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5.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法,该方法运用了出入相补原理.若图中空白部分的面积是15,整个图形(连同空白部分)的面积是39,则大正方形的面积是 (
A.24
B.27
C.25
D.32
B
)A.24
B.27
C.25
D.32
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先可以先求出阴影部分的总面积，用整个图形的面积减去空白部分的面积即可得到。再结合该勾股定理证明图形的特征，可知阴影部分是4个全等的直角三角形，由此可算出2个直角三角形的面积和。最后观察图形结构可知，大正方形的面积等于空白部分面积加上2个直角三角形的面积，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
第一步：计算阴影部分的总面积
阴影部分面积 = 整个图形面积 - 空白部分面积 = $39 - 15 = 24$
第二步：分析阴影部分的构成
由出入相补原理可知，图中4个阴影部分为全等的直角三角形，因此2个该直角三角形的面积和为 $24 ÷ 2 = 12$
第三步：计算大正方形的面积
观察图形可得：大正方形的面积 = 空白部分面积 + 2个直角三角形的面积
代入数值得：大正方形面积 = $15 + 12 = 27$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的证明，面积和差计算
【点评】
本题以勾股定理的证明为背景，考查学生对图形面积关系的分析能力，解题的关键是理清阴影部分、空白部分与大正方形面积之间的数量关系，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先可以先求出阴影部分的总面积，用整个图形的面积减去空白部分的面积即可得到。再结合该勾股定理证明图形的特征，可知阴影部分是4个全等的直角三角形，由此可算出2个直角三角形的面积和。最后观察图形结构可知，大正方形的面积等于空白部分面积加上2个直角三角形的面积，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
第一步：计算阴影部分的总面积
阴影部分面积 = 整个图形面积 - 空白部分面积 = $39 - 15 = 24$
第二步：分析阴影部分的构成
由出入相补原理可知，图中4个阴影部分为全等的直角三角形，因此2个该直角三角形的面积和为 $24 ÷ 2 = 12$
第三步：计算大正方形的面积
观察图形可得：大正方形的面积 = 空白部分面积 + 2个直角三角形的面积
代入数值得：大正方形面积 = $15 + 12 = 27$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的证明，面积和差计算
【点评】
本题以勾股定理的证明为背景，考查学生对图形面积关系的分析能力，解题的关键是理清阴影部分、空白部分与大正方形面积之间的数量关系，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
6.勾股定理最早记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”。图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的。记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为$ S_1,S_2,S_3 $。若正方形EFGH的边长为4，则$ S_1+S_2+S_3= $
48
。答案
6.48
解析
【分析】
首先观察图形，三个正方形的面积都可通过全等直角三角形的两条直角边长表示，我们采用整体代换的思路解题：设每个全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，分别写出三个正方形面积的表达式，再结合勾股定理和已知的正方形EFGH的边长代入计算即可，无需单独求出a、b的具体值。
【解析】
设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b：
1. 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
2. 已知正方形EFGH的边长为4，因此$S_2=4^2=16$；由勾股定理可得直角三角形的斜边长为4，即$a^2+b^2=4^2=16$；
3. 正方形MNKT的边长为$a-b$，因此$S_3=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
将三个面积相加：
$S_1+S_2+S_3=(a^2+2ab+b^2)+16+(a^2-2ab+b^2)$
化简后得：$S_1+S_2+S_3=2(a^2+b^2)+16$
将$a^2+b^2=16$代入计算：$2×16+16=48$。
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，解题核心是用直角三角形的直角边表示三个正方形的面积，再通过整体代入简化计算，很好地体现了数学中的整体思想。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，三个正方形的面积都可通过全等直角三角形的两条直角边长表示，我们采用整体代换的思路解题：设每个全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，分别写出三个正方形面积的表达式，再结合勾股定理和已知的正方形EFGH的边长代入计算即可，无需单独求出a、b的具体值。
【解析】
设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b：
1. 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
2. 已知正方形EFGH的边长为4，因此$S_2=4^2=16$；由勾股定理可得直角三角形的斜边长为4，即$a^2+b^2=4^2=16$；
3. 正方形MNKT的边长为$a-b$，因此$S_3=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
将三个面积相加：
$S_1+S_2+S_3=(a^2+2ab+b^2)+16+(a^2-2ab+b^2)$
化简后得：$S_1+S_2+S_3=2(a^2+b^2)+16$
将$a^2+b^2=16$代入计算：$2×16+16=48$。
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，解题核心是用直角三角形的直角边表示三个正方形的面积，再通过整体代入简化计算，很好地体现了数学中的整体思想。
【难度系数】
0.7
7.(溧水区期末)如图,在$△ ABD$中,$AC\bot BD$于点$C$,$E$为$AC$上一点,连接$BE$,$DE$,$DE$的延长线交$AB$于点$F$,已知$DE=AB$,$∠ CAD=45°$.
(1)求证:$DF\bot AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,求证:$a^2+b^2=c^2$.
