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1.阅读教材“数学探究 探寻‘勾股数’”的材料,回答下列问题:
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数?
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2 + b^2 = c^2$的过程;
(2)如果满足等式$a^2 + b^2 = c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,求证:$2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,求空白部分的面积;
(4)请写出任意一组含有85的勾股数;
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2 + 4n + 4$($n$为任意正整数)表示勾股数中最大的数,求另外两个数的表达式.
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数?
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2 + b^2 = c^2$的过程;
(2)如果满足等式$a^2 + b^2 = c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,求证:$2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,求空白部分的面积;
(4)请写出任意一组含有85的勾股数;
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2 + 4n + 4$($n$为任意正整数)表示勾股数中最大的数,求另外两个数的表达式.
答案
1.(1)解:如答图所示.
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△MFG}+S_{△ANG}$
$=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=a^2+b^2+ab.$
又$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ABC}+S_{△CEF}$
$=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=c^2+ab.$
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2.$
(2)证明:$\because (2mn)^2=4m^2n^2,(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2,$
$\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2=(m^2+n^2)^2.$
$\because m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)解:$\because a=4,b=8$,由(1)可知$S_{五边形ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$,
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$,
$\therefore$图中空白部分的面积为$112-4×16=48$.
(4)解:85,3612,3613(答案不唯一).求解过程如下：
不妨假设$m^2-n^2=85$,$m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore (m+n)(m-n)=85=1×85=5×17.$
①当$\begin{cases}m+n=85,\\m-n=1\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=43,\\n=42,\end{cases}$
$\therefore 2mn=3612,m^2+n^2=3613,$
$\therefore 85,3612,3613$是一组勾股数；
②当$\begin{cases}m+n=17,\\m-n=5\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=11,\\n=6,\end{cases}$
$\therefore 2mn=132,m^2+n^2=157,$
$\therefore 85,132,157$是一组勾股数.
(5)解:$\because (2n^2+4n+4)^2$
$=4n^4+16n^2+16+16n^3+16n^2+32n$
$=(4n^4+16n^3+16n^2)+(16n^2+32n+16)$
$=(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2,$
$\therefore$另外两个数的表达式分别为$2n^2+4n$,$4n+4$.
解析
【分析】
本题围绕勾股定理及勾股数展开，各小问解题思路如下：
(1) 采用面积法，将五边形ABEFG分别拆分为“两个正方形+两个小直角三角形”和“一个正方形+两个小直角三角形”两种组合，分别计算面积后令其相等，消去相同项即可推导出勾股定理；
(2) 要证明三个数是勾股数，先验证较小两个数的平方和等于最大数的平方，再证明三个数均为正整数即可；
(3) 先代入a、b的值求出五边形总面积，再求出单个阴影直角三角形的面积，用总面积减去4个阴影三角形的面积即可得到空白部分面积；
(4) 利用勾股数的构造公式，将85对应到$m^2-n^2$，对85因式分解后求解m、n，即可得到对应勾股数；
(5) 将给出的最大数的表达式平方，通过代数变形拆成两个整式的平方和，这两个整式就是另外两个勾股数的表达式。
【解析】
(1) 如答图所示.
