登录
1.(丰县期中)如图,长方形BCFG是一块草地,折线ABCDE是一条人行道,BC=12 m,CD=5 m.为了避免行人穿过草地(走虚线BD),践踏绿草,管理部门分别在B,D处各挂了一块牌子,牌子上写着“少走
(
A.3
B.4
C.5
D.6
4
m,踏之何忍”.(
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.B
解析
【分析】
要计算少走的路程，首先明确少走的长度等于走折线BC+CD的总长度减去走直线路径BD的长度。观察图形可知长方形BCFG的内角∠C为直角，因此△BCD是直角三角形，我们可以先利用勾股定理，由已知的两条直角边BC、CD的长度求出斜边BD的长度，再计算两条路径的长度差即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形BCFG是长方形，
∴∠C=90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，BC=12 m，CD=5 m，根据勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13(\mathrm{m})$
走折线BC+CD的总长度为：$12+5=17(\mathrm{m})$
因此少走的路程为：$17-13=4(\mathrm{m})$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，结合勾股定理计算相关边长，再求路程差即可，题型贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算少走的路程，首先明确少走的长度等于走折线BC+CD的总长度减去走直线路径BD的长度。观察图形可知长方形BCFG的内角∠C为直角，因此△BCD是直角三角形，我们可以先利用勾股定理，由已知的两条直角边BC、CD的长度求出斜边BD的长度，再计算两条路径的长度差即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形BCFG是长方形，
∴∠C=90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，BC=12 m，CD=5 m，根据勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13(\mathrm{m})$
走折线BC+CD的总长度为：$12+5=17(\mathrm{m})$
因此少走的路程为：$17-13=4(\mathrm{m})$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，结合勾股定理计算相关边长，再求路程差即可，题型贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.(南京期中)如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要（
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
A
）A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
答案
2.A
解析
【分析】
要解决楼梯铺地毯的长度问题，首先明确核心思路：地毯的长度等于所有台阶的水平宽度总和加竖直高度总和。利用平移的性质，可将所有水平台阶平移到直角三角形的水平直角边，所有竖直台阶平移到直角三角形的竖直直角边，因此只需先算出直角三角形的水平边长，再加竖直高度即可。我们先通过勾股定理计算水平边长：已知直角三角形的斜边（坡面长）为13m，竖直直角边为5m，代入勾股定理求出水平边长后求和即可。
【解析】
解：根据勾股定理，楼梯的水平长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$
结合平移的性质，地毯的最小长度为水平长度与竖直高度之和：
$12 + 5 = 17\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是理解平移思想在该类问题中的作用，避免误将坡面长度当做地毯长度，掌握勾股定理的计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决楼梯铺地毯的长度问题，首先明确核心思路：地毯的长度等于所有台阶的水平宽度总和加竖直高度总和。利用平移的性质，可将所有水平台阶平移到直角三角形的水平直角边，所有竖直台阶平移到直角三角形的竖直直角边，因此只需先算出直角三角形的水平边长，再加竖直高度即可。我们先通过勾股定理计算水平边长：已知直角三角形的斜边（坡面长）为13m，竖直直角边为5m，代入勾股定理求出水平边长后求和即可。
【解析】
解：根据勾股定理，楼梯的水平长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$
结合平移的性质，地毯的最小长度为水平长度与竖直高度之和：
$12 + 5 = 17\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是理解平移思想在该类问题中的作用，避免误将坡面长度当做地毯长度，掌握勾股定理的计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3.(2024·鼓楼区二模)无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H:14 m，D:48 m”(H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离)，则此时无人机到起飞点的距离为
50
m.答案
3.50
解析
【分析】
首先可将无人机位置、起飞点、起飞点正上方与无人机同一高度的点构建为直角三角形：无人机离起飞点的垂直距离H、水平距离D是直角三角形的两条直角边，所求的无人机到起飞点的直线距离是直角三角形的斜边，因此可通过勾股定理计算斜边长度。解题时先明确两条直角边的长度，代入勾股定理公式求解，最后距离取正数值即可。