(1)求证:$DF\bot AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,求证:$a^2+b^2=c^2$.
答案
7.证明:(1)$\because AC⊥ BD,∠ CAD=45°$,
$\therefore AC=DC,∠ ACB=∠ DCE=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中,$\begin{cases} AC=DC,\\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL}),\therefore ∠ BAC=∠ EDC$.
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°,∠ CED=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°,\therefore ∠ AFE=90°,\therefore DF⊥ AB$.
(2)由(1)可知$BC=EC$.
$\because S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$,
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}· c· DF-\frac{1}{2}· c· EF=\frac{1}{2}· c· (DF-EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^2,\therefore a^2+b^2=c^2$.
$\therefore AC=DC,∠ ACB=∠ DCE=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中,$\begin{cases} AC=DC,\\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL}),\therefore ∠ BAC=∠ EDC$.
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°,∠ CED=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°,\therefore ∠ AFE=90°,\therefore DF⊥ AB$.
(2)由(1)可知$BC=EC$.
$\because S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$,
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}· c· DF-\frac{1}{2}· c· EF=\frac{1}{2}· c· (DF-EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^2,\therefore a^2+b^2=c^2$.
解析
【分析】
(1) 要证$DF\bot AB$，需证$∠ AFE=90°$。首先由$AC\bot BD$、$∠ CAD=45°$推出$△ ACD$为等腰直角三角形，得$AC=DC$，结合已知$DE=AB$，用HL可证$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC$，得到$∠ BAC=∠ EDC$；再利用对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，推导得$∠ AEF+∠ BAC=90°$，即可得出$∠ AFE=90°$。
(2) 要证勾股定理，利用阴影面积的两种表达形式：一是阴影面积为$△ BCE$与$△ ACD$的面积和，二是阴影面积为$△ ABD$与$△ ABE$的面积差，将各三角形面积用$a、b、c$表示后代入等式，化简即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$，
$\therefore AC=DC$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AC=DC\\ AB=DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDC$。
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°$，$∠ CED=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-(∠ AEF+∠ BAC)=90°$，即$DF\bot AB$。
(2) 证明：
由(1)中全等可得$BC=EC=a$，又$DE=AB=c$，$AC=DC=b$。
$\because$阴影部分面积满足$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$，
代入面积公式得：
$\frac{1}{2}· BC· EC + \frac{1}{2}· AC· DC = \frac{1}{2}· AB· DF - \frac{1}{2}· AB· EF$，
整理右侧得$\frac{1}{2}· c· (DF-EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^2$，
左侧为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$，
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
(1) $DF\bot AB$，得证；
(2) $a^2+b^2=c^2$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等积法的应用；勾股定理的证明
【点评】
本题综合考查了全等三角形的推导和勾股定理的证明，解题核心是熟练掌握直角三角形全等的判定方法，同时能够灵活运用面积的不同表示形式建立等量关系，对几何综合分析能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
(1) 要证$DF\bot AB$，需证$∠ AFE=90°$。首先由$AC\bot BD$、$∠ CAD=45°$推出$△ ACD$为等腰直角三角形，得$AC=DC$，结合已知$DE=AB$，用HL可证$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC$，得到$∠ BAC=∠ EDC$；再利用对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，推导得$∠ AEF+∠ BAC=90°$，即可得出$∠ AFE=90°$。
(2) 要证勾股定理，利用阴影面积的两种表达形式：一是阴影面积为$△ BCE$与$△ ACD$的面积和，二是阴影面积为$△ ABD$与$△ ABE$的面积差，将各三角形面积用$a、b、c$表示后代入等式，化简即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$，
$\therefore AC=DC$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AC=DC\\ AB=DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDC$。
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°$，$∠ CED=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-(∠ AEF+∠ BAC)=90°$，即$DF\bot AB$。
(2) 证明：
由(1)中全等可得$BC=EC=a$，又$DE=AB=c$，$AC=DC=b$。
$\because$阴影部分面积满足$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$，
代入面积公式得：
$\frac{1}{2}· BC· EC + \frac{1}{2}· AC· DC = \frac{1}{2}· AB· DF - \frac{1}{2}· AB· EF$，
整理右侧得$\frac{1}{2}· c· (DF-EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^2$，
左侧为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$，
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
(1) $DF\bot AB$，得证；
(2) $a^2+b^2=c^2$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等积法的应用；勾股定理的证明
【点评】
本题综合考查了全等三角形的推导和勾股定理的证明，解题核心是熟练掌握直角三角形全等的判定方法，同时能够灵活运用面积的不同表示形式建立等量关系，对几何综合分析能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
8.如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,正方形$IECF$的边长为$x$.
(1)小明发现了一种求正方形边长的方法:由题意可得$BD=BE=a-x$,$AD=AF=b-x$.因为$AB=BD+AD$,所以$a-x+b-x=c$,解得$x=$
(2)小亮发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ AIC}+S_{△ BIC}$可以得到$x$与$a,b,c$的关系,请根据小亮的思路完成他的求解过程.
