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2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^2$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$，从而得到等式$c^2=\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$，化简便得结论$a^2+b^2=c^2$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们争先恐后地证明勾股定理，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在2010年发现了一个新的证法：把两个全等的$Rt△ ABC$和$Rt△ EDA$按如图②所示方式放置，其三边长分别为$a,b,c,∠ BAC=∠ DEA=90°$，显然$BC⊥ AD$.
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，$△ EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^2+b^2=c^2$；
(2)如图③，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，$AB=4,AC=5,BC=6$，设$BD=x$，求$x$的值.
【方法运用】千百年来，人们争先恐后地证明勾股定理，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在2010年发现了一个新的证法：把两个全等的$Rt△ ABC$和$Rt△ EDA$按如图②所示方式放置，其三边长分别为$a,b,c,∠ BAC=∠ DEA=90°$，显然$BC⊥ AD$.
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，$△ EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^2+b^2=c^2$；
(2)如图③，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，$AB=4,AC=5,BC=6$，设$BD=x$，求$x$的值.
答案
2.解:(1)$\because S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^2$,$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b$,$S_{△BED}=\frac{1}{2}(a-b)a$,$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△BED}$,
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$,
即$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)在$Rt△ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$.
$\because BD+CD=BC=6,\therefore CD=BC-BD=6-x$.
在$Rt△ACD$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2$.
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2$,解得$x=\frac{9}{4}$.
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$,
即$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)在$Rt△ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$.
$\because BD+CD=BC=6,\therefore CD=BC-BD=6-x$.
在$Rt△ACD$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2$.
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2$,解得$x=\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1) 本题使用“双求法”推导勾股定理：首先根据BC⊥AD且BC、AD长度均为c，求出四边形ABDC的面积；再分别计算梯形AEDC、△EBD的面积，利用“四边形ABDC的面积=梯形AEDC的面积+△EBD的面积”建立等式，化简后即可证明勾股定理。
(2) 第二问利用公共边AD构造等量关系：AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共直角边，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，令两个表达式相等建立方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 由题意得$BC⊥ AD$，且$BC=AD=c$，因此：
$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}c^2$
梯形AEDC的上底$AC=b$，下底$ED=a$，高$AE=b$，因此：
$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(ED+AC)· AE=\frac{1}{2}(a+b)b$
△EBD的两条直角边分别为$BE=a-b$、$ED=a$，因此：
$S_{△EBD}=\frac{1}{2}BE· ED=\frac{1}{2}(a-b)a$
根据面积关系$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△BED}$，代入得：
$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$
等式两边同乘2化简：$c^2=b^2+ab+a^2-ab$
整理得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$
∵$BD+CD=BC=6$，
∴$CD=6-x$
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=25-(36-12x+x^2)=-11+12x-x^2$
两个表达式均表示$AD^2$，因此列等式：
$16-x^2=-11+12x-x^2$
化简得$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 已证明$a^2+b^2=c^2$；
(2) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
勾股定理，面积法，方程思想
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用展开，核心考查“双求法”的运用：第一问通过不同形式表示同一图形的面积，建立等式推导勾股定理；第二问借助公共边作为等量关系列方程求解，将几何问题转化为代数问题，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题使用“双求法”推导勾股定理：首先根据BC⊥AD且BC、AD长度均为c，求出四边形ABDC的面积；再分别计算梯形AEDC、△EBD的面积，利用“四边形ABDC的面积=梯形AEDC的面积+△EBD的面积”建立等式，化简后即可证明勾股定理。
(2) 第二问利用公共边AD构造等量关系：AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共直角边，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，令两个表达式相等建立方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 由题意得$BC⊥ AD$，且$BC=AD=c$，因此：
$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}c^2$
梯形AEDC的上底$AC=b$，下底$ED=a$，高$AE=b$，因此：
$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(ED+AC)· AE=\frac{1}{2}(a+b)b$
△EBD的两条直角边分别为$BE=a-b$、$ED=a$，因此：
$S_{△EBD}=\frac{1}{2}BE· ED=\frac{1}{2}(a-b)a$
根据面积关系$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△BED}$，代入得：
$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$
等式两边同乘2化简：$c^2=b^2+ab+a^2-ab$
整理得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$
∵$BD+CD=BC=6$，
∴$CD=6-x$
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=25-(36-12x+x^2)=-11+12x-x^2$
两个表达式均表示$AD^2$，因此列等式：
$16-x^2=-11+12x-x^2$
化简得$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 已证明$a^2+b^2=c^2$；
(2) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
勾股定理，面积法，方程思想
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用展开，核心考查“双求法”的运用：第一问通过不同形式表示同一图形的面积，建立等式推导勾股定理；第二问借助公共边作为等量关系列方程求解，将几何问题转化为代数问题，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
