COP（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得：
∠B + ∠BAP + ∠AOB = 180°，∠P + ∠BCP + ∠COP = 180°，
∴∠B + α = ∠P + β ①；
同理，在△AOP和△COD中，∠AOP=∠COD（对顶角相等），
可得：∠D + ∠PCD + ∠COD = 180°，∠P + ∠PAD + ∠AOP = 180°，
∴∠D + β = ∠P + α ②；
将①+②，得：∠B + α + ∠D + β = ∠P + β + ∠P + α，
两边消去α、β，整理得：∠B + ∠D = 2∠P，
即∠P=$\frac{1}{2}$(∠B + ∠D)。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是典型的角度推导类题目，通过设参数表示相等的角，结合“8字形”三角形的角的等量关系列式，消参后即可得到结论，掌握这种方法能快速解决同类角平分线与相交线结合的角度计算问题。
【难度系数】
0.7
8.(2024春·常熟月考)如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线.若△ABC的周长是a cm，则AE+CD+BF=
$\frac{a}{2}$
cm. 答案
8. $\frac{a}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，因此中线会将对边分为长度相等的两部分。我们可以先根据中线的性质，将AE、CD、BF分别表示为对应边长的一半，再将三者求和，结合三角形周长的定义即可得出结果。
【解析】
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴点E是AC的中点，点D是BC的中点，点F是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AC$，$CD=\frac{1}{2}BC$，$BF=\frac{1}{2}AB$，
∴$AE+CD+BF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$，
又
∵△ABC的周长为$a$ cm，即$AB+BC+AC=a$ cm，
∴$AE+CD+BF=\frac{a}{2}$ cm。
【答案】
$\frac{a}{2}$
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角形中线的性质，通过线段的等量转化将所求线段和与三角形周长建立关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，因此中线会将对边分为长度相等的两部分。我们可以先根据中线的性质，将AE、CD、BF分别表示为对应边长的一半，再将三者求和，结合三角形周长的定义即可得出结果。
【解析】
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴点E是AC的中点，点D是BC的中点，点F是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AC$，$CD=\frac{1}{2}BC$，$BF=\frac{1}{2}AB$，
∴$AE+CD+BF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$，
又
∵△ABC的周长为$a$ cm，即$AB+BC+AC=a$ cm，
∴$AE+CD+BF=\frac{a}{2}$ cm。
【答案】
$\frac{a}{2}$
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角形中线的性质，通过线段的等量转化将所求线段和与三角形周长建立关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$AD$为边$BC$上的高，$E$为边$BC$上一点，连接$AE$.
(1)当$AE$为边$BC$上的中线时，若$AD=6$，$△ ABC$的面积为$24$，求$CE$的长；
(2)当$AE$为$∠ BAC$的平分线时，若$∠ C=66°$，$∠ B=36°$，求$∠ DAE$的度数.
(1)当$AE$为边$BC$上的中线时，若$AD=6$，$△ ABC$的面积为$24$，求$CE$的长；
(2)当$AE$为$∠ BAC$的平分线时，若$∠ C=66°$，$∠ B=36°$，求$∠ DAE$的度数.
答案
9.解:(1)
∵AD为边BC上的高,△ABC的面积为24,
∴$\frac{1}{2}BC·AD=24$,
∴BC=8.
∵AE为边BC上的中线,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=4.
(2)
∵∠C=66°,∠B=36°,
∴∠BAC=78°.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=39°.
∵∠ADC=90°,∠C=66°,
∴∠CAD=90°-66°=24°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°-24°=15°.
∵AD为边BC上的高,△ABC的面积为24,
∴$\frac{1}{2}BC·AD=24$,
∴BC=8.
∵AE为边BC上的中线,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=4.
(2)
∵∠C=66°,∠B=36°,
∴∠BAC=78°.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=39°.
∵∠ADC=90°,∠C=66°,
∴∠CAD=90°-66°=24°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°-24°=15°.
