9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.如果AD=6,BD=9,CD=4,那么∠BAC是直角吗?证明你的结论.

9.解:∠BAC是直角.证明如下:
∵$AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°$,
∴$AD^2+BD^2=AB^2,AD^2+CD^2=AC^2$.
∵$AD=6,BD=9,CD=4,∴AB^2=117,AC^2=52$.
∵$BC=BD+CD=13,∴BC^2=169,∴AB^2+AC^2=BC^2$,
∴△ABC是直角三角形,且$∠BAC=90°$.

10.(常州期中)如图,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)求证:CD⊥AD;
(2)求四边形ABCD的面积.

10.(1)证明:连接AC.
∵$∠B=90°,∴AC^2=BA^2+BC^2=400+225=625$.
∵$DA^2+CD^2=24^2+7^2=625,∴AC^2=DA^2+DC^2$,
∴△ADC是直角三角形,即∠D是直角,
∴CD⊥AD.
(2)解:$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ADC} = \frac{1}{2} AB · BC + \frac{1}{2} AD · CD = \frac{1}{2} ×20×15 + \frac{1}{2} ×24×7 = 234$.

11.(苏州期末)如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE⊥ AC$于点$E$，$DF$是$△ ABD$的中线，且$CE=2$，$DE=4$，$AE=8$.
(1)求证: $∠ ADC=90°$;
(2)求$DF$的长.

11.(1)证明:
∵$DE⊥AC$于点E,
∴$∠AED=∠CED=90°$.
∵在$Rt△ADE$中,$∠AED=90°$,
∴$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$,
同理可得$CD^2=20,∴AD^2+CD^2=100$.
∵$AC=AE+CE=8+2=10,∴AC^2=100$,
∴$AD^2+CD^2=AC^2,∴△ADC$是直角三角形,且$∠ADC=90°$.
(2)解:
∵AD是△ABC的中线,$∠ADC=90°$,
∴AD垂直平分BC,
∴$AB=AC=10$.
在$Rt△ADB$中,$∠ADB=90°$,
∵F是边AB的中点,
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5$.

12.(仪征期中)如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,AD是边BC上的中线,点E在AD的延长线上,AD=ED=6,连接CE.
(1)求证:△ABD≅△ECD;
(2)求△ABD的面积.

12.(1)证明:
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴$△ABD≅△ECD(SAS)$.
(2)解:
∵$△ABD≅△ECD,∴AB=CE=5,S_{△ABC}=S_{△ACE}$.
∵$AE=AD+ED=12,AC=13,CE=5$,
∴$AE^2+CE^2=AC^2$,
∴△ACE是直角三角形,且$∠AEC=90°$,
∴$S_{△ABC} = S_{△ACE} = \frac{1}{2} ×5×12 = 30$.
∵AD是边BC上的中线,
∴$S_{△ABD} = \frac{1}{2} S_{△ABC} =15$,
即△ABD的面积为15.