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1.(东台期末)如图，数轴上点A表示的数是－2，$∠ OAB=90°$，$AB=1$，以点O为圆心，OB长为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（
A.$-\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{5}$
D.－2.2
C
）A.$-\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{5}$
D.－2.2
答案
1.C
解析
【分析】
本题是勾股定理与数轴、圆的性质结合的题型，解题思路如下：第一步先确定直角△OAB的直角边长度，数轴上点A表示-2，原点到A的距离OA为2，已知AB=1且∠OAB是直角；第二步用勾股定理计算斜边OB的长度；第三步根据圆的半径相等，可知OB=OP，结合点P在数轴负半轴，即可求出P表示的数。
【解析】
解：
∵数轴上点A表示的数为-2，原点O表示的数为0
∴OA = |-2 - 0| = 2
∵∠OAB=90°，AB=1
∴在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
∴$OB = \sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）
∵以O为圆心，OB为半径画弧交数轴负半轴于P
∴$OP = OB = \sqrt{5}$
又
∵点P在数轴负半轴
∴点P表示的数为$-\sqrt{5}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础应用类题型，将几何计算和数轴表示实数结合，解题的关键是抓住圆的半径相等这一特点，结合勾股定理求出线段长度后，根据点所在的数轴半轴确定对应数的符号即可。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理与数轴、圆的性质结合的题型，解题思路如下：第一步先确定直角△OAB的直角边长度，数轴上点A表示-2，原点到A的距离OA为2，已知AB=1且∠OAB是直角；第二步用勾股定理计算斜边OB的长度；第三步根据圆的半径相等，可知OB=OP，结合点P在数轴负半轴，即可求出P表示的数。
【解析】
解：
∵数轴上点A表示的数为-2，原点O表示的数为0
∴OA = |-2 - 0| = 2
∵∠OAB=90°，AB=1
∴在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
∴$OB = \sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）
∵以O为圆心，OB为半径画弧交数轴负半轴于P
∴$OP = OB = \sqrt{5}$
又
∵点P在数轴负半轴
∴点P表示的数为$-\sqrt{5}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础应用类题型，将几何计算和数轴表示实数结合，解题的关键是抓住圆的半径相等这一特点，结合勾股定理求出线段长度后，根据点所在的数轴半轴确定对应数的符号即可。
【难度系数】
0.8
2.如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为 （
A.2 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.5 cm
C
）A.2 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.5 cm
答案
2.C
解析
【分析】
遇到折叠类问题，首先要想到折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度，再结合折叠性质得到AE、DE与已知边的关系，最后设CD的长度为未知数，将相关线段长度转化到直角△DEB中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$
由折叠的性质可得：$△ ACD ≌ △ AED$，因此$AE=AC=6\mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，故$∠ DEB=90°$。
$EB=AB-AE=10-6=4\mathrm{cm}$。
设$CD=x\mathrm{cm}$，则$DE=x\mathrm{cm}$，$DB=BC-CD=(8-x)\mathrm{cm}$。
在Rt△DEB中，根据勾股定理得：
$DE^2+EB^2=DB^2$
代入数值：$x^2+4^2=(8-x)^2$
展开计算：$x^2+16=64-16x+x^2$
化简得：$16x=48$，解得$x=3$
即CD的长为3cm。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的基础题型，解题的关键是利用折叠性质转化相等的线段，将未知量集中到同一个直角三角形中，通过列方程求解，考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类问题，首先要想到折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度，再结合折叠性质得到AE、DE与已知边的关系，最后设CD的长度为未知数，将相关线段长度转化到直角△DEB中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$
由折叠的性质可得：$△ ACD ≌ △ AED$，因此$AE=AC=6\mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，故$∠ DEB=90°$。
$EB=AB-AE=10-6=4\mathrm{cm}$。
设$CD=x\mathrm{cm}$，则$DE=x\mathrm{cm}$，$DB=BC-CD=(8-x)\mathrm{cm}$。
在Rt△DEB中，根据勾股定理得：
$DE^2+EB^2=DB^2$
代入数值：$x^2+4^2=(8-x)^2$
展开计算：$x^2+16=64-16x+x^2$
化简得：$16x=48$，解得$x=3$
即CD的长为3cm。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的基础题型，解题的关键是利用折叠性质转化相等的线段，将未知量集中到同一个直角三角形中，通过列方程求解，考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
