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1. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，$∠ ACB=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 （
A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.3 cm
A
）A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.3 cm
答案
1.A
解析
【分析】
遇到折叠类问题，首先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题要求CE的长度，已知AC的长度，只需先求出AE的长度，即可通过CE=AE-AC计算结果。AE是AB折叠后的对应边，故AE=AB，而AB是Rt△ABC的斜边，可通过勾股定理求出，按此思路逐步推导即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$。
根据折叠的性质，点B折叠后落在E处，故对应边$AE=AB=5\ \mathrm{cm}$。
∵点E在AC的延长线上，
∴$CE=AE-AC=5-4=1\ \mathrm{cm}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理与折叠结合的基础题型，解题核心是利用折叠性质找到相等的线段，再结合勾股定理求解未知线段，是几何部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
遇到折叠类问题，首先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题要求CE的长度，已知AC的长度，只需先求出AE的长度，即可通过CE=AE-AC计算结果。AE是AB折叠后的对应边，故AE=AB，而AB是Rt△ABC的斜边，可通过勾股定理求出，按此思路逐步推导即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$。
根据折叠的性质，点B折叠后落在E处，故对应边$AE=AB=5\ \mathrm{cm}$。
∵点E在AC的延长线上，
∴$CE=AE-AC=5-4=1\ \mathrm{cm}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理与折叠结合的基础题型，解题核心是利用折叠性质找到相等的线段，再结合勾股定理求解未知线段，是几何部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
2.(吴江区月考)如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则$△ ABE$的面积为 (
A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$12\ \mathrm{cm}^2$
C
)A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$12\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道折叠与勾股定理结合的计算题，解题思路如下：第一步先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得BE=DE；第二步观察△ABE是直角三角形，∠A为直角，已知AB长度，只要算出AE的长度就能求面积；第三步结合AD=9cm，可知AE+DE=AE+BE=9cm，设AE为未知数，利用勾股定理列方程求解AE，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=90°，AD=9cm
由折叠的性质可得：BE=DE
设AE的长为x cm，则DE=BE=(9-x)cm
在Rt△ABE中，根据勾股定理：$AB^2 + AE^2 = BE^2$
代入AB=3cm，得：
$3^2 + x^2 = (9-x)^2$
展开得：$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$
消去$x^2$，整理得：$18x = 72$
解得：$x=4$，即AE=4cm
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类的基础计算题，核心是利用折叠的性质转化相等的线段，再通过勾股定理建立方程求解未知线段，是勾股定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠与勾股定理结合的计算题，解题思路如下：第一步先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得BE=DE；第二步观察△ABE是直角三角形，∠A为直角，已知AB长度，只要算出AE的长度就能求面积；第三步结合AD=9cm，可知AE+DE=AE+BE=9cm，设AE为未知数，利用勾股定理列方程求解AE，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=90°，AD=9cm
由折叠的性质可得：BE=DE
设AE的长为x cm，则DE=BE=(9-x)cm
在Rt△ABE中，根据勾股定理：$AB^2 + AE^2 = BE^2$
代入AB=3cm，得：
$3^2 + x^2 = (9-x)^2$
展开得：$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$
消去$x^2$，整理得：$18x = 72$
解得：$x=4$，即AE=4cm
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类的基础计算题，核心是利用折叠的性质转化相等的线段，再通过勾股定理建立方程求解未知线段，是勾股定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，实线部分是由$\mathrm{Rt}△ ABC$经过两次折叠得到的，首先将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿$BD$折叠，使点$C$落在斜边上的点$C'$处，再沿$DE$折叠，使点$A$落在$DC'$的延长线上的点$A'$处.已知$∠ C=90°$，$DE=3\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，则$DC'$的长为________.
