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9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.如果AD=6,BD=9,CD=4,那么∠BAC是直角吗?证明你的结论.
答案
9.解:∠BAC是直角.证明如下:
∵$AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°$,
∴$AD^2+BD^2=AB^2,AD^2+CD^2=AC^2$.
∵$AD=6,BD=9,CD=4,∴AB^2=117,AC^2=52$.
∵$BC=BD+CD=13,∴BC^2=169,∴AB^2+AC^2=BC^2$,
∴△ABC是直角三角形,且$∠BAC=90°$.
∵$AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°$,
∴$AD^2+BD^2=AB^2,AD^2+CD^2=AC^2$.
∵$AD=6,BD=9,CD=4,∴AB^2=117,AC^2=52$.
∵$BC=BD+CD=13,∴BC^2=169,∴AB^2+AC^2=BC^2$,
∴△ABC是直角三角形,且$∠BAC=90°$.
解析
【分析】
要判断∠BAC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理：若三角形中两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。因此我们需要先求出△ABC三边AB、AC、BC的平方：已知AD⊥BC，△ABD和△ACD都是直角三角形，可先用勾股定理分别计算AB²、AC²，再计算BC的长度得到BC²，最后验证AB²+AC²是否等于BC²即可得出结论。
【解析】
∠BAC是直角，证明如下：
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$，
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2+BD^2=AB^2$，
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：$AD^2+CD^2=AC^2$，
∵$AD=6,BD=9,CD=4$，
∴$AB^2=6^2+9^2=36+81=117$，$AC^2=6^2+4^2=36+16=52$，
又
∵$BC=BD+CD=9+4=13$，
∴$BC^2=13^2=169$，
∵$AB^2+AC^2=117+52=169=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$BC$为斜边，
∴$∠BAC=90°$，即$∠BAC$是直角。
【答案】
$∠BAC$是直角
【知识点】
1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型综合应用题，先通过勾股定理计算三角形边长的平方，再用逆定理判定直角，解题逻辑清晰，属于基础应用类题目，掌握两个定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断∠BAC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理：若三角形中两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。因此我们需要先求出△ABC三边AB、AC、BC的平方：已知AD⊥BC，△ABD和△ACD都是直角三角形，可先用勾股定理分别计算AB²、AC²，再计算BC的长度得到BC²，最后验证AB²+AC²是否等于BC²即可得出结论。
【解析】
∠BAC是直角，证明如下：
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$，
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2+BD^2=AB^2$，
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：$AD^2+CD^2=AC^2$，
∵$AD=6,BD=9,CD=4$，
∴$AB^2=6^2+9^2=36+81=117$，$AC^2=6^2+4^2=36+16=52$，
又
∵$BC=BD+CD=9+4=13$，
∴$BC^2=13^2=169$，
∵$AB^2+AC^2=117+52=169=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$BC$为斜边，
∴$∠BAC=90°$，即$∠BAC$是直角。
【答案】
$∠BAC$是直角
【知识点】
1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型综合应用题，先通过勾股定理计算三角形边长的平方，再用逆定理判定直角，解题逻辑清晰，属于基础应用类题目，掌握两个定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10.(常州期中)如图,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)求证:CD⊥AD;
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)求证:CD⊥AD;
(2)求四边形ABCD的面积.
答案
10.(1)证明:连接AC.
∵$∠B=90°,∴AC^2=BA^2+BC^2=400+225=625$.
∵$DA^2+CD^2=24^2+7^2=625,∴AC^2=DA^2+DC^2$,
∴△ADC是直角三角形,即∠D是直角,
∴CD⊥AD.
(2)解:$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ADC} = \frac{1}{2} AB · BC + \frac{1}{2} AD · CD = \frac{1}{2} ×20×15 + \frac{1}{2} ×24×7 = 234$.
∵$∠B=90°,∴AC^2=BA^2+BC^2=400+225=625$.
∵$DA^2+CD^2=24^2+7^2=625,∴AC^2=DA^2+DC^2$,
∴△ADC是直角三角形,即∠D是直角,
∴CD⊥AD.
