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8.如图,在长方形ABCD中,AB=5,AD=13,E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内点F处,连接DF,DF=12.
(1)求证:△ADF是直角三角形;
(2)求BE的长.
(1)求证:△ADF是直角三角形;
(2)求BE的长.
答案
8. (1)证明:根据折叠可知 $AB=AF=5$.
$\because AD=13,DF=12,12^2+5^2=13^2$,
即 $FD^2+AF^2=AD^2$,
$\therefore △ ADF$ 是直角三角形,且$∠ AFD=90°$.
(2)解:由折叠知$∠ AFE=∠ B=90°$,
由(1)知$∠ AFD=90°$,$\therefore ∠ DFE=180°$,
$\therefore D,F,E$ 三点在同一条直线上.
由折叠知$∠ AEF=∠ AEB$.
$\because AD// BC,\therefore ∠ AEB=∠ EAD,\therefore ∠ AEF=∠ EAD$,
$\therefore DE=AD=13,\therefore EF=DE-DF=13-12=1$,
$\therefore$ 由折叠知 $BE=EF=1$.
$\because AD=13,DF=12,12^2+5^2=13^2$,
即 $FD^2+AF^2=AD^2$,
$\therefore △ ADF$ 是直角三角形,且$∠ AFD=90°$.
(2)解:由折叠知$∠ AFE=∠ B=90°$,
由(1)知$∠ AFD=90°$,$\therefore ∠ DFE=180°$,
$\therefore D,F,E$ 三点在同一条直线上.
由折叠知$∠ AEF=∠ AEB$.
$\because AD// BC,\therefore ∠ AEB=∠ EAD,\therefore ∠ AEF=∠ EAD$,
$\therefore DE=AD=13,\therefore EF=DE-DF=13-12=1$,
$\therefore$ 由折叠知 $BE=EF=1$.
解析
【分析】
(1)要证明△ADF是直角三角形，优先选用勾股定理的逆定理，已知AD、DF的长度，只需得到AF的长度即可验证三边平方关系。由折叠性质可知折叠前后对应边相等，可得AF=AB=5，验证AF²+DF²是否等于AD²即可完成证明。
(2)求BE的长，由折叠性质可知BE=EF，因此只需算出EF的长度即可。首先结合折叠得到的∠AFE=90°和(1)中得到的∠AFD=90°，可推出D、F、E三点共线；再结合长方形对边平行的性质和折叠的对应角相等，推导得到∠AEF=∠EAD，即△ADE为等腰三角形，可得DE=AD=13，结合DF=12即可算出EF的长度，进而得到BE的长。
【解析】
(1)证明：根据折叠的性质可知，$AB=AF=5$。
$\because AD=13,DF=12$，
$\therefore AF^2+DF^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
即 $FD^2+AF^2=AD^2$，
$\therefore △ ADF$ 是直角三角形，且$∠ AFD=90°$。
(2)解：由折叠知$∠ AFE=∠ B=90°$，$BE=EF$，$∠ AEF=∠ AEB$，
由(1)知$∠ AFD=90°$，$\therefore ∠ AFD+∠ AFE=180°$，
$\therefore D,F,E$ 三点在同一条直线上。
$\because$ 四边形ABCD是长方形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ AEB=∠ EAD$，$\therefore ∠ AEF=∠ EAD$，
$\therefore DE=AD=13$，$\therefore EF=DE-DF=13-12=1$，
$\therefore BE=EF=1$。
【答案】
(1) 已证$△ ADF$是直角三角形；
(2) $BE$的长为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是折叠类几何的典型考法，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理逆定理和平行线的角度关系推导线段数量关系，侧重考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ADF是直角三角形，优先选用勾股定理的逆定理，已知AD、DF的长度，只需得到AF的长度即可验证三边平方关系。由折叠性质可知折叠前后对应边相等，可得AF=AB=5，验证AF²+DF²是否等于AD²即可完成证明。
(2)求BE的长，由折叠性质可知BE=EF，因此只需算出EF的长度即可。首先结合折叠得到的∠AFE=90°和(1)中得到的∠AFD=90°，可推出D、F、E三点共线；再结合长方形对边平行的性质和折叠的对应角相等，推导得到∠AEF=∠EAD，即△ADE为等腰三角形，可得DE=AD=13，结合DF=12即可算出EF的长度，进而得到BE的长。
【解析】
(1)证明：根据折叠的性质可知，$AB=AF=5$。
$\because AD=13,DF=12$，
$\therefore AF^2+DF^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
即 $FD^2+AF^2=AD^2$，
$\therefore △ ADF$ 是直角三角形，且$∠ AFD=90°$。
(2)解：由折叠知$∠ AFE=∠ B=90°$，$BE=EF$，$∠ AEF=∠ AEB$，
由(1)知$∠ AFD=90°$，$\therefore ∠ AFD+∠ AFE=180°$，
$\therefore D,F,E$ 三点在同一条直线上。
$\because$ 四边形ABCD是长方形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ AEB=∠ EAD$，$\therefore ∠ AEF=∠ EAD$，
$\therefore DE=AD=13$，$\therefore EF=DE-DF=13-12=1$，
$\therefore BE=EF=1$。
【答案】
(1) 已证$△ ADF$是直角三角形；
(2) $BE$的长为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是折叠类几何的典型考法，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理逆定理和平行线的角度关系推导线段数量关系，侧重考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9.(张家港期中)如图,一张长方形纸片ABCD,AB=4,AD=9.点F在这张长方形纸片的边BC上,将纸片折叠,使FB落在射线FD上,折痕为GF,点A,B分别落在点A',B'处.