答案
3.$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等、对应边相等。首先根据两次折叠的角度关系，推导得出∠EDB为直角，确定△EDB是直角三角形，用勾股定理算出斜边EB的长度；再观察发现DC'是Rt△EDB斜边EB上的高，利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出DC'的长度。
【解析】
由折叠的性质可得：
1. 第一次沿BD折叠：$∠ BDC=∠ BDC'$，$DC=DC'$，$∠ BC'D=∠ C=90°$，即$DC'⊥ EB$；
2. 第二次沿DE折叠：$∠ ADE=∠ A'DE$。
∵ $∠ ADE+∠ A'DE+∠ BDC+∠ BDC'=180°$，
∴ $2(∠ A'DE+∠ BDC')=180°$，即$∠ A'DE+∠ BDC'=90°$，
∴ $∠ EDB=90°$，△EDB为直角三角形。
在Rt△EDB中，$DE=3\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
设$DC'$的长为$x\ \mathrm{cm}$，△EDB的面积可表示为两种形式：
$S_{△ EDB}=\frac{1}{2}× DE× BD=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$，
同时$S_{△ EDB}=\frac{1}{2}× EB× DC'=\frac{1}{2}×5× x$，
∴ $\frac{1}{2}×5x=6$，解得$x=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，解题核心是灵活运用折叠的性质推导角的关系，结合勾股定理和面积法求解，不需要复杂的辅助线，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
解题时先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等、对应边相等。首先根据两次折叠的角度关系，推导得出∠EDB为直角，确定△EDB是直角三角形，用勾股定理算出斜边EB的长度；再观察发现DC'是Rt△EDB斜边EB上的高，利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出DC'的长度。
【解析】
由折叠的性质可得：
1. 第一次沿BD折叠：$∠ BDC=∠ BDC'$，$DC=DC'$，$∠ BC'D=∠ C=90°$，即$DC'⊥ EB$；
2. 第二次沿DE折叠：$∠ ADE=∠ A'DE$。
∵ $∠ ADE+∠ A'DE+∠ BDC+∠ BDC'=180°$，
∴ $2(∠ A'DE+∠ BDC')=180°$，即$∠ A'DE+∠ BDC'=90°$，
∴ $∠ EDB=90°$，△EDB为直角三角形。
在Rt△EDB中，$DE=3\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
设$DC'$的长为$x\ \mathrm{cm}$，△EDB的面积可表示为两种形式：
$S_{△ EDB}=\frac{1}{2}× DE× BD=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$，
同时$S_{△ EDB}=\frac{1}{2}× EB× DC'=\frac{1}{2}×5× x$，
∴ $\frac{1}{2}×5x=6$，解得$x=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，解题核心是灵活运用折叠的性质推导角的关系，结合勾股定理和面积法求解，不需要复杂的辅助线，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
4.如图，正方形纸片ABCD的边长为10 cm，点P在边BC上，BP=4 cm，折叠纸片使点A落在点P处，折痕为MN，则AM的长是
$\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
。答案
4.$\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解决这道题首先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等，可得AM=PM。我们可以设AM的长度为未知数，将线段BM用含未知数的式子表示，再结合正方形内角为直角的性质，把相关线段放到直角三角形PBM中，利用勾股定理列方程即可求出AM的长度。
【解析】
设AM的长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 折叠纸片使点A落在点P处，折痕为MN，
∴ 根据折叠的性质，$PM = AM = x\ \mathrm{cm}$。
∵ 正方形ABCD的边长为10 cm，
∴ $AB = 10\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 90°$，
∴ $BM = AB - AM = (10 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBM$中，由勾股定理得：$PB^2 + BM^2 = PM^2$，
已知$BP = 4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$
展开计算：
$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
消去$x^2$整理得：$20x = 116$
解得：$x = \frac{29}{5}$
【答案】
$\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；正方形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用折叠性质转化相等线段，再将待求线段和已知线段放入同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，是几何求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等，可得AM=PM。我们可以设AM的长度为未知数，将线段BM用含未知数的式子表示，再结合正方形内角为直角的性质，把相关线段放到直角三角形PBM中，利用勾股定理列方程即可求出AM的长度。
【解析】
设AM的长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 折叠纸片使点A落在点P处，折痕为MN，
∴ 根据折叠的性质，$PM = AM = x\ \mathrm{cm}$。
∵ 正方形ABCD的边长为10 cm，
∴ $AB = 10\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 90°$，
∴ $BM = AB - AM = (10 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBM$中，由勾股定理得：$PB^2 + BM^2 = PM^2$，
已知$BP = 4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$
展开计算：
$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
消去$x^2$整理得：$20x = 116$