(2)解:$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ADC} = \frac{1}{2} AB · BC + \frac{1}{2} AD · CD = \frac{1}{2} ×20×15 + \frac{1}{2} ×24×7 = 234$.
解析
【分析】
（1）要证明CD⊥AD，本质是证明∠D=90°。已知∠B为直角，且给出了四边形四条边的长度，因此我们可以通过连接辅助线AC，先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度，再验证△ADC的三边是否满足勾股定理的逆定理，若满足则△ADC是直角三角形且∠D为直角，即可证明CD⊥AD。
（2）四边形ABCD是不规则图形，我们通过辅助线AC可将其拆分为两个直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积后相加，就能得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明：连接AC。
∵ ∠B=90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$。
又
∵ $AD^2+CD^2=24^2+7^2=576+49=625$，
∴ $AC^2=AD^2+CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∴ CD⊥AD。
(2) 解：四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC的面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}$
$=\frac{1}{2}AB·BC + \frac{1}{2}AD·CD$
$=\frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7$
$=150 + 84$
$=234$
【答案】
(1) CD⊥AD得证；
(2) 四边形ABCD的面积为$\boxed{234}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的综合应用题型，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，既考查了直角三角形的边长计算，也考查了直角三角形的判定，体现了转化思想在几何解题中的重要作用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明CD⊥AD，本质是证明∠D=90°。已知∠B为直角，且给出了四边形四条边的长度，因此我们可以通过连接辅助线AC，先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度，再验证△ADC的三边是否满足勾股定理的逆定理，若满足则△ADC是直角三角形且∠D为直角，即可证明CD⊥AD。
（2）四边形ABCD是不规则图形，我们通过辅助线AC可将其拆分为两个直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积后相加，就能得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明：连接AC。
∵ ∠B=90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$。
又
∵ $AD^2+CD^2=24^2+7^2=576+49=625$，
∴ $AC^2=AD^2+CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∴ CD⊥AD。
(2) 解：四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC的面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}$
$=\frac{1}{2}AB·BC + \frac{1}{2}AD·CD$
$=\frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7$
$=150 + 84$
$=234$
【答案】
(1) CD⊥AD得证；
(2) 四边形ABCD的面积为$\boxed{234}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的综合应用题型，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，既考查了直角三角形的边长计算，也考查了直角三角形的判定，体现了转化思想在几何解题中的重要作用。
【难度系数】
0.7
11.(苏州期末)如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE⊥ AC$于点$E$，$DF$是$△ ABD$的中线，且$CE=2$，$DE=4$，$AE=8$.
(1)求证: $∠ ADC=90°$;
(2)求$DF$的长.
(1)求证: $∠ ADC=90°$;
(2)求$DF$的长.
答案
11.(1)证明:
∵$DE⊥AC$于点E,
∴$∠AED=∠CED=90°$.
∵在$Rt△ADE$中,$∠AED=90°$,
∴$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$,
同理可得$CD^2=20,∴AD^2+CD^2=100$.
∵$AC=AE+CE=8+2=10,∴AC^2=100$,
∴$AD^2+CD^2=AC^2,∴△ADC$是直角三角形,且$∠ADC=90°$.
(2)解:
∵AD是△ABC的中线,$∠ADC=90°$,
∴AD垂直平分BC,
∴$AB=AC=10$.
在$Rt△ADB$中,$∠ADB=90°$,
∵F是边AB的中点,
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5$.
∵$DE⊥AC$于点E,
∴$∠AED=∠CED=90°$.
∵在$Rt△ADE$中,$∠AED=90°$,
∴$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$,
同理可得$CD^2=20,∴AD^2+CD^2=100$.
∵$AC=AE+CE=8+2=10,∴AC^2=100$,
∴$AD^2+CD^2=AC^2,∴△ADC$是直角三角形,且$∠ADC=90°$.
(2)解:
∵AD是△ABC的中线,$∠ADC=90°$,
∴AD垂直平分BC,
∴$AB=AC=10$.