(1)若∠ADF=40°,则∠DGF的度数为
(2)若AG=$\frac{7}{3}$,求B'D的长.
(1)若∠ADF=40°,则∠DGF的度数为
$70°$
;(2)若AG=$\frac{7}{3}$,求B'D的长.
答案
9. (1)$70°$
(2)解:$\because AG=\frac{7}{3},AD=9,\therefore GD=9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,
$\therefore AD// BC,BC=AD=9,\therefore ∠ DGF=∠ BFG$.
由翻折不变性可知,$∠ BFG=∠ DFG$,
$\therefore ∠ DFG=∠ DGF,\therefore DF=DG=\frac{20}{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\frac{16}{3}$,
$\therefore BF=BC-CF=9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$.
由翻折不变性,可知 $FB=FB'=\frac{11}{3}$,
$\therefore B'D=DF-FB'=\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$.
(2)解:$\because AG=\frac{7}{3},AD=9,\therefore GD=9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,
$\therefore AD// BC,BC=AD=9,\therefore ∠ DGF=∠ BFG$.
由翻折不变性可知,$∠ BFG=∠ DFG$,
$\therefore ∠ DFG=∠ DGF,\therefore DF=DG=\frac{20}{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\frac{16}{3}$,
$\therefore BF=BC-CF=9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$.
由翻折不变性,可知 $FB=FB'=\frac{11}{3}$,
$\therefore B'D=DF-FB'=\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$.
解析
【分析】
(1) 首先利用长方形对边平行的性质得到AD//BC，可得内错角∠ADF=∠DFC，进而求出∠BFD的度数；再根据折叠的性质可知折痕GF平分∠BFD，求出∠BFG的度数，最后再次利用AD//BC的内错角相等，即可求出∠DGF的度数。
(2) 第一步先根据AD、AG的长度求出GD的长度；第二步结合长方形对边平行的性质和折叠前后对应角相等的性质，推导得∠DGF=∠DFG，由等角对等边得到DF=GD；第三步在Rt△CDF中，利用勾股定理求出CF的长度，进而计算出BF的长度；第四步根据折叠前后对应边相等得FB'=BF，最后用DF减去FB'即可得到B'D的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC=40°，
∴∠BFD=180°-∠DFC=140°，
由折叠性质得：GF平分∠BFD，
∴∠BFG=$\frac{1}{2}$∠BFD=70°，
又
∵AD//BC，
∴∠DGF=∠BFG=70°。
(2)
∵AG=$\frac{7}{3}$，AD=9，
∴GD=$9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，BC=AD=9，CD=AB=4，
∴∠DGF=∠BFG。
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG=$\frac{20}{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理，得 $CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}=\frac{16}{3}$，
∴$BF=BC-CF=9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$。
由翻折不变性，可知 $FB=FB'=\frac{11}{3}$，
∴$B'D=DF-FB'=\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$。
【答案】
(1)$70°$；(2)$3$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何折叠类的常考题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等、对应边相等的不变性，结合平行线性质推导边的关系，再利用勾股定理计算线段长度，考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用长方形对边平行的性质得到AD//BC，可得内错角∠ADF=∠DFC，进而求出∠BFD的度数；再根据折叠的性质可知折痕GF平分∠BFD，求出∠BFG的度数，最后再次利用AD//BC的内错角相等，即可求出∠DGF的度数。
(2) 第一步先根据AD、AG的长度求出GD的长度；第二步结合长方形对边平行的性质和折叠前后对应角相等的性质，推导得∠DGF=∠DFG，由等角对等边得到DF=GD；第三步在Rt△CDF中，利用勾股定理求出CF的长度，进而计算出BF的长度；第四步根据折叠前后对应边相等得FB'=BF，最后用DF减去FB'即可得到B'D的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC=40°，
∴∠BFD=180°-∠DFC=140°，
由折叠性质得：GF平分∠BFD，
∴∠BFG=$\frac{1}{2}$∠BFD=70°，
又
∵AD//BC，
∴∠DGF=∠BFG=70°。
(2)
∵AG=$\frac{7}{3}$，AD=9，
∴GD=$9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，BC=AD=9，CD=AB=4，
∴∠DGF=∠BFG。
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG=$\frac{20}{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理，得 $CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}=\frac{16}{3}$，
∴$BF=BC-CF=9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$。
由翻折不变性，可知 $FB=FB'=\frac{11}{3}$，
∴$B'D=DF-FB'=\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$。
【答案】
(1)$70°$；(2)$3$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何折叠类的常考题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等、对应边相等的不变性，结合平行线性质推导边的关系，再利用勾股定理计算线段长度，考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长;
(3)求△FEC的面积.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长;
(3)求△FEC的面积.