方法一：将五边形拆分为两个正方形和两个小直角三角形，面积为：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△MFG}+S_{△ANG}$
$=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=a^2+b^2+ab$
方法二：将五边形拆分为一个正方形和两个小直角三角形，面积为：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ABC}+S_{△CEF}$
$=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=c^2+ab$
同一图形面积相等，因此$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，消去ab得$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 先计算平方关系：
$(2mn)^2=4m^2n^2$，$(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$
两式相加得：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$
$\because m,n$是正整数且$m＞n$，$\therefore 2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$均为正整数，因此三个数是勾股数。
(3) 代入$a=4,b=8$，得五边形面积：
$S_{五边形ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$
单个阴影三角形面积$S_{△}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$，共4个全等的阴影三角形，因此空白部分面积为：
$112-4×16=48$
(4) 令$m^2-n^2=85$，则$(m+n)(m-n)=85$，85的正整数因式分解有两种情况：
① $\begin{cases}m+n=85\\m-n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=43\\n=42\end{cases}$，得勾股数85,3612,3613；
② $\begin{cases}m+n=17\\m-n=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=11\\n=6\end{cases}$，得勾股数85,132,157。（任选一组即可）
(5) 展开最大数的平方：
$(2n^2+4n+4)^2=4n^4+16n^3+32n^2+32n+16$
拆分为两个平方和：
$=(4n^4+16n^3+16n^2)+(16n^2+32n+16)=(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2$
因此另外两个勾股数为$2n^2+4n$和$4n+4$。
【答案】
(1) 推导过程见解析，得$a^2 + b^2 = c^2$；
(2) 证明见解析，$2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$是勾股数；
(3) $\boxed{48}$；
(4) 示例：$\boxed{85,132,157}$（答案不唯一）；
(5) $\boxed{2n^2+4n}$，$\boxed{4n+4}$。
【知识点】
勾股定理的证明，勾股数的判定，面积法求图形面积
【点评】
本题从勾股定理的面积验证出发，逐步延伸到勾股数的构造与应用，兼顾几何面积计算和代数变形能力的考察，难度逐层递进，有助于深化对勾股定理及勾股数的理解。
【难度系数】
0.6
本题围绕勾股定理及勾股数展开，各小问解题思路如下：
(1) 采用面积法，将五边形ABEFG分别拆分为“两个正方形+两个小直角三角形”和“一个正方形+两个小直角三角形”两种组合，分别计算面积后令其相等，消去相同项即可推导出勾股定理；
(2) 要证明三个数是勾股数，先验证较小两个数的平方和等于最大数的平方，再证明三个数均为正整数即可；
(3) 先代入a、b的值求出五边形总面积，再求出单个阴影直角三角形的面积，用总面积减去4个阴影三角形的面积即可得到空白部分面积；
(4) 利用勾股数的构造公式，将85对应到$m^2-n^2$，对85因式分解后求解m、n，即可得到对应勾股数；
(5) 将给出的最大数的表达式平方，通过代数变形拆成两个整式的平方和，这两个整式就是另外两个勾股数的表达式。
【解析】
(1) 如答图所示.
方法一：将五边形拆分为两个正方形和两个小直角三角形，面积为：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△MFG}+S_{△ANG}$
$=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=a^2+b^2+ab$
方法二：将五边形拆分为一个正方形和两个小直角三角形，面积为：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ABC}+S_{△CEF}$
$=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=c^2+ab$
同一图形面积相等，因此$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，消去ab得$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 先计算平方关系：
$(2mn)^2=4m^2n^2$，$(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$
两式相加得：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$
$\because m,n$是正整数且$m＞n$，$\therefore 2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$均为正整数，因此三个数是勾股数。
(3) 代入$a=4,b=8$，得五边形面积：
$S_{五边形ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$
单个阴影三角形面积$S_{△}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$，共4个全等的阴影三角形，因此空白部分面积为：
$112-4×16=48$
(4) 令$m^2-n^2=85$，则$(m+n)(m-n)=85$，85的正整数因式分解有两种情况：
① $\begin{cases}m+n=85\\m-n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=43\\n=42\end{cases}$，得勾股数85,3612,3613；
② $\begin{cases}m+n=17\\m-n=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=11\\n=6\end{cases}$，得勾股数85,132,157。（任选一组即可）
(5) 展开最大数的平方：
$(2n^2+4n+4)^2=4n^4+16n^3+32n^2+32n+16$
拆分为两个平方和：
$=(4n^4+16n^3+16n^2)+(16n^2+32n+16)=(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2$
因此另外两个勾股数为$2n^2+4n$和$4n+4$。
【答案】
(1) 推导过程见解析，得$a^2 + b^2 = c^2$
；(2) 证明见解析，$2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$是勾股数；
(3) $\boxed{48}$；
(4) 示例：$\boxed{85,132,157}$（答案不唯一）；
(5) $\boxed{2n^2+4n}$，$\boxed{4n+4}$。
【知识点】
勾股定理的证明，勾股数的判定，面积法求图形面积
【点评】
本题从勾股定理的面积验证出发，逐步延伸到勾股数的构造与应用，兼顾几何面积计算和代数变形能力的考察，难度逐层递进，有助于深化对勾股定理及勾股数的理解。
【难度系数】
0.6