在$Rt△ADB$中,$∠ADB=90°$,
∵F是边AB的中点,
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5$.
解析
【分析】
(1)要证明∠ADC=90°，可利用勾股定理的逆定理，只要验证△ADC中AD²+CD²=AC²即可。首先由DE⊥AC可得△ADE和△CDE均为直角三角形，结合已知线段长度，用勾股定理分别计算AD²、CD²，再求出AC的长度得到AC²，验证两边之和等于第三边即可得证。
(2)求DF的长时，先由AD是△ABC的中线且∠ADC=90°，可知AD垂直平分BC，推出AB=AC；再结合DF是Rt△ABD斜边AB的中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可求出DF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$DE⊥AC$于点E，
∴$∠AED=∠CED=90°$。
在$Rt△ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$，
同理在$Rt△CDE$中，$CD^2=CE^2+DE^2=2^2+4^2=20$，
∴$AD^2+CD^2=80+20=100$，
∵$AC=AE+CE=8+2=10$，
∴$AC^2=10^2=100$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
由勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，且$∠ADC=90°$。
(2)解：
∵AD是△ABC的中线，$∠ADC=90°$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC=10$，
∵$∠ADC=90°$，
∴$∠ADB=90°$，即△ADB为直角三角形，
又
∵DF是△ABD的中线，即F为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
(1)$∠ADC=90°$得证；(2)DF的长为5
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将勾股定理相关知识与直角三角形的性质结合考查，解题的核心是先通过勾股定理计算边长，再用逆定理判定直角三角形，最后结合直角三角形的性质求解线段长度，能较好地考查学生对勾股定理相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠ADC=90°，可利用勾股定理的逆定理，只要验证△ADC中AD²+CD²=AC²即可。首先由DE⊥AC可得△ADE和△CDE均为直角三角形，结合已知线段长度，用勾股定理分别计算AD²、CD²，再求出AC的长度得到AC²，验证两边之和等于第三边即可得证。
(2)求DF的长时，先由AD是△ABC的中线且∠ADC=90°，可知AD垂直平分BC，推出AB=AC；再结合DF是Rt△ABD斜边AB的中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可求出DF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$DE⊥AC$于点E，
∴$∠AED=∠CED=90°$。
在$Rt△ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$，
同理在$Rt△CDE$中，$CD^2=CE^2+DE^2=2^2+4^2=20$，
∴$AD^2+CD^2=80+20=100$，
∵$AC=AE+CE=8+2=10$，
∴$AC^2=10^2=100$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
由勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，且$∠ADC=90°$。
(2)解：
∵AD是△ABC的中线，$∠ADC=90°$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC=10$，
∵$∠ADC=90°$，
∴$∠ADB=90°$，即△ADB为直角三角形，
又
∵DF是△ABD的中线，即F为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
(1)$∠ADC=90°$得证；(2)DF的长为5
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将勾股定理相关知识与直角三角形的性质结合考查，解题的核心是先通过勾股定理计算边长，再用逆定理判定直角三角形，最后结合直角三角形的性质求解线段长度，能较好地考查学生对勾股定理相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
12.(仪征期中)如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,AD是边BC上的中线,点E在AD的延长线上,AD=ED=6,连接CE.
(1)求证:△ABD≅△ECD;
(2)求△ABD的面积.
(1)求证:△ABD≅△ECD;
(2)求△ABD的面积.
答案
12.(1)证明:
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴$△ABD≅△ECD(SAS)$.
(2)解:
∵$△ABD≅△ECD,∴AB=CE=5,S_{△ABC}=S_{△ACE}$.
∵$AE=AD+ED=12,AC=13,CE=5$,
∴$AE^2+CE^2=AC^2$,
∴△ACE是直角三角形,且$∠AEC=90°$,
∴$S_{△ABC} = S_{△ACE} = \frac{1}{2} ×5×12 = 30$.