解得：$x = \frac{29}{5}$
【答案】
$\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；正方形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用折叠性质转化相等线段，再将待求线段和已知线段放入同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，是几何求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,D$为$AB$上一点,沿$CD$折叠$△ ABC$,点$A$恰好落在边$BC$上的点$A'$处,$AB=4,AC=3$,则$BD$的长为
$\frac{5}{2}$
.答案
5.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
遇到折叠类问题首先考虑折叠前后对应边、对应角相等的性质，解题步骤如下：第一步，先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边BC的长度；第二步，根据折叠性质得到A'C=AC、A'D=AD、∠CA'D=∠A=90°，进而求出A'B的长度；第三步，设BD为未知数，将AD（即A'D）、A'B、BD都用含未知数的式子表示，把这三条边转化到Rt△A'BD中，利用勾股定理列方程求解即可得到BD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=3$，$AB=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由折叠的性质可得：$A'C=AC=3$，$A'D=AD$，$∠ CA'D=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ DA'B=180°-∠ CA'D=90°$，$A'B=BC-A'C=5-3=2$
设$BD=x$，则$A'D=AD=AB-BD=4-x$，
在$Rt△ A'BD$中，由勾股定理得：$A'D^2+A'B^2=BD^2$，
代入得：$(4-x)^2+2^2=x^2$
展开化简：$16-8x+x^2+4=x^2$
$20-8x=0$
解得$x=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题核心是利用折叠的性质转化相等线段，将未知量和已知量集中到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，属于几何基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类问题首先考虑折叠前后对应边、对应角相等的性质，解题步骤如下：第一步，先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边BC的长度；第二步，根据折叠性质得到A'C=AC、A'D=AD、∠CA'D=∠A=90°，进而求出A'B的长度；第三步，设BD为未知数，将AD（即A'D）、A'B、BD都用含未知数的式子表示，把这三条边转化到Rt△A'BD中，利用勾股定理列方程求解即可得到BD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=3$，$AB=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由折叠的性质可得：$A'C=AC=3$，$A'D=AD$，$∠ CA'D=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ DA'B=180°-∠ CA'D=90°$，$A'B=BC-A'C=5-3=2$
设$BD=x$，则$A'D=AD=AB-BD=4-x$，
在$Rt△ A'BD$中，由勾股定理得：$A'D^2+A'B^2=BD^2$，
代入得：$(4-x)^2+2^2=x^2$
展开化简：$16-8x+x^2+4=x^2$
$20-8x=0$
解得$x=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题核心是利用折叠的性质转化相等线段，将未知量和已知量集中到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，属于几何基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
6.如图,将长方形纸片ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,则AE的长是
$\frac{4}{3}$
.答案
6.$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时先结合长方形的性质得到各边长度和直角条件，再利用折叠前后对应边相等的性质，得到CF=BC、EF=BE的等量关系；先在Rt△CDF中用勾股定理算出DF的长度，进一步得到AF的长度；最后设AE的长为x，用含x的式子表示EF，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，
由折叠的性质可得：△CBE≌△CFE，
∴CF=BC=5，EF=BE，
在Rt△CDF中，根据勾股定理：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$AF=AD-DF=5-4=1$，
设AE=x，则$BE=3-x$，即$EF=3-x$，
在Rt△AEF中，根据勾股定理：$AE^2+AF^2=EF^2$，
代入得：$x^2+1^2=(3-x)^2$，
展开计算：$x^2+1=9-6x+x^2$，
化简得：$6x=8$，
解得：$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是折叠问题的常考题型，核心是通过折叠的性质转化相等线段，再结合勾股定理构造方程求解，能有效考查学生对几何性质的应用能力和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时先结合长方形的性质得到各边长度和直角条件，再利用折叠前后对应边相等的性质，得到CF=BC、EF=BE的等量关系；先在Rt△CDF中用勾股定理算出DF的长度，进一步得到AF的长度；最后设AE的长为x，用含x的式子表示EF，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，
由折叠的性质可得：△CBE≌△CFE，
∴CF=BC=5，EF=BE，
在Rt△CDF中，根据勾股定理：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$AF=AD-DF=5-4=1$，
设AE=x，则$BE=3-x$，即$EF=3-x$，
在Rt△AEF中，根据勾股定理：$AE^2+AF^2=EF^2$，
代入得：$x^2+1^2=(3-x)^2$，
展开计算：$x^2+1=9-6x+x^2$，
化简得：$6x=8$，
解得：$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是折叠问题的常考题型，核心是通过折叠的性质转化相等线段，再结合勾股定理构造方程求解，能有效考查学生对几何性质的应用能力和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
7.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,求CD的长.