3.如图,点D在△ABC的边BC上,若AB=13,AD=12,BD=5,AC=15,则BC的长为
14
.答案
3.14
解析
【分析】
解题时先观察已知△ABD的三边长，5、12、13是常见勾股数，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，确定∠ADB的度数；若得到∠ADB为直角，则∠ADC也为直角，此时在Rt△ADC中，已知AD和AC的长度，就可以用勾股定理求出DC的长，最后BC的长等于BD与DC的长度之和。
【解析】
解：在△ABD中，
∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，
$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
∴$∠ ADC=180° - ∠ ADB=90°$，
在Rt△ADC中，AD=12，AC=15，
由勾股定理得：$DC^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$，
∴DC=9（线段长度为正数，舍去负根），
∴$BC = BD + DC = 5 + 9 = 14$。
【答案】
14
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是灵活运用勾股定理及其逆定理，先通过三边长度关系判定直角三角形，再利用勾股定理计算未知线段长度，熟练掌握常见勾股数可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知△ABD的三边长，5、12、13是常见勾股数，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，确定∠ADB的度数；若得到∠ADB为直角，则∠ADC也为直角，此时在Rt△ADC中，已知AD和AC的长度，就可以用勾股定理求出DC的长，最后BC的长等于BD与DC的长度之和。
【解析】
解：在△ABD中，
∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，
$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
∴$∠ ADC=180° - ∠ ADB=90°$，
在Rt△ADC中，AD=12，AC=15，
由勾股定理得：$DC^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$，
∴DC=9（线段长度为正数，舍去负根），
∴$BC = BD + DC = 5 + 9 = 14$。
【答案】
14
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是灵活运用勾股定理及其逆定理，先通过三边长度关系判定直角三角形，再利用勾股定理计算未知线段长度，熟练掌握常见勾股数可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$AB$的中点，$BE⊥ AC$，垂足为$E$.若$DE=\frac{5}{2}$，$BE=3$，则$BC$的长为
$\sqrt{10}$
.答案
4.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时可按三步推导：1. 由BE⊥AC可知△ABE是直角三角形，D是斜边AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可求出AB的长度，结合AB=AC即可得到AC的长度；2. 在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出CE=AC-AE；3. 在Rt△BEC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，△ABE是直角三角形。
∵D是AB的中点，
∴DE是Rt△ABE斜边的中线，
∴DE=½AB，
已知DE=5/2，
∴AB=2DE=2×5/2=5，
又
∵AB=AC，
∴AC=5。
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，由勾股定理得：
AE=√(AB²-BE²)=√(5²-3²)=√16=4，
∴CE=AC-AE=5-4=1。
在Rt△BEC中，BE=3，CE=1，由勾股定理得：
BC=√(BE²+CE²)=√(3²+1²)=√10。
【答案】
√10
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是基础综合题，解题关键是先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，再两次运用勾股定理逐步计算，理清图形中各线段的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步推导：1. 由BE⊥AC可知△ABE是直角三角形，D是斜边AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可求出AB的长度，结合AB=AC即可得到AC的长度；2. 在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出CE=AC-AE；3. 在Rt△BEC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，△ABE是直角三角形。
∵D是AB的中点，
∴DE是Rt△ABE斜边的中线，
∴DE=½AB，
已知DE=5/2，
∴AB=2DE=2×5/2=5，
又
∵AB=AC，
∴AC=5。
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，由勾股定理得：
AE=√(AB²-BE²)=√(5²-3²)=√16=4，
∴CE=AC-AE=5-4=1。
在Rt△BEC中，BE=3，CE=1，由勾股定理得：
BC=√(BE²+CE²)=√(3²+1²)=√10。
【答案】
√10
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是基础综合题，解题关键是先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，再两次运用勾股定理逐步计算，理清图形中各线段的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D是AB边上的一个动点,求线段CD的最小值. 
第5题图
第5题图答案
5.解:如答图,过点 A 作$AH⊥BC$于点 H.
