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7.如图,将一根长度为16 cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上,然后把中点C竖直向上拉升6 cm至点D,则该弹性皮筋被拉长了 (
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
B
)A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
7.B
解析
【分析】
要计算弹性皮筋被拉长的长度，只需用拉升后的总长度减去原长即可。首先根据AB的长度和C是AB中点，可求出AC的长度；由于C是竖直向上拉升，可得DC与AB垂直，即△ACD是直角三角形，结合已知的DC长度，利用勾股定理可求出AD的长度，同理可得BD的长度，最后计算拉升后总长度与原长的差值即可得到结果。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=16 cm，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=8 cm，
由题意得DC⊥AB，DC=6 cm，
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm，
同理可得BD=10 cm，
∴拉升后皮筋总长度为AD+BD=10+10=20 cm，
∴皮筋被拉长的长度为20-16=4 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的基础应用，解题核心是结合题意构造直角三角形，再结合线段中点的性质计算相关长度，考查学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算弹性皮筋被拉长的长度，只需用拉升后的总长度减去原长即可。首先根据AB的长度和C是AB中点，可求出AC的长度；由于C是竖直向上拉升，可得DC与AB垂直，即△ACD是直角三角形，结合已知的DC长度，利用勾股定理可求出AD的长度，同理可得BD的长度，最后计算拉升后总长度与原长的差值即可得到结果。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=16 cm，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=8 cm，
由题意得DC⊥AB，DC=6 cm，
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm，
同理可得BD=10 cm，
∴拉升后皮筋总长度为AD+BD=10+10=20 cm，
∴皮筋被拉长的长度为20-16=4 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的基础应用，解题核心是结合题意构造直角三角形，再结合线段中点的性质计算相关长度，考查学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
8. 一艘船由A港沿北偏东$60°$方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西$30°$方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为
50
km.答案
8.50
解析
【分析】
拿到这道题，首先要结合方向角的定义判断△ABC的形状：①所有正北方向的直线互相平行，根据平行线的内错角相等，可得AB与B点正北方向的夹角为60°向东；②已知BC与B点正北方向的夹角为30°向西，因此∠ABC=60°+30°=90°，即△ABC是直角三角形。接下来已知两条直角边的长度，直接用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
解：根据方向角的性质和平行线的性质可得：
$∠ ABC = 60° + 30° = 90°$
∴$△ ABC$是直角三角形，其中$AB=30\mathrm{km}$，$BC=40\mathrm{km}$为两条直角边
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
∵$AC＞0$
∴$AC = \sqrt{2500} = 50\mathrm{km}$
【答案】
50
【知识点】
方向角的识别；勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际行程问题中的应用，解题的关键是根据方向角的特征准确判断出三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算即可，解题时可以结合草图分析角度关系，降低出错率。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，首先要结合方向角的定义判断△ABC的形状：①所有正北方向的直线互相平行，根据平行线的内错角相等，可得AB与B点正北方向的夹角为60°向东；②已知BC与B点正北方向的夹角为30°向西，因此∠ABC=60°+30°=90°，即△ABC是直角三角形。接下来已知两条直角边的长度，直接用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
解：根据方向角的性质和平行线的性质可得：
$∠ ABC = 60° + 30° = 90°$
∴$△ ABC$是直角三角形，其中$AB=30\mathrm{km}$，$BC=40\mathrm{km}$为两条直角边
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
∵$AC＞0$
∴$AC = \sqrt{2500} = 50\mathrm{km}$
【答案】
50
【知识点】
方向角的识别；勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际行程问题中的应用，解题的关键是根据方向角的特征准确判断出三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算即可，解题时可以结合草图分析角度关系，降低出错率。
【难度系数】
0.7
9.(吴中区期中)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节.某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15 m;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m;
③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 m,那么他应该往回收线多少米？
①测得水平距离BD的长为15 m;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m;
③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 m,那么他应该往回收线多少米？
答案
解:(1)在Rt△CDB中,由勾股定理,得
CD²=BC²−BD²=25²−15²=400,
∴CD=20.
∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6(m).
