8.如图,在长方形ABCD中,AB=5,AD=13,E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内点F处,连接DF,DF=12.
(1)求证:△ADF是直角三角形;
(2)求BE的长.

8. (1)证明:根据折叠可知 $AB=AF=5$.
$\because AD=13,DF=12,12^2+5^2=13^2$,
即 $FD^2+AF^2=AD^2$,
$\therefore △ ADF$ 是直角三角形,且$∠ AFD=90°$.
(2)解:由折叠知$∠ AFE=∠ B=90°$,
由(1)知$∠ AFD=90°$,$\therefore ∠ DFE=180°$,
$\therefore D,F,E$ 三点在同一条直线上.
由折叠知$∠ AEF=∠ AEB$.
$\because AD// BC,\therefore ∠ AEB=∠ EAD,\therefore ∠ AEF=∠ EAD$,
$\therefore DE=AD=13,\therefore EF=DE-DF=13-12=1$,
$\therefore$ 由折叠知 $BE=EF=1$.

9.(张家港期中)如图,一张长方形纸片ABCD,AB=4,AD=9.点F在这张长方形纸片的边BC上,将纸片折叠,使FB落在射线FD上,折痕为GF,点A,B分别落在点A',B'处.
(1)若∠ADF=40°,则∠DGF的度数为;
(2)若AG=$\frac{7}{3}$,求B'D的长.

9. (1)$70°$
(2)解:$\because AG=\frac{7}{3},AD=9,\therefore GD=9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,
$\therefore AD// BC,BC=AD=9,\therefore ∠ DGF=∠ BFG$.
由翻折不变性可知,$∠ BFG=∠ DFG$,
$\therefore ∠ DFG=∠ DGF,\therefore DF=DG=\frac{20}{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\frac{16}{3}$,
$\therefore BF=BC-CF=9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$.
由翻折不变性,可知 $FB=FB'=\frac{11}{3}$,
$\therefore B'D=DF-FB'=\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$.

10.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长;
(3)求△FEC的面积.

10. (1)证明:$\because △ AFE$ 是由 $△ ADE$ 折叠得到的,
$\therefore AF=AD,∠ AFE=∠ D=∠ AFG=90°$.
又$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=AD,∠ B=∠ D$,
$\therefore AB=AF,∠ B=∠ AFG=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 中,$\begin{cases} AB=AF, \\ AG=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABG≌\mathrm{Rt}△ AFG(\mathrm{HL})$.
(2)解:$\because$ 在正方形 $ABCD$ 中,$AB=6,CD=3DE$,
$\therefore EF=DE=\frac{1}{3}CD=2,CE=CD-DE=4$.
$\because △ ABG≌△ AFG,\therefore BG=FG$.
设 $BG=FG=x$,则 $CG=6-x,EG=2+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,根据勾股定理,得
$(6-x)^2+4^2=(x+2)^2$,解得 $x=3$,
$\therefore BG=3$.
(3)解:由(2)知 $EF=2,BG=FG=3$,
$\therefore EG=EF+FG=5,CG=BC-BG=3$,
$\therefore S_{△ CEG}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}×3×4=6$,
$\therefore S_{△ FEC}=\frac{2}{5}S_{△ CEG}=\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}$.