$\because AB=AC=5,BC=6,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=3.$
在$\mathrm{Rt}△ABH$中,由勾股定理,得
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
由垂线段最短可知,当$CD⊥AB$时,线段 CD 的值最小,
此时$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AH$,
$\therefore 5CD=6×4,\therefore CD=\frac{24}{5}.$
第5题答图解析
【分析】
要确定线段CD的最小值，根据“垂线段最短”的性质，可知当CD垂直于AB时，CD的长度最小。求解该最小值可借助等面积法：首先△ABC是等腰三角形，可先作底边BC的高AH，利用等腰三角形三线合一求出BH的长度，再通过勾股定理算出AH的长度，得到△ABC的面积，最后根据三角形面积的两种不同表示形式（分别以BC、AB为底）列等式，即可求出CD的最小值。
【解析】
过点A作$AH⊥BC$于点H。
$\because AB=AC=5,BC=6,AH⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$中，由勾股定理，得
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$。
由垂线段最短可知，当$CD⊥AB$时，线段CD的长度最小。
此时$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC· AH$，因此有：
$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AH$，
代入数值化简得$5CD=6×4$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
线段CD的最小值为$\frac{24}{5}$。
第5题答图
【知识点】
垂线段最短，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的应用类题型，解题的关键是先确定CD取最小值的位置，再结合等腰三角形的性质与等面积法计算线段长度，能够有效考察学生对几何最值的判断能力和相关定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要确定线段CD的最小值，根据“垂线段最短”的性质，可知当CD垂直于AB时，CD的长度最小。求解该最小值可借助等面积法：首先△ABC是等腰三角形，可先作底边BC的高AH，利用等腰三角形三线合一求出BH的长度，再通过勾股定理算出AH的长度，得到△ABC的面积，最后根据三角形面积的两种不同表示形式（分别以BC、AB为底）列等式，即可求出CD的最小值。
【解析】
过点A作$AH⊥BC$于点H。
$\because AB=AC=5,BC=6,AH⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$中，由勾股定理，得
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$。
由垂线段最短可知，当$CD⊥AB$时，线段CD的长度最小。
此时$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC· AH$，因此有：
$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AH$，
代入数值化简得$5CD=6×4$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
线段CD的最小值为$\frac{24}{5}$。
第5题答图【知识点】
垂线段最短，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的应用类题型，解题的关键是先确定CD取最小值的位置，再结合等腰三角形的性质与等面积法计算线段长度，能够有效考察学生对几何最值的判断能力和相关定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6.(2024·启东月考)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=5$，$AC=4$，则$BC$的长为 （
A.3
B.1
C.$\sqrt{41}$
D.$\sqrt{41}$或3
D
）A.3
B.1
C.$\sqrt{41}$
D.$\sqrt{41}$或3
答案
6.D
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用勾股定理求边长的问题，解题关键是注意题目未明确直角顶点，需分类讨论斜边的情况：首先明确直角三角形中斜边是最长边，因此斜边只能是BC或AB，分两种情况分别套用勾股定理计算BC的长度即可，AC=4小于AB=5，不可能为斜边，无需讨论该情况。
【解析】
由于$\mathrm{Rt}△ ABC$未指明哪个角为直角，需分两种情况讨论：
1. 当$AB$为斜边时，对应$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$；
2. 当$BC$为斜边时，对应$∠ A=90°$，根据勾股定理：
$BC^2=AB^2+AC^2$，代入数值可得：
$BC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$。
综上，$BC$的长为$\sqrt{41}$或3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认AB为斜边，仅计算出BC=3而漏解，解题时要注意：若直角三角形未明确给出直角顶点，需要结合边长关系，对可能的斜边情况进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形中利用勾股定理求边长的问题，解题关键是注意题目未明确直角顶点，需分类讨论斜边的情况：首先明确直角三角形中斜边是最长边，因此斜边只能是BC或AB，分两种情况分别套用勾股定理计算BC的长度即可，AC=4小于AB=5，不可能为斜边，无需讨论该情况。
【解析】
由于$\mathrm{Rt}△ ABC$未指明哪个角为直角，需分两种情况讨论：
1. 当$AB$为斜边时，对应$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$；
2. 当$BC$为斜边时，对应$∠ A=90°$，根据勾股定理：
$BC^2=AB^2+AC^2$，代入数值可得：
$BC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$。
综上，$BC$的长为$\sqrt{41}$或3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认AB为斜边，仅计算出BC=3而漏解，解题时要注意：若直角三角形未明确给出直角顶点，需要结合边长关系，对可能的斜边情况进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