答:风筝的高度CE为21.6 m.
(2)如答图,由题意,得CM=12 m,
∴DM=8 m,
∴BM=√(DM²+BD²)=√(8²+15²)=17(m),
∴BC−BM=25−17=8(m).
答:他应该往回收线8 m.
第9题答图
解析
【分析】
(1) 要求风筝的垂直高度CE，观察图形可知CE=CD+DE，其中DE等于小明的身高1.6m，因此仅需求出CD的长度。由图可知BD⊥CD，△CDB是直角三角形，已知斜边BC和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出CD，进而得到CE的高度。
(2) 风筝沿CD方向下降12m，即CM=12m，先计算出下降后剩余的竖直长度DM，此时新的风筝线BM为Rt△BDM的斜边，用勾股定理求出BM的长度，再用原线长BC减去BM，即可得到需要回收的线长。
【解析】
(1) 在$Rt△ CDB$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=625-225=400$，
$\because CD＞0$，$\therefore CD=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，
又$\because DE=AB=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得风筝下降的距离$CM=12\ \mathrm{m}$，
$\therefore DM=CD-CM=20-12=8\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ BDM$中，$∠ BDM=90°$，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BD^2+DM^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 需要回收的线长为$BC-BM=25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的高度CE为21.6 m；
(2) 他应该往回收线8 m。
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际场景转化为直角三角形的数学模型，准确提取已知边长，结合勾股定理计算对应线段即可，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要求风筝的垂直高度CE，观察图形可知CE=CD+DE，其中DE等于小明的身高1.6m，因此仅需求出CD的长度。由图可知BD⊥CD，△CDB是直角三角形，已知斜边BC和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出CD，进而得到CE的高度。
(2) 风筝沿CD方向下降12m，即CM=12m，先计算出下降后剩余的竖直长度DM，此时新的风筝线BM为Rt△BDM的斜边，用勾股定理求出BM的长度，再用原线长BC减去BM，即可得到需要回收的线长。
【解析】
(1) 在$Rt△ CDB$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=625-225=400$，
$\because CD＞0$，$\therefore CD=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，
又$\because DE=AB=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得风筝下降的距离$CM=12\ \mathrm{m}$，
$\therefore DM=CD-CM=20-12=8\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ BDM$中，$∠ BDM=90°$，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BD^2+DM^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 需要回收的线长为$BC-BM=25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的高度CE为21.6 m；
(2) 他应该往回收线8 m。
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际场景转化为直角三角形的数学模型，准确提取已知边长，结合勾股定理计算对应线段即可，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
10.(建邺区期末)如图,点A处的居民楼与马路相距14 m,当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50 m时就会受到噪声污染,如果汽车以15 m/s的速度行驶经过,那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染? 
第10题图
第10题图答案
解:如答图,在马路上取点C,D,连接AC,AD,使AC=AD=50. 根据题意可知,△ACD是等腰三角形,CD=2BC.
在Rt△ABC中,AB=14,AC=50,由勾股定理知BC=√(AC²−AB²)=√(50²−14²)=48,所以CD=2BC=96.
t=96÷15=6.4(s).
答:会给这栋居民楼带来6.4 s的噪声污染.
