5.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法,该方法运用了出入相补原理.若图中空白部分的面积是15,整个图形(连同空白部分)的面积是39,则大正方形的面积是 ()

A.24
B.27
C.25
D.32

5.B

6.勾股定理最早记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”。图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的。记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为$ S_1,S_2,S_3 $。若正方形EFGH的边长为4，则$ S_1+S_2+S_3= $。

6.48

7.(溧水区期末)如图,在$△ ABD$中,$AC\bot BD$于点$C$,$E$为$AC$上一点,连接$BE$,$DE$,$DE$的延长线交$AB$于点$F$,已知$DE=AB$,$∠ CAD=45°$.
(1)求证:$DF\bot AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,求证:$a^2+b^2=c^2$.

7.证明:(1)$\because AC⊥ BD,∠ CAD=45°$,
$\therefore AC=DC,∠ ACB=∠ DCE=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中,$\begin{cases} AC=DC,\\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL}),\therefore ∠ BAC=∠ EDC$.
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°,∠ CED=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°,\therefore ∠ AFE=90°,\therefore DF⊥ AB$.
(2)由(1)可知$BC=EC$.
$\because S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$,
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}· c· DF-\frac{1}{2}· c· EF=\frac{1}{2}· c· (DF-EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^2,\therefore a^2+b^2=c^2$.

8.如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,正方形$IECF$的边长为$x$.
(1)小明发现了一种求正方形边长的方法:由题意可得$BD=BE=a-x$,$AD=AF=b-x$.因为$AB=BD+AD$,所以$a-x+b-x=c$,解得$x=$.
(2)小亮发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ AIC}+S_{△ BIC}$可以得到$x$与$a,b,c$的关系,请根据小亮的思路完成他的求解过程.
(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.

8.(1)$\frac{a+b-c}{2}$
(2)解:$\because S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$,
$\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx,\therefore x=\frac{ab}{a+b+c}$,
$\therefore x$与$a,b,c$的关系为$x=\frac{ab}{a+b+c}$.
(3)解:根据(1)和(2),得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$,
$\therefore 2ab=(a+b+c)(a+b-c)$,
$\therefore (a+b)^2-c^2=2ab,\therefore a^2+2ab+b^2-c^2=2ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.