∵AD是边BC上的中线,
∴$S_{△ABD} = \frac{1}{2} S_{△ABC} =15$,
即△ABD的面积为15.
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴$△ABD≅△ECD(SAS)$.
(2)解:
∵$△ABD≅△ECD,∴AB=CE=5,S_{△ABC}=S_{△ACE}$.
∵$AE=AD+ED=12,AC=13,CE=5$,
∴$AE^2+CE^2=AC^2$,
∴△ACE是直角三角形,且$∠AEC=90°$,
∴$S_{△ABC} = S_{△ACE} = \frac{1}{2} ×5×12 = 30$.
∵AD是边BC上的中线,
∴$S_{△ABD} = \frac{1}{2} S_{△ABC} =15$,
即△ABD的面积为15.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD≅△ECD，先梳理已知条件：AD是BC边上的中线，可得BD=CD；AD和ED相等是已知条件；∠ADB和∠EDC是对顶角，天然相等。三个条件正好满足全等三角形SAS的判定要求，即可完成证明。
(2) 求△ABD的面积时，先借助全等的性质得到AB=CE=5，同时△ABD和△ECD面积相等，由此可得△ABC和△ACE面积相等；再计算AE的总长度，结合CE、AC的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACE是直角三角形，先算出△ACE的面积也就得到了△ABC的面积；最后根据三角形中线平分三角形面积的性质，△ABD的面积是△ABC的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC（对顶角相等）, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴$△ABD≅△ECD(SAS)$。
(2) 解：
∵$△ABD≅△ECD$，
∴$AB=CE=5$，且$S_{△ABD}=S_{△ECD}$，
∴$S_{△ABC}=S_{△ACE}$。
∵$AE=AD+ED=6+6=12$，$AC=13$，$CE=5$，
∴$AE^2+CE^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2=AC^2$，
∴△ACE是直角三角形，且$∠AEC=90°$，
∴$S_{△ACE} = \frac{1}{2} ×CE×AE = \frac{1}{2} ×5×12 = 30$，即$S_{△ABC}=30$。
∵AD是边BC上的中线，
∴$S_{△ABD} = \frac{1}{2} S_{△ABC} = \frac{1}{2}×30=15$。
【答案】
(1) △ABD≅△ECD得证；
(2) 15
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形中线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，通过全等三角形完成边和面积的转化，再结合勾股定理的逆定理求面积，串联了三角形相关的核心知识点，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABD≅△ECD，先梳理已知条件：AD是BC边上的中线，可得BD=CD；AD和ED相等是已知条件；∠ADB和∠EDC是对顶角，天然相等。三个条件正好满足全等三角形SAS的判定要求，即可完成证明。
(2) 求△ABD的面积时，先借助全等的性质得到AB=CE=5，同时△ABD和△ECD面积相等，由此可得△ABC和△ACE面积相等；再计算AE的总长度，结合CE、AC的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACE是直角三角形，先算出△ACE的面积也就得到了△ABC的面积；最后根据三角形中线平分三角形面积的性质，△ABD的面积是△ABC的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC（对顶角相等）, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴$△ABD≅△ECD(SAS)$。
(2) 解：
∵$△ABD≅△ECD$，
∴$AB=CE=5$，且$S_{△ABD}=S_{△ECD}$，
∴$S_{△ABC}=S_{△ACE}$。
∵$AE=AD+ED=6+6=12$，$AC=13$，$CE=5$，
∴$AE^2+CE^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2=AC^2$，
∴△ACE是直角三角形，且$∠AEC=90°$，
∴$S_{△ACE} = \frac{1}{2} ×CE×AE = \frac{1}{2} ×5×12 = 30$，即$S_{△ABC}=30$。
∵AD是边BC上的中线，
∴$S_{△ABD} = \frac{1}{2} S_{△ABC} = \frac{1}{2}×30=15$。
【答案】
(1) △ABD≅△ECD得证；
(2) 15
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形中线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，通过全等三角形完成边和面积的转化，再结合勾股定理的逆定理求面积，串联了三角形相关的核心知识点，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