第10题答图
解析
【分析】
解题时首先要明确噪声污染的范围：当汽车到点A的距离小于50m时，居民楼就会受到噪声影响，因此我们需要在马路上找到到A点距离恰好为50m的两个点C、D，汽车在CD段行驶时都会产生噪声污染。已知AB垂直于马路，所以△ACD是等腰三角形，AB是底边CD的高，可先通过勾股定理求出BC的长度，进而得到CD的总长度，最后根据路程、速度、时间的关系计算出噪声污染的时长。
【解析】
如答图，在马路上取点C、D，连接AC、AD，使$AC=AD=50\ \mathrm{m}$，此时汽车在CD段行驶时，到A的距离不超过50m，居民楼会受噪声污染。
由题意得$AB⊥ CD$，$AB=14\ \mathrm{m}$，$△ ACD$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$CD=2BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=\sqrt{2304}=48(\mathrm{m})$
因此$CD=2×48=96(\mathrm{m})$
已知汽车行驶速度为$15\ \mathrm{m/s}$，则噪声污染的时长为：
$t=\frac{CD}{v}=\frac{96}{15}=6.4(\mathrm{s})$
【答案】
会给这栋居民楼带来6.4 s的噪声污染。
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，行程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题的关键是将实际问题转化为几何问题，准确找到噪声污染对应的行驶路段，结合几何性质和行程公式即可求解，能够有效锻炼将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确噪声污染的范围：当汽车到点A的距离小于50m时，居民楼就会受到噪声影响，因此我们需要在马路上找到到A点距离恰好为50m的两个点C、D，汽车在CD段行驶时都会产生噪声污染。已知AB垂直于马路，所以△ACD是等腰三角形，AB是底边CD的高，可先通过勾股定理求出BC的长度，进而得到CD的总长度，最后根据路程、速度、时间的关系计算出噪声污染的时长。
【解析】
如答图，在马路上取点C、D，连接AC、AD，使$AC=AD=50\ \mathrm{m}$，此时汽车在CD段行驶时，到A的距离不超过50m，居民楼会受噪声污染。
由题意得$AB⊥ CD$，$AB=14\ \mathrm{m}$，$△ ACD$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$CD=2BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=\sqrt{2304}=48(\mathrm{m})$
因此$CD=2×48=96(\mathrm{m})$
已知汽车行驶速度为$15\ \mathrm{m/s}$，则噪声污染的时长为：
$t=\frac{CD}{v}=\frac{96}{15}=6.4(\mathrm{s})$
【答案】
会给这栋居民楼带来6.4 s的噪声污染。
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，行程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题的关键是将实际问题转化为几何问题，准确找到噪声污染对应的行驶路段，结合几何性质和行程公式即可求解，能够有效锻炼将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，若点$P$从点$A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿$A\to C\to B\to A$运动，设运动时间为$t$秒$(t＞0)$。
(1)若点$P$在$AC$上，且满足$PA=PB$，求此时$t$的值；
(2)若点$P$恰好在$∠ BAC$的平分线上，求$t$的值。
(1)若点$P$在$AC$上，且满足$PA=PB$，求此时$t$的值；
(2)若点$P$恰好在$∠ BAC$的平分线上，求$t$的值。
答案
解:(1)如答图①,连接PB. 在Rt△ACB中,
∵AC²=AB²−BC²=10²−6²=64,
∴AC=8.
由题意,得AP=t,则PB=t,PC=8−t.
在Rt△PCB中,由勾股定理,得(8−t)²+6²=t²,
解得$t=\frac{25}{4}$,即此时t的值为$\frac{25}{4}$.
(2)分两种情况:
①当点P在BC上时,如答图②,过点P作PE⊥AB,
则∠AEP=90°.由题意,得PC=t−8,PB=14−t.
∵AP平分∠BAC,且∠ACB=90°,
∴PE=PC=t−8.
∵AP平分∠BAC,
∴∠CAP=∠BAP.
在△ACP和△AEP中,$\begin{cases} ∠C=∠AEP,\\ ∠CAP=∠EAP,\\ AP=AP, \end{cases}$
∴△ACP≅△AEP(AAS),
∴AE=AC=8,
∴BE=2.
在Rt△PEB中,由勾股定理,得PE²+EB²=PB²,
即$(t−8)^2+2^2=(14−t)^2$,解得$t=\frac{32}{3}$.
②当点P又回到点A时,
∵AC+BC+AB=8+6+10=24,
∴t=24.
综上所述,点P在∠BAC的平分线上时,t的值为$\frac{32}{3}$或24.