解析
【分析】
(1) 要求CE的长度，已知AE是BC边上的中线，可得CE是BC的一半，因此先求BC的长即可。已知AD是BC边上的高，同时给出了△ABC的面积和AD的长度，可通过三角形面积公式先计算出BC的长度，再结合中线的性质求出CE。
(2) 要求∠DAE的度数，观察图形可得∠DAE=∠CAE-∠CAD，因此分别求出两个角的度数即可。首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质得到∠CAE的度数；然后根据AD是高，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，最后作差即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，
∴$\frac{1}{2}BC·AD=24$，代入AD=6，
解得$BC=8$。
∵AE为边BC上的中线，即E为BC的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-36°-66°=78°$。
∵AE为∠BAC的平分线，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×78°=39°$。
∵AD为边BC上的高，
∴$∠ ADC=90°$，
在Rt△ADC中，$∠ CAD=90°-∠ C=90°-66°=24°$，
∴$∠ DAE=∠ CAE-∠ CAD=39°-24°=15°$。
【答案】
(1) $CE=4$；(2) $∠ DAE=15°$
【知识点】
三角形面积公式、三角形特殊线段性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础计算题，核心考察三角形的中线、角平分线、高的性质，以及三角形面积公式、内角和定理的应用，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可轻松求解。
【难度系数】
0.85
(1) 要求CE的长度，已知AE是BC边上的中线，可得CE是BC的一半，因此先求BC的长即可。已知AD是BC边上的高，同时给出了△ABC的面积和AD的长度，可通过三角形面积公式先计算出BC的长度，再结合中线的性质求出CE。
(2) 要求∠DAE的度数，观察图形可得∠DAE=∠CAE-∠CAD，因此分别求出两个角的度数即可。首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质得到∠CAE的度数；然后根据AD是高，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，最后作差即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，
∴$\frac{1}{2}BC·AD=24$，代入AD=6，
解得$BC=8$。
∵AE为边BC上的中线，即E为BC的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-36°-66°=78°$。
∵AE为∠BAC的平分线，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×78°=39°$。
∵AD为边BC上的高，
∴$∠ ADC=90°$，
在Rt△ADC中，$∠ CAD=90°-∠ C=90°-66°=24°$，
∴$∠ DAE=∠ CAE-∠ CAD=39°-24°=15°$。
【答案】
(1) $CE=4$；(2) $∠ DAE=15°$
【知识点】
三角形面积公式、三角形特殊线段性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础计算题，核心考察三角形的中线、角平分线、高的性质，以及三角形面积公式、内角和定理的应用，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可轻松求解。
【难度系数】
0.85
10.(2024春·锡山区月考)(1)如图①,在线段CD上找点O,连接BO,使BO平分$△ ABC$的面积；
(2)如图②,在线段GH上找点Q,连接FQ,使$FQ⊥ GE$；
(3)如图③,已知线段$MN=5$,PK是$△ MNP$的边MN上的高,则PK的长为
(2)如图②,在线段GH上找点Q,连接FQ,使$FQ⊥ GE$；
(3)如图③,已知线段$MN=5$,PK是$△ MNP$的边MN上的高,则PK的长为
3
。答案
10.(1)解:如答图①所示.
(2)解:如答图②所示.
(3)3
解析
【分析】
(1) 要使BO平分△ABC的面积，先利用三角形中线平分面积的性质，找到AC的中点R，此时BR平分△ABC的面积；再利用同底等高的三角形面积相等，过R作RO//BC交CD于O，连接BO即可满足要求。
(2) 要作FQ⊥GE，可结合网格特征：若两条线段对应的直角三角形直角边比例匹配、夹角互余，则两线段垂直，结合GH的位置找到符合要求的点Q即可。
(3) 求PK的长用面积法：先用割补法算出△MNP的面积，再结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知的MN长度，即可求出高PK的值。
【解析】
(1) 取AC的中点R，根据三角形中线的性质，中线平分三角形面积，因此$S_{△ BRC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；过R作RO//BC，交CD于点O，连接BO。
∵ RO//BC，
∴ △BOC和△BRC同底BC，高相等，因此$S_{△ BOC}=S_{△ BRC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即BO平分△ABC的面积，点O即为所求。
(2) 设每个小方格边长为1，观察GE的走向：GE横向偏移3格、纵向偏移2格，若FQ⊥GE，则FQ的横、纵向偏移量需满足垂直关系，据此在GH上找到点Q，连接FQ即可得到FQ⊥GE，点Q即为所求。
(3) 设每个小方格边长为1，用割补法计算可得$S_{△ MNP}=\frac{15}{2}$。
已知PK是△MNP边MN上的高，MN=5，根据三角形面积公式：
$S_{△ MNP}=\frac{1}{2}× MN × PK$
代入数据得：$\frac{1}{2}×5× PK=\frac{15}{2}$
解得$PK=3$。
【答案】
(1) 如答图①所示.
(2) 如答图②所示.
(3) 3
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式；垂线作图
【点评】
本题综合考查三角形中线、高的相关性质，以及网格内的几何作图和面积计算，需要熟练运用等积变换、面积法解题，对几何直观应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要使BO平分△ABC的面积，先利用三角形中线平分面积的性质，找到AC的中点R，此时BR平分△ABC的面积；再利用同底等高的三角形面积相等，过R作RO//BC交CD于O，连接BO即可满足要求。
(2) 要作FQ⊥GE，可结合网格特征：若两条线段对应的直角三角形直角边比例匹配、夹角互余，则两线段垂直，结合GH的位置找到符合要求的点Q即可。
(3) 求PK的长用面积法：先用割补法算出△MNP的面积，再结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知的MN长度，即可求出高PK的值。
【解析】
(1) 取AC的中点R，根据三角形中线的性质，中线平分三角形面积，因此$S_{△ BRC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；过R作RO//BC，交CD于点O，连接BO。
∵ RO//BC，
∴ △BOC和△BRC同底BC，高相等，因此$S_{△ BOC}=S_{△ BRC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即BO平分△ABC的面积，点O即为所求。
(2) 设每个小方格边长为1，观察GE的走向：GE横向偏移3格、纵向偏移2格，若FQ⊥GE，则FQ的横、纵向偏移量需满足垂直关系，据此在GH上找到点Q，连接FQ即可得到FQ⊥GE，点Q即为所求。
(3) 设每个小方格边长为1，用割补法计算可得$S_{△ MNP}=\frac{15}{2}$。
已知PK是△MNP边MN上的高，MN=5，根据三角形面积公式：
$S_{△ MNP}=\frac{1}{2}× MN × PK$
代入数据得：$\frac{1}{2}×5× PK=\frac{15}{2}$
解得$PK=3$。
【答案】
(1) 如答图①所示.
(2) 如答图②所示.
(3) 3
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式；垂线作图
【点评】
本题综合考查三角形中线、高的相关性质，以及网格内的几何作图和面积计算，需要熟练运用等积变换、面积法解题，对几何直观应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
