1.（徐州期中）下列各组数中，是勾股数的是 （）

A.2,3,4
B.0.6,0.8,1
C.$3^2,4^2,5^2$
D.6,8,10

1.D

【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先需明确勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先依据第一个条件排除不符合的选项，再验证第二个条件即可得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。
选项A：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理逆定理，不是勾股数；
选项B：$0.6、0.8$是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数；
选项C：三个数分别为$9、16、25$，$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足要求，不是勾股数；
选项D：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，且$6、8、10$均为正整数，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股数的定义
2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略勾股数必须是正整数这一前提，只验证平方和关系导致错选。解题时需先判断数的类型，再验证平方和关系，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

2.已知$|a-6|+|b-8|+(c-10)^2=0$，则以$a,b,c$为三边长的三角形是（）

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形

2.A

【分析】
解题首先要明确绝对值和平方数的非负性：几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此先求出a、b、c的数值；再根据勾股定理的逆定理，判断三边是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，若满足则为直角三角形，即可得出答案。
【解析】
解：
∵ |a-6|≥0，|b-8|≥0，(c-10)²≥0，且|a-6|+|b-8|+(c-10)²=0
∴ 每个非负项都为0，即：
a-6=0，解得a=6；
b-8=0，解得b=8；
c-10=0，解得c=10。
验证三边的平方关系：
∵ 6² + 8² = 36 + 64 = 100，10²=100
∴ 6² + 8² = 10²
根据勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先利用非负数的性质求出三角形三边的长度，再结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，掌握两个核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.(吴中区月考)在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，下列条件不能判断$△ ABC$是直角三角形的是（）

A.$a:b:c=3:4:5$
B.$∠ A+∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
D.$a^2+b^2=c^2$

3.C

【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题可从边、角两个维度逐一验证选项：一是利用勾股定理的逆定理，判断三边是否满足较小两边的平方和等于最大边的平方；二是利用三角形内角和为180°，计算是否存在90°的内角，排除能判定是直角三角形的选项，即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$），则$a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
选项B：根据三角形内角和为180°，已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
选项C：设$∠ A=3x$，$∠ B=4x$，$∠ C=5x$，根据内角和得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，则最大角$∠ C=5×15°=75°＜90°$，不能判定$△ ABC$是直角三角形，符合题意。
选项D：$a^2+b^2=c^2$是勾股定理逆定理的直接表述，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，需熟练掌握直角三角形的边、角两种判定方法，解题时注意区分边的比例和角的比例的不同计算逻辑，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8

4.若三角形的三条边长分别为15,12,9,则这个三角形最长边上的高是.

4.$\frac{36}{5}$

【分析】
解题时首先先确定三角形的最长边，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，本题中通过计算短边的平方和与长边平方的关系，可判定该三角形为直角三角形，最长边为斜边；最后采用面积法，利用直角三角形两种面积计算方式建立等式，即可求出最长边上的高。
【解析】
1. 确定最长边：三角形三边长为9、12、15，因此最长边为15。
2. 判断三角形形状：
计算得 $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，因此 $9^2 + 12^2 = 15^2$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，直角边为9和12，斜边为15。
3. 用面积法求最长边上的高：
设最长边上的高为$h$，直角三角形的面积可表示为$\frac{1}{2}×$直角边$×$直角边，也可表示为$\frac{1}{2}×$斜边$×$斜边上的高，因此列等式：
$\frac{1}{2}×9×12 = \frac{1}{2}×15×h$
两边同时乘2消去分母得：$108 = 15h$，解得$h = \frac{108}{15} = \frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；面积法求高
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是先通过三边关系判定三角形为直角三角形，再借助面积相等的关系建立方程求解，解题思路清晰，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.8

5.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC为格点三角形.
(1)△ABC的面积为;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.

5.(1)5
(2)解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵$AB^2=2^2+1^2=5,AC^2=4^2+2^2=20,BC^2=4^2+3^2=25,5+20=25$,即$AB^2+AC^2=BC^2$,
∴△ABC是直角三角形.

【分析】
（1）求格点三角形的面积可采用割补法：将△ABC补成规则的矩形，用矩形的面积减去周围3个多余直角三角形的面积，就能快速得到△ABC的面积；也可先判断三角形形状后用对应面积公式计算。
（2）判断格点三角形的形状时，先通过勾股定理计算出三角形三边长度的平方，再用勾股定理的逆定理验证是否存在两边平方和等于第三边的平方，即可判断是否为直角三角形。
【解析】
（1）用割补法求解：作包含△ABC的矩形，矩形长为4、宽为4，面积为$4×4=16$。
矩形内△ABC外的3个直角三角形面积分别为：$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×4=4$，$\frac{1}{2}×3×4=6$。
因此△ABC的面积为$16-1-4-6=5$。
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理计算三边的平方：
$AB^2=2^2+1^2=5$，
$AC^2=4^2+2^2=20$，
$BC^2=4^2+3^2=25$，
∵$5+20=25$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由见解析
【知识点】
格点图形面积计算、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于格点几何的基础常考题，解题思路清晰，只要熟练掌握割补法、勾股定理及其逆定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.已知三角形的三边长分别为$a,b,c(a≠b)$，且满足$(a+b)^2=c^2+2ab$，则这个三角形是 （）