【解析】
解：由题意可知，无人机到起飞点的垂直距离、水平距离与到起飞点的直线距离构成直角三角形，两条直角边长分别为14m和48m。
设此时无人机到起飞点的距离为$x$ m，根据勾股定理可得：
$x^2 = 14^2 + 48^2$
计算得：$x^2 = 196 + 2304 = 2500$
因为距离为正数，所以$x = \sqrt{2500} = 50$
【答案】
50
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题将实际场景转化为几何直角三角形模型，核心考查勾股定理的应用，解题关键是准确对应直角三角形的边长关系，计算难度低，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
首先可将无人机位置、起飞点、起飞点正上方与无人机同一高度的点构建为直角三角形：无人机离起飞点的垂直距离H、水平距离D是直角三角形的两条直角边，所求的无人机到起飞点的直线距离是直角三角形的斜边，因此可通过勾股定理计算斜边长度。解题时先明确两条直角边的长度，代入勾股定理公式求解，最后距离取正数值即可。
【解析】
解：由题意可知，无人机到起飞点的垂直距离、水平距离与到起飞点的直线距离构成直角三角形，两条直角边长分别为14m和48m。
设此时无人机到起飞点的距离为$x$ m，根据勾股定理可得：
$x^2 = 14^2 + 48^2$
计算得：$x^2 = 196 + 2304 = 2500$
因为距离为正数，所以$x = \sqrt{2500} = 50$
【答案】
50
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题将实际场景转化为几何直角三角形模型，核心考查勾股定理的应用，解题关键是准确对应直角三角形的边长关系，计算难度低，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
4.(扬州期中)如图是一圆柱形玻璃杯,从内部测得底面半径为6 cm,高为16 cm.现有一根长为25 cm的吸管任意放入杯中,则吸管露在杯口外的长度h最少是
5 cm
.答案
4.5 cm
解析
【分析】
要让吸管露在杯口外的长度h最小，需保证吸管在玻璃杯内部的长度最大。当吸管斜放，下端接触杯底圆周边缘、上端接触杯口对面边缘时，杯内吸管长度达到最大值，此时杯内吸管长度、玻璃杯的高、玻璃杯底面直径刚好构成直角三角形，可通过勾股定理算出杯内吸管的最大长度，再用吸管总长度减去该最大长度，就能得到h的最小值。
【解析】
已知玻璃杯底面半径为6 cm，因此底面直径为 $ 2×6=12\ \mathrm{cm} $，玻璃杯内部高为16 cm。
设吸管在杯内的最大长度为$ l $，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ l^2=12^2+16^2=144+256=400 $
解得 $ l=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm} $（长度为正数，舍去负根）。
吸管总长度为25 cm，因此露在杯口外的最小长度 $ h=25-20=5\ \mathrm{cm} $。
【答案】
5 cm
【知识点】
勾股定理的应用；最值分析
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形模型，准确找到杯内吸管长度最大的摆放位置，再结合勾股定理计算对应边长即可求解。
【难度系数】
0.7
要让吸管露在杯口外的长度h最小，需保证吸管在玻璃杯内部的长度最大。当吸管斜放，下端接触杯底圆周边缘、上端接触杯口对面边缘时，杯内吸管长度达到最大值，此时杯内吸管长度、玻璃杯的高、玻璃杯底面直径刚好构成直角三角形，可通过勾股定理算出杯内吸管的最大长度，再用吸管总长度减去该最大长度，就能得到h的最小值。
【解析】
已知玻璃杯底面半径为6 cm，因此底面直径为 $ 2×6=12\ \mathrm{cm} $，玻璃杯内部高为16 cm。
设吸管在杯内的最大长度为$ l $，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ l^2=12^2+16^2=144+256=400 $
解得 $ l=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm} $（长度为正数，舍去负根）。
吸管总长度为25 cm，因此露在杯口外的最小长度 $ h=25-20=5\ \mathrm{cm} $。
【答案】
5 cm
【知识点】
勾股定理的应用；最值分析
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形模型，准确找到杯内吸管长度最大的摆放位置，再结合勾股定理计算对应边长即可求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,一架5 m长的梯子AB斜靠在一面墙上,梯子底端B到墙底的距离BC为3 m.
(1)梯子顶端A到地面的距离AC是
(2)如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑1 m到点D处,梯子的底端B在水平方向滑动了多少米?
(1)梯子顶端A到地面的距离AC是
4
m;(2)如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑1 m到点D处,梯子的底端B在水平方向滑动了多少米?
答案
(1)4
(2)解:DC=4−1=3(m),DE=AB=5 m.
在Rt△DCE中,由勾股定理,得DC²+CE²=DE²,
即3²+CE²=5²,解得CE=4.
∴BE=CE−CB=4−3=1(m).
答:梯子的底端B在水平方向滑动了1 m.
(2)解:DC=4−1=3(m),DE=AB=5 m.
在Rt△DCE中,由勾股定理,得DC²+CE²=DE²,
即3²+CE²=5²,解得CE=4.
∴BE=CE−CB=4−3=1(m).
答:梯子的底端B在水平方向滑动了1 m.