答案
10. (1)证明:$\because △ AFE$ 是由 $△ ADE$ 折叠得到的,
$\therefore AF=AD,∠ AFE=∠ D=∠ AFG=90°$.
又$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=AD,∠ B=∠ D$,
$\therefore AB=AF,∠ B=∠ AFG=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 中,$\begin{cases} AB=AF, \\ AG=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABG≌\mathrm{Rt}△ AFG(\mathrm{HL})$.
(2)解:$\because$ 在正方形 $ABCD$ 中,$AB=6,CD=3DE$,
$\therefore EF=DE=\frac{1}{3}CD=2,CE=CD-DE=4$.
$\because △ ABG≌△ AFG,\therefore BG=FG$.
设 $BG=FG=x$,则 $CG=6-x,EG=2+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,根据勾股定理,得
$(6-x)^2+4^2=(x+2)^2$,解得 $x=3$,
$\therefore BG=3$.
(3)解:由(2)知 $EF=2,BG=FG=3$,
$\therefore EG=EF+FG=5,CG=BC-BG=3$,
$\therefore S_{△ CEG}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}×3×4=6$,
$\therefore S_{△ FEC}=\frac{2}{5}S_{△ CEG}=\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}$.
$\therefore AF=AD,∠ AFE=∠ D=∠ AFG=90°$.
又$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=AD,∠ B=∠ D$,
$\therefore AB=AF,∠ B=∠ AFG=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 中,$\begin{cases} AB=AF, \\ AG=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABG≌\mathrm{Rt}△ AFG(\mathrm{HL})$.
(2)解:$\because$ 在正方形 $ABCD$ 中,$AB=6,CD=3DE$,
$\therefore EF=DE=\frac{1}{3}CD=2,CE=CD-DE=4$.
$\because △ ABG≌△ AFG,\therefore BG=FG$.
设 $BG=FG=x$,则 $CG=6-x,EG=2+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,根据勾股定理,得
$(6-x)^2+4^2=(x+2)^2$,解得 $x=3$,
$\therefore BG=3$.
(3)解:由(2)知 $EF=2,BG=FG=3$,
$\therefore EG=EF+FG=5,CG=BC-BG=3$,
$\therefore S_{△ CEG}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}×3×4=6$,
$\therefore S_{△ FEC}=\frac{2}{5}S_{△ CEG}=\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}$.