答案
7.解:根据题意,得 $DB=AD$.
设 $CD=x\ \mathrm{cm}$,则 $AD=DB=(8-x)\mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,根据勾股定理,得 $AD^2-CD^2=AC^2$,
即 $(8-x)^2-x^2=36$,解得 $x=\frac{7}{4}$.
即 $CD$ 的长是 $\frac{7}{4}\ \mathrm{cm}$.
设 $CD=x\ \mathrm{cm}$,则 $AD=DB=(8-x)\mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,根据勾股定理,得 $AD^2-CD^2=AC^2$,
即 $(8-x)^2-x^2=36$,解得 $x=\frac{7}{4}$.
即 $CD$ 的长是 $\frac{7}{4}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
遇到折叠类几何计算问题，首先利用折叠的性质找到相等的线段：本题折叠后点B与点A重合，可得AD=BD。要求CD的长度，观察到CD在Rt△ACD中，已知AC=6cm，只需将AD用含CD的代数式表示，即可结合勾股定理列方程求解。我们可以设CD为x cm，那么BD=BC-CD=(8-x)cm，即AD=(8-x)cm，代入Rt△ACD的勾股定理公式即可解方程得到x的值。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$AD=DB$。
设 $CD=x\ \mathrm{cm}$，则 $AD=DB=BC-CD=(8-x)\mathrm{cm}$。
∵ $∠ C=90°$，在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，根据勾股定理，得 $AC^2+CD^2=AD^2$，即 $AD^2-CD^2=AC^2$，
代入数值：$(8-x)^2-x^2=6^2$，
展开计算：$64-16x+x^2-x^2=36$，
化简得：$64-16x=36$，
解得 $x=\frac{7}{4}$。
【答案】
$CD$ 的长是 $\frac{7}{4}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1.折叠的性质
2.勾股定理
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的基础题型，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，通过建立方程求解，这类方法是解决折叠类几何计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类几何计算问题，首先利用折叠的性质找到相等的线段：本题折叠后点B与点A重合，可得AD=BD。要求CD的长度，观察到CD在Rt△ACD中，已知AC=6cm，只需将AD用含CD的代数式表示，即可结合勾股定理列方程求解。我们可以设CD为x cm，那么BD=BC-CD=(8-x)cm，即AD=(8-x)cm，代入Rt△ACD的勾股定理公式即可解方程得到x的值。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$AD=DB$。
设 $CD=x\ \mathrm{cm}$，则 $AD=DB=BC-CD=(8-x)\mathrm{cm}$。
∵ $∠ C=90°$，在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，根据勾股定理，得 $AC^2+CD^2=AD^2$，即 $AD^2-CD^2=AC^2$，
代入数值：$(8-x)^2-x^2=6^2$，
展开计算：$64-16x+x^2-x^2=36$，
化简得：$64-16x=36$，
解得 $x=\frac{7}{4}$。
【答案】
$CD$ 的长是 $\frac{7}{4}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1.折叠的性质
2.勾股定理
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的基础题型，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，通过建立方程求解，这类方法是解决折叠类几何计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
