7.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是3和4，则正方形的边长是（）

A.5
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{3}$

7.A

【分析】
首先回忆正方形的性质：四边相等，内角为90°。已知点A、C到直线l的垂线，可得两个直角三角形。首先根据∠ABC=90°，可得∠ABM与∠CBN互余，再结合直角三角形两锐角互余，可推出∠MAB=∠CBN，进而证明△AMB和△BNC全等，得到BM的长度，最后在Rt△AMB中用勾股定理即可求出正方形边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∴∠ABM + ∠CBN = 90°
∵AM⊥直线l，CN⊥直线l
∴∠AMB=∠BNC=90°
∴∠ABM + ∠MAB = 90°
∴∠MAB=∠CBN
在△AMB和△BNC中：
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠BNC \\∠MAB=∠CBN \\AB=BC\end{array} $
∴△AMB≌△BNC（AAS）
∴BM=CN=4
已知AM=3，在Rt△AMB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2 + BM^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5$
即正方形的边长为5。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用同角的余角相等推导角相等，进而证明三角形全等，将已知的垂线段长度转化为直角三角形的直角边，再用勾股定理计算边长，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$B$出发,沿射线$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,当$t=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{s}$时,$△ ABP$为直角三角形.

8.$2或\frac{25}{8}$

【分析】
首先利用勾股定理求出$Rt△ ABC$中$BC$的长度。由于$△ ABP$为直角三角形时直角顶点不确定，需分两种情况讨论：①直角顶点为点$P$（即$∠ APB=90°$）；②直角顶点为点$A$（即$∠ BAP=90°$）。分别针对两种情况结合勾股定理列等式求解运动时间$t$即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5\mathrm{cm}$，$AC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
1. 当$∠ APB=90°$时，点$P$与点$C$重合，此时$BP=BC=4\mathrm{cm}$，
运动时间$t=\frac{4}{2}=2\mathrm{s}$；
2. 当$∠ BAP=90°$时，$BP=2t\mathrm{cm}$，则$CP=BP-BC=(2t-4)\mathrm{cm}$，
在$Rt△ ACP$中，$AP^2=AC^2+CP^2=3^2+(2t-4)^2$，
在$Rt△ ABP$中，$∠ BAP=90°$，由勾股定理得$AB^2+AP^2=BP^2$，
代入得：$5^2 + 3^2 + (2t-4)^2=(2t)^2$，
化简得：$25+9+4t^2-16t+16=4t^2$，
解得$t=\frac{25}{8}\mathrm{s}$。
综上，$t$的值为$2$或$\frac{25}{8}$。
【答案】
$2$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论，动点问题求解
【点评】
本题是动点结合直角三角形判定的典型题，解题关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，结合勾股定理建立方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6

在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长为。

9.14或4

【分析】
已知△ABC的两边AB、AC的长度以及高AD的长度，由于高AD的位置不确定，需分两种情况讨论：①高AD在锐角三角形内部；②高AD在钝角三角形外部。接下来分别在Rt△ABD和Rt△ACD中运用勾股定理计算BD、CD的长度，再结合两种情况的线段关系求出BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当△ABC为锐角三角形时，高AD在△ABC内部：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，
∴$BD=9$（线段长度为正）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=169-144=25$，
∴$CD=5$（线段长度为正）。
此时$BC=BD+CD=9+5=14$。
2. 当△ABC为钝角三角形时，高AD在△ABC外部（D在BC的延长线上）：
同理可得$BD=9$，$CD=5$，此时$BC=BD-CD=9-5=4$。
综上，BC的长为14或4。
【答案】
14或4
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅考虑锐角三角形的场景导致漏解，解题时要结合三角形的分类全面分析高的位置，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长。
【难度系数】
0.6

10.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠DCB=90°,E,F分别是BD,AC的中点,∠ADC=120°,EF=1,则AF的长为.

10.$\sqrt{3}$

【分析】
解题时先观察图形特征：存在两个直角三角形且有公共斜边BD，E是BD中点，优先运用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AE=CE，判断△AEC为等腰三角形；再结合F是AC中点，利用等腰三角形三线合一得到EF⊥AC。接下来通过角度关系推导∠AEC的度数，得到等腰△AEC的底角度数，最后在直角△AEF中利用30°角的性质和勾股定理即可求出AF的长度。
【解析】
连接AE、CE：
1. 推导边的关系：
∵∠BAD=∠DCB=90°，E是BD的中点，
∴在Rt△ABD中，$AE=\frac{1}{2}BD$；在Rt△BCD中，$CE=\frac{1}{2}BD$，
∴AE=CE，即△AEC是等腰三角形。
∵F是AC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得$EF⊥ AC$，即$∠ AFE=90°$。
2. 推导角的关系：
∵AE=DE，CE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，∠DCE=∠CDE，
∴$∠ AED=180°-2∠ ADE$，$∠ CED=180°-2∠ CDE$，
∴$∠ AEC=∠ AED+∠ CED=360°-2(∠ ADE+∠ CDE)$，
∵$∠ ADE+∠ CDE=∠ ADC=120°$，
∴$∠ AEC=360°-2×120°=120°$。
在等腰△AEC中，$∠ EAC=∠ ECA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 计算AF的长度：
在Rt△AEF中，$∠ EAF=30°$，EF=1，
∴AE=2EF=2（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心是通过连接辅助线构造特殊三角形，结合直角三角形、等腰三角形的性质推导边和角的关系，最后用勾股定理计算边长，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

11. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE⊥ AC$于点E，DF是$△ ABD$的中线，且$CE=2$，$DE=4$，$AE=8$.求DF的长. 第11题图

11.解:$\because DE⊥AC$于点E,$\therefore ∠AED=∠CED=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,由勾股定理,得$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$.同理$CD^2=20$,$\therefore AD^2+CD^2=100.$
$\because AC=AE+CE=8+2=10,\therefore AC^2=100,$
$\therefore AD^2+CD^2=AC^2,\therefore △ADC$是直角三角形,
$\therefore AD⊥BC.$
又$\because AD$是$△ABC$的中线,
$\therefore AD$垂直平分$BC$,$\therefore AB=AC=10.$
在$\mathrm{Rt}△ADB$中,$\because ∠ADB=90°$,F 是边 AB 的中点,
$\therefore DF=\frac{1}{2}AB=5.$

【分析】
要求DF的长，观察可知DF是△ABD的中线，若能证明△ABD为直角三角形，就可以利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解，具体思路如下：1. 先根据DE⊥AC，结合已知线段长度，用勾股定理计算$AD^2$和$CD^2$；2. 计算AC的长度，通过勾股定理的逆定理判断△ADC为直角三角形，得到AD⊥BC；3. 结合AD是△ABC的中线，得出AD垂直平分BC，因此AB=AC，得到AB的长度；4. 最后利用直角三角形斜边中线的性质求出DF的长度。
【解析】
∵ $DE⊥AC$于点E，
∴ $∠AED=∠CED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，由勾股定理得：
$CD^2=CE^2+DE^2=2^2+4^2=20$。
∴ $AD^2+CD^2=80+20=100$。
∵ $AC=AE+CE=8+2=10$，
∴ $AC^2=10^2=100$，
∴ $AD^2+CD^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，即$∠ADC=90°$，
∴ $AD⊥BC$。
又
∵ AD是$△ABC$的中线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ $AB=AC=10$。
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠ADB=90°$，F是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理及逆定理，直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线性质
【点评】
本题综合考查多个几何定理的应用，解题核心是先通过勾股定理及逆定理证明AD垂直BC，进而得到AB的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得出结果，要求学生能够熟练串联相关定理，具备基本的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

12. 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，若$∠ C=90°$，如图①，根据勾股定理，$a^2 + b^2 = c^2$。若$△ ABC$不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想$a^2 + b^2$与$c^2$的关系，并证明你的结论。

12.解:当$△ABC$是锐角三角形时,$a^2+b^2＞c^2$;当$△ABC$是钝角三角形时,$∠C$为钝角,$a^2+b^2＜c^2$.理由如下:
当$△ABC$是锐角三角形时,如答图①,过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为 D,设 CD 为 x,则$BD=a-x$.
由勾股定理,得$b^2-x^2=AD^2=c^2-(a-x)^2$,
即$b^2-x^2=c^2-a^2+2ax-x^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2+2ax.$
$\because a＞0,x＞0,\therefore 2ax＞0,\therefore a^2+b^2＞c^2.$
当$△ABC$是钝角三角形时,如答图②,过点 B 作$BD⊥AC$,交 AC 的延长线于点 D.
设 CD 为 x,则$BD^2=a^2-x^2.$
由勾股定理,得$(b+x)^2+a^2-x^2=c^2$,
即$a^2+b^2+2bx=c^2.$
$\because b＞0,x＞0,\therefore 2bx＞0,\therefore a^2+b^2＜c^2.$
第12题答图

【分析】
我们已经掌握直角三角形的勾股定理，要探究非直角三角形三边平方的关系，核心思路是通过作高将锐角、钝角三角形转化为熟悉的直角三角形，利用勾股定理建立等式，再结合边长为正的性质推导不等关系。具体分两类讨论：一是锐角三角形，过A作BC边上的高，以公共高为中间量列勾股定理等式，整理即可判断大小；二是∠C为钝角的钝角三角形，过B作AC延长线上的高，同样构造直角三角形列式推导即可得结论。
【解析】
分两种情况证明：
1. 当△ABC为锐角三角形时
如答图①，过点A作$AD⊥BC$，垂足为D，设$CD=x$，则$BD=a-x$。
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=b^2-x^2$；
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=c^2-(a-x)^2$。
联立等式得：$b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$
展开整理：$b^2-x^2=c^2-a^2+2ax-x^2$，消去$-x^2$后得$a^2+b^2=c^2+2ax$。
∵$a＞0,x＞0$，
∴$2ax＞0$，因此$a^2+b^2＞c^2$。
2. 当△ABC为钝角三角形且∠C为钝角时
如答图②，过点B作$BD⊥AC$，交AC的延长线于点D，设$CD=x$。
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：$BD^2=a^2-x^2$；
在$Rt△ABD$中，$AD=b+x$，由勾股定理得：$(b+x)^2+BD^2=c^2$。
将$BD^2=a^2-x^2$代入得：$(b+x)^2+a^2-x^2=c^2$
展开整理：$a^2+b^2+2bx=c^2$。
∵$b＞0,x＞0$，
∴$2bx＞0$，因此$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
当$△ ABC$是锐角三角形时，$a^2+b^2＞c^2$；当$△ ABC$是钝角三角形且$∠ C$为钝角时，$a^2+b^2＜c^2$。
第12题答图
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；不等式基本性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展探究题，通过作高将非直角三角形转化为直角三角形，借助勾股定理建立等量关系推导不等关系，渗透了类比、转化的数学思想，能有效考查学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6