A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形

6.D

【分析】
遇到已知三角形三边关系式判断三角形形状的题目，首先可根据题干给出的$a≠b$排除等腰相关的A、C选项，再对给出的等式进行化简变形，推导三边的平方关系，结合勾股定理的逆定理判断即可。
【解析】
对已知等式$(a+b)^2=c^2+2ab$化简：
1. 根据完全平方公式展开等式左边：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$
2. 等式两边同时减去$2ab$，可得：$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
结合$a≠b$的条件，可排除等腰三角形、等腰直角三角形的可能，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础考查题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的运算和勾股定理逆定理的应用，题干给出的$a≠b$的限制条件可帮助快速排除干扰选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数$a,b,c$的计算公式：$a=\frac{1}{2}(m^2 - n^2), b=mn, c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，其中$m＞n＞0$，$m,n$是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A.$3,4,5$
B.$5,12,13$
C.$6,8,10$
D.$7,24,25$

7.C

【分析】
解题时首先明确题干给出的勾股数计算公式的特征：三个数中最大的数为c，且m、n是满足m＞n＞0的互质奇数。我们可以先确定每个选项的最大数为c，由c的计算公式推导得m²+n²=2c，再尝试寻找符合条件的互质奇数m、n，验证另外两个数是否匹配a、b的计算结果；也可以先利用“奇数×奇数=奇数”的性质，判断b=mn必为奇数，快速排查不符合的选项。
【解析】
由公式可知，$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$是勾股数中最大的数，且$m、n$为互质的奇数（$m＞n＞0$）。
选项A：最大数$c=5$，则$m^2+n^2=2×5=10$，取$m=3、n=1$（均为互质奇数，且$3＞1$），计算得$a=\frac{1}{2}(3^2-1^2)=4$，$b=3×1=3$，可得到勾股数3,4,5，不符合题意，排除；
选项B：最大数$c=13$，则$m^2+n^2=2×13=26$，取$m=5、n=1$（均为互质奇数，且$5＞1$），计算得$a=\frac{1}{2}(5^2-1^2)=12$，$b=5×1=5$，可得到勾股数5,12,13，不符合题意，排除；
选项C：最大数$c=10$，则$m^2+n^2=2×10=20$，不存在满足条件的互质奇数$m、n$使得平方和为20；同时$m、n$都是奇数，故$b=mn$必为奇数，但该组勾股数的两个较小数6、8均为偶数，不可能由公式得到，符合题意；
选项D：最大数$c=25$，则$m^2+n^2=2×25=50$，取$m=7、n=1$（均为互质奇数，且$7＞1$），计算得$a=\frac{1}{2}(7^2-1^2)=24$，$b=7×1=7$，可得到勾股数7,24,25，不符合题意，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股数的定义 2.代数式求值 3.奇数的运算性质
【点评】
本题结合中国古代数学著作考查勾股数的拓展应用，解题核心是抓住公式中m、n的取值限制和c为最大数的特点，既可以逐个验证求解，也能通过奇偶性快速判断，考查了学生的阅读理解能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

8. 观察下列各组数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),···$,由此可发现:$4=\frac{3^2 -1}{2},12=\frac{5^2 -1}{2},24=\frac{7^2 -1}{2},···$,请写出第6个数组:.

8.(13,84,85)

【分析】
解题时先分别分析数组中三个数的变化规律：①观察每组第一个数：第1组是3=2×1+1，第2组是5=2×2+1，第3组是7=2×3+1，以此类推可得到第n组第一个数的表达式；②结合题目给出的第二个数的表达式，可知第n组第二个数和第一个数的关系；③观察每组后两个数的大小关系，发现第三个数比第二个数大1。最后代入n=6依次计算三个数即可得到第6个数组。
【解析】
解：总结数组规律如下：
1. 第n组的第一个数：已知数组第一个数为3,5,7,9……是连续奇数，因此第n组第一个数为$\boldsymbol{2n+1}$；
2. 第n组的第二个数：由题中式子可得，第二个数$=\frac{(\mathrm{第一个数})^2-1}{2}$；
3. 第n组的第三个数：观察可知每组第三个数=第二个数+1。
当$n=6$时：
第一个数：$2×6+1=13$
第二个数：$\frac{13^2-1}{2}=\frac{169-1}{2}=84$
第三个数：$84+1=85$
因此第6个数组为$(13,84,85)$。
【答案】
$(13,84,85)$
【知识点】
数字规律探究，勾股数
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先找到数组每个位置的数和组数的对应关系，再代入计算即可，只要仔细观察已知数组的特征就能快速找到规律。
【难度系数】
0.7