(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
(1)小明发现了一种求正方形边长的方法:由题意可得$BD=BE=a-x$,$AD=AF=b-x$.因为$AB=BD+AD$,所以$a-x+b-x=c$,解得$x=$
$\frac{a+b-c}{2}$
.(2)小亮发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ AIC}+S_{△ BIC}$可以得到$x$与$a,b,c$的关系,请根据小亮的思路完成他的求解过程.
(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
答案
8.(1)$\frac{a+b-c}{2}$
(2)解:$\because S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$,
$\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx,\therefore x=\frac{ab}{a+b+c}$,
$\therefore x$与$a,b,c$的关系为$x=\frac{ab}{a+b+c}$.
(3)解:根据(1)和(2),得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$,
$\therefore 2ab=(a+b+c)(a+b-c)$,
$\therefore (a+b)^2-c^2=2ab,\therefore a^2+2ab+b^2-c^2=2ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)解:$\because S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$,
$\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx,\therefore x=\frac{ab}{a+b+c}$,
$\therefore x$与$a,b,c$的关系为$x=\frac{ab}{a+b+c}$.
(3)解:根据(1)和(2),得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$,
$\therefore 2ab=(a+b+c)(a+b-c)$,
$\therefore (a+b)^2-c^2=2ab,\therefore a^2+2ab+b^2-c^2=2ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
解析
【分析】
(1) 本问只需对给出的一元一次方程进行移项、合并同类项、系数化为1，即可求出x的表达式。
(2) 本问采用面积法求解：大直角三角形ABC的面积等于△AIB、△BIC、△AIC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为正方形的边长x，底分别对应AB=c、BC=a、AC=b，代入三角形面积公式列等式，整理后即可得到x与a、b、c的关系。
(3) 本问将前两问得到的x的两个表达式联立，得到关于a、b、c的等式，利用整式乘法公式展开化简，最终可推导出勾股定理的表达式$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
(1) 对等式$a-x+b-x=c$整理：
移项合并得$a+b-c=2x$，
系数化为1得$x=\frac{a+b-c}{2}$。
(2) 解：$\because S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab$，$S_{△ AIB}=\frac{1}{2}cx$，$S_{△ BIC}=\frac{1}{2}ax$，$S_{△ AIC}=\frac{1}{2}bx$，
$\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx$，
等式两边同乘2得$ab=x(a+b+c)$，
$\therefore x=\frac{ab}{a+b+c}$。
(3) 解：根据(1)(2)的结论，可得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$，
交叉相乘得$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$，
利用平方差公式化简右边得$(a+b)^2-c^2=2ab$，
展开得$a^2+2ab+b^2-c^2=2ab$，
消去等式两边的$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{a+b-c}{2}}$
(2) $\boldsymbol{x=\frac{ab}{a+b+c}}$
(3) 验证可得$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$，勾股定理成立。
【知识点】
勾股定理的证明、面积法的应用、整式的运算
【点评】
本题结合几何图形性质和代数运算，通过两种不同思路推导边长后验证勾股定理，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生理解面积法的应用和勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.75
(1) 本问只需对给出的一元一次方程进行移项、合并同类项、系数化为1，即可求出x的表达式。
(2) 本问采用面积法求解：大直角三角形ABC的面积等于△AIB、△BIC、△AIC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为正方形的边长x，底分别对应AB=c、BC=a、AC=b，代入三角形面积公式列等式，整理后即可得到x与a、b、c的关系。
(3) 本问将前两问得到的x的两个表达式联立，得到关于a、b、c的等式，利用整式乘法公式展开化简，最终可推导出勾股定理的表达式$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
(1) 对等式$a-x+b-x=c$整理：
移项合并得$a+b-c=2x$，
系数化为1得$x=\frac{a+b-c}{2}$。
(2) 解：$\because S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab$，$S_{△ AIB}=\frac{1}{2}cx$，$S_{△ BIC}=\frac{1}{2}ax$，$S_{△ AIC}=\frac{1}{2}bx$，
$\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx$，
等式两边同乘2得$ab=x(a+b+c)$，
$\therefore x=\frac{ab}{a+b+c}$。
(3) 解：根据(1)(2)的结论，可得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$，
交叉相乘得$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$，
利用平方差公式化简右边得$(a+b)^2-c^2=2ab$，
展开得$a^2+2ab+b^2-c^2=2ab$，
消去等式两边的$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{a+b-c}{2}}$
(2) $\boldsymbol{x=\frac{ab}{a+b+c}}$
(3) 验证可得$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$，勾股定理成立。
【知识点】
勾股定理的证明、面积法的应用、整式的运算
【点评】
本题结合几何图形性质和代数运算，通过两种不同思路推导边长后验证勾股定理，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生理解面积法的应用和勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.75