第11题答图
解析
【分析】
解决第(1)问时，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，点P在AC上时PA=t，由PA=PB可知PB=t，可表示出PC的长度，再在Rt△PCB中利用勾股定理列关于t的方程，解方程即可。解决第(2)问需分类讨论：①点P在BC上时，过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质得PE=PC，证明△ACP≌△AEP得到AE=AC，求出BE的长度后，在Rt△PEB中用勾股定理列方程求解t；②点P回到点A时，点A本身在∠BAC的平分线上，计算点P走完全程的时间即可，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
(1) 如答图①，连接PB。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=10^2-6^2=64$，因此$AC=8$。
由题意得$AP=t$，$\because PA=PB$，$\therefore PB=t$，$PC=8-t$。
在Rt△PCB中，由勾股定理得$PC^2+BC^2=PB^2$，
即$(8-t)^2+6^2=t^2$，
展开整理得$100-16t=0$，解得$t=\frac{25}{4}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点P在BC上时，如答图②，过点P作$PE⊥ AB$于E。
此时$PC=t-8$，$PB=14-t$。
$\because AP$平分$∠ BAC$，$∠ ACB=90°$，$PE⊥ AB$，
$\therefore PE=PC=t-8$。
在$△ ACP$和$△ AEP$中：
$\begin{cases} ∠ C=∠ AEP \\ ∠ CAP=∠ EAP \\ AP=AP \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ AEP(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AC=8$，$BE=AB-AE=2$。
在Rt△PEB中，由勾股定理得$PE^2+BE^2=PB^2$，
即$(t-8)^2+2^2=(14-t)^2$，
展开整理得$12t=128$，解得$t=\frac{32}{3}$。
② 当点P运动回到点A时，点A在$∠ BAC$的平分线上，此时总路程为$8+6+10=24$，故$t=24$。
综上，点P在$∠ BAC$的平分线上时，$t$的值为$\frac{32}{3}$或24。
【答案】
(1) $t=\frac{25}{4}$；(2) $t=\frac{32}{3}$或$24$
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形判定
【点评】
本题属于动态几何问题，解题时要注意分类讨论点P的不同位置，避免漏解，通过用含t的代数式表示相关线段长度，结合勾股定理建立方程求解，考查了方程思想与分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决第(1)问时，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，点P在AC上时PA=t，由PA=PB可知PB=t，可表示出PC的长度，再在Rt△PCB中利用勾股定理列关于t的方程，解方程即可。解决第(2)问需分类讨论：①点P在BC上时，过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质得PE=PC，证明△ACP≌△AEP得到AE=AC，求出BE的长度后，在Rt△PEB中用勾股定理列方程求解t；②点P回到点A时，点A本身在∠BAC的平分线上，计算点P走完全程的时间即可，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
(1) 如答图①，连接PB。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=10^2-6^2=64$，因此$AC=8$。
由题意得$AP=t$，$\because PA=PB$，$\therefore PB=t$，$PC=8-t$。
在Rt△PCB中，由勾股定理得$PC^2+BC^2=PB^2$，
即$(8-t)^2+6^2=t^2$，
展开整理得$100-16t=0$，解得$t=\frac{25}{4}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点P在BC上时，如答图②，过点P作$PE⊥ AB$于E。
此时$PC=t-8$，$PB=14-t$。
$\because AP$平分$∠ BAC$，$∠ ACB=90°$，$PE⊥ AB$，
$\therefore PE=PC=t-8$。
在$△ ACP$和$△ AEP$中：
$\begin{cases} ∠ C=∠ AEP \\ ∠ CAP=∠ EAP \\ AP=AP \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ AEP(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AC=8$，$BE=AB-AE=2$。
在Rt△PEB中，由勾股定理得$PE^2+BE^2=PB^2$，
即$(t-8)^2+2^2=(14-t)^2$，
展开整理得$12t=128$，解得$t=\frac{32}{3}$。
② 当点P运动回到点A时，点A在$∠ BAC$的平分线上，此时总路程为$8+6+10=24$，故$t=24$。
综上，点P在$∠ BAC$的平分线上时，$t$的值为$\frac{32}{3}$或24。
【答案】
(1) $t=\frac{25}{4}$；(2) $t=\frac{32}{3}$或$24$
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形判定
【点评】
本题属于动态几何问题，解题时要注意分类讨论点P的不同位置，避免漏解，通过用含t的代数式表示相关线段长度，结合勾股定理建立方程求解，考查了方程思想与分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