解析
【分析】
(1) 证明三角形全等先找对应边、对应角相等：先根据折叠性质得到AF=AD、∠AFE=90°，再结合正方形四边相等、四个角为直角的性质，可得AB=AF，∠B=∠AFG=90°，两个直角三角形有公共斜边AG，用HL定理即可证明全等。
(2) 求线段长度可借助勾股定理列方程：先根据CD=3DE算出DE、CE的长度，结合折叠和全等结论可得EF=DE，BG=FG，设BG为x，用x表示出CG和EG的长度，在Rt△ECG中代入勾股定理列方程，解方程即可得到BG的长。
(3) 求三角形面积可利用同高三角形的面积关系：先算出△CEG的面积，△FEC和△CEG共顶点C、底边在同一直线EG上，二者同高，面积比等于底EF与EG的比，代入计算即可得到△FEC的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because △AFE$是由$△ADE$折叠得到的，
$\therefore AF=AD,∠AFE=∠D=∠AFG=90°$。
又$\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=AD,∠B=∠D=90°$，
$\therefore AB=AF,∠B=∠AFG=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABG$和$\mathrm{Rt}△AFG$中，$\begin{cases} AB=AF, \\ AG=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABG≌\mathrm{Rt}△AFG(\mathrm{HL})$。
(2) 解：$\because$在正方形ABCD中，$AB=6,CD=3DE$，
$\therefore EF=DE=\frac{1}{3}CD=2,CE=CD-DE=6-2=4$。
$\because △ABG≌△AFG,\therefore BG=FG$。
设$BG=FG=x$，则$CG=BC-BG=6-x,EG=EF+FG=2+x$。
在$\mathrm{Rt}△ECG$中，根据勾股定理，得
$(6-x)^2+4^2=(x+2)^2$，
展开得$36-12x+x^2+16=x^2+4x+4$，
移项合并同类项得$16x=48$，
解得$x=3$，
$\therefore BG=3$。
(3) 解：由(2)知$EF=2,BG=FG=3$，
$\therefore EG=EF+FG=2+3=5,CG=BC-BG=6-3=3$，
$\therefore S_{△CEG}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}×3×4=6$，
$\because △FEC$和$△CEG$同高，面积比等于底的比$EF:EG=2:5$，
$\therefore S_{△FEC}=\frac{2}{5}S_{△CEG}=\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\mathrm{Rt}△ABG≌\mathrm{Rt}△AFG$得证；
(2) $BG=3$；
(3) $S_{△FEC}=\frac{12}{5}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何综合题，结合了正方形、全等三角形、勾股定理等知识点，既考查基础性质的运用，也考查方程思想、转化思想在几何计算中的应用，是该类题型的典型代表。
【难度系数】
0.6
(1) 证明三角形全等先找对应边、对应角相等：先根据折叠性质得到AF=AD、∠AFE=90°，再结合正方形四边相等、四个角为直角的性质，可得AB=AF，∠B=∠AFG=90°，两个直角三角形有公共斜边AG，用HL定理即可证明全等。
(2) 求线段长度可借助勾股定理列方程：先根据CD=3DE算出DE、CE的长度，结合折叠和全等结论可得EF=DE，BG=FG，设BG为x，用x表示出CG和EG的长度，在Rt△ECG中代入勾股定理列方程，解方程即可得到BG的长。
(3) 求三角形面积可利用同高三角形的面积关系：先算出△CEG的面积，△FEC和△CEG共顶点C、底边在同一直线EG上，二者同高，面积比等于底EF与EG的比，代入计算即可得到△FEC的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because △AFE$是由$△ADE$折叠得到的，
$\therefore AF=AD,∠AFE=∠D=∠AFG=90°$。
又$\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=AD,∠B=∠D=90°$，
$\therefore AB=AF,∠B=∠AFG=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABG$和$\mathrm{Rt}△AFG$中，$\begin{cases} AB=AF, \\ AG=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABG≌\mathrm{Rt}△AFG(\mathrm{HL})$。
(2) 解：$\because$在正方形ABCD中，$AB=6,CD=3DE$，
$\therefore EF=DE=\frac{1}{3}CD=2,CE=CD-DE=6-2=4$。
$\because △ABG≌△AFG,\therefore BG=FG$。
设$BG=FG=x$，则$CG=BC-BG=6-x,EG=EF+FG=2+x$。
在$\mathrm{Rt}△ECG$中，根据勾股定理，得
$(6-x)^2+4^2=(x+2)^2$，
展开得$36-12x+x^2+16=x^2+4x+4$，
移项合并同类项得$16x=48$，
解得$x=3$，
$\therefore BG=3$。
(3) 解：由(2)知$EF=2,BG=FG=3$，
$\therefore EG=EF+FG=2+3=5,CG=BC-BG=6-3=3$，
$\therefore S_{△CEG}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}×3×4=6$，
$\because △FEC$和$△CEG$同高，面积比等于底的比$EF:EG=2:5$，
$\therefore S_{△FEC}=\frac{2}{5}S_{△CEG}=\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\mathrm{Rt}△ABG≌\mathrm{Rt}△AFG$得证；
(2) $BG=3$；
(3) $S_{△FEC}=\frac{12}{5}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何综合题，结合了正方形、全等三角形、勾股定理等知识点，既考查基础性质的运用，也考查方程思想、转化思想在几何计算中的应用，是该类题型的典型代表。
【难度系数】
0.6