解析
【分析】
(1) 由题意可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知斜边AB和直角边BC的长度，直接利用勾股定理即可求出直角边AC的长度。
(2) 梯子下滑过程中长度不变，即DE=AB，先求出下滑后顶端到地面的距离DC，再在Rt△DCE中用勾股定理求出CE的长度，最后用CE减去BC的长度就得到底端滑动的距离BE。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5m，BC=3m，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{m})$
(2) 由题意得，梯子顶端A下滑1m到D，所以$DC=AC-AD=4-1=3(\mathrm{m})$，梯子长度不变，故$DE=AB=5\mathrm{m}$。
在Rt△DCE中，∠C=90°，根据勾股定理：
$DC^2+CE^2=DE^2$
代入数值得：$3^2+CE^2=5^2$，解得$CE^2=25-9=16$，因此$CE=4\mathrm{m}$（线段长度为正，舍去负根）。
则滑动的距离$BE=CE-BC=4-3=1(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 4
(2) 梯子的底端B在水平方向滑动了1 m。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题的关键是抓住梯子长度不变这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题过程中注意结合图形分析各线段的数量关系。
【难度系数】
0.85
(1) 由题意可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知斜边AB和直角边BC的长度，直接利用勾股定理即可求出直角边AC的长度。
(2) 梯子下滑过程中长度不变，即DE=AB，先求出下滑后顶端到地面的距离DC，再在Rt△DCE中用勾股定理求出CE的长度，最后用CE减去BC的长度就得到底端滑动的距离BE。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5m，BC=3m，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{m})$
(2) 由题意得，梯子顶端A下滑1m到D，所以$DC=AC-AD=4-1=3(\mathrm{m})$，梯子长度不变，故$DE=AB=5\mathrm{m}$。
在Rt△DCE中，∠C=90°，根据勾股定理：
$DC^2+CE^2=DE^2$
代入数值得：$3^2+CE^2=5^2$，解得$CE^2=25-9=16$，因此$CE=4\mathrm{m}$（线段长度为正，舍去负根）。
则滑动的距离$BE=CE-BC=4-3=1(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 4
(2) 梯子的底端B在水平方向滑动了1 m。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题的关键是抓住梯子长度不变这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题过程中注意结合图形分析各线段的数量关系。
【难度系数】
0.85
6.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深几何。”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺。）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度是多少？如图，水深为（
A.10尺
B.12尺
C.13尺
D.15尺
B
）A.10尺
B.12尺
C.13尺
D.15尺
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将实际场景转化为直角三角形模型：我们可以先设水深为未知数，用含未知数的式子表示芦苇的总长度；再明确水池正中央到池边的水平距离是正方形边长的一半；最后将芦苇拉到岸边时，水深、水平距离、芦苇长度恰好构成直角三角形，芦苇为斜边，利用勾股定理列方程就能求出水深。
【解析】
解：设水深为$ x $尺，则芦苇的总长度为$ (x+1) $尺。
已知水池水面是边长为10尺的正方形，因此水池正中央到池边的水平距离为$ 10÷2=5 $尺。
把芦苇拉向池边时，三者构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$ x^2 + 5^2 = (x+1)^2 $
展开等式右侧：
$ x^2 +25 = x^2 + 2x +1 $
两边同时消去$ x^2 $，整理得：
$ 2x=24 $
解得$ x=12 $
即水深为12尺。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题源于我国古代数学经典问题，核心是将实际问题转化为直角三角形模型，找到各边的数量关系后利用勾股定理建立方程求解，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要将实际场景转化为直角三角形模型：我们可以先设水深为未知数，用含未知数的式子表示芦苇的总长度；再明确水池正中央到池边的水平距离是正方形边长的一半；最后将芦苇拉到岸边时，水深、水平距离、芦苇长度恰好构成直角三角形，芦苇为斜边，利用勾股定理列方程就能求出水深。
【解析】
解：设水深为$ x $尺，则芦苇的总长度为$ (x+1) $尺。
已知水池水面是边长为10尺的正方形，因此水池正中央到池边的水平距离为$ 10÷2=5 $尺。
把芦苇拉向池边时，三者构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$ x^2 + 5^2 = (x+1)^2 $
展开等式右侧：
$ x^2 +25 = x^2 + 2x +1 $
两边同时消去$ x^2 $，整理得：
$ 2x=24 $
解得$ x=12 $
即水深为12尺。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题源于我国古代数学经典问题，核心是将实际问题转化为直角三角形模型，找到各边的数量关系后利用勾股定理建立方程求解，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
