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1.(南京月考改编)如图,这4个图形中不可以用来验证勾股定理的是 (
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
D
)A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
答案
1.D
解析
【分析】
验证勾股定理的核心逻辑是：用两种不同方法表示同一个图形的面积，联立等式化简后能得到$a^2+b^2=c^2$的三边平方关系即可。我们逐一分析4个图形：
1. 图①可将整体视为梯形，分别用梯形面积公式、拆分后的3个三角形面积和表示总面积，联立可推导出勾股定理；
2. 图②可将整体视为边长为$a+b$的正方形，分别用正方形面积公式、拆分后的各部分面积和表示总面积，联立可推导出勾股定理；
3. 图③和图①推导逻辑一致，整体为梯形，拆分后为3个三角形，联立可推导出勾股定理；
4. 图④整体为2个长方形拼接而成，拆分后为4个全等的直角三角形，两种面积表示方法联立后为恒等式，无法推出三边平方关系，不能验证勾股定理。
【解析】
逐一验证各选项：
选项A（图①）：梯形$ABEF$面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，同时梯形面积等于2个直角边为$a,b$的直角三角形面积加1个斜边为$c$的等腰直角三角形面积，即$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，联立化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
选项B（图②）：整体为边长为$a+b$的正方形，面积为$(a+b)^2$，同时整体面积等于边长为$c$的正方形面积加2个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即$c^2+ab$，联立化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
选项C（图③）：整体为梯形，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，同时梯形面积等于2个直角边为$a,b$的直角三角形面积加1个斜边为$c$的等腰直角三角形面积，联立化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
选项D（图④）：整体面积为$2ab$，拆分后4个直角三角形的面积和也为$2ab$，联立后为恒等式$2ab=2ab$，无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能验证勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的验证；面积法
【点评】
本题考查勾股定理的验证逻辑，解题关键是掌握面积法的应用，判断两种面积表示方法联立化简后是否能得到直角三角形三边的平方关系即可。
【难度系数】
0.7
验证勾股定理的核心逻辑是：用两种不同方法表示同一个图形的面积，联立等式化简后能得到$a^2+b^2=c^2$的三边平方关系即可。我们逐一分析4个图形：
1. 图①可将整体视为梯形，分别用梯形面积公式、拆分后的3个三角形面积和表示总面积，联立可推导出勾股定理；
2. 图②可将整体视为边长为$a+b$的正方形，分别用正方形面积公式、拆分后的各部分面积和表示总面积，联立可推导出勾股定理；
3. 图③和图①推导逻辑一致，整体为梯形，拆分后为3个三角形，联立可推导出勾股定理；
4. 图④整体为2个长方形拼接而成，拆分后为4个全等的直角三角形，两种面积表示方法联立后为恒等式，无法推出三边平方关系，不能验证勾股定理。
【解析】
逐一验证各选项：
选项A（图①）：梯形$ABEF$面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，同时梯形面积等于2个直角边为$a,b$的直角三角形面积加1个斜边为$c$的等腰直角三角形面积，即$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，联立化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
选项B（图②）：整体为边长为$a+b$的正方形，面积为$(a+b)^2$，同时整体面积等于边长为$c$的正方形面积加2个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即$c^2+ab$，联立化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
选项C（图③）：整体为梯形，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，同时梯形面积等于2个直角边为$a,b$的直角三角形面积加1个斜边为$c$的等腰直角三角形面积，联立化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
选项D（图④）：整体面积为$2ab$，拆分后4个直角三角形的面积和也为$2ab$，联立后为恒等式$2ab=2ab$，无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能验证勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的验证；面积法
【点评】
本题考查勾股定理的验证逻辑，解题关键是掌握面积法的应用，判断两种面积表示方法联立化简后是否能得到直角三角形三边的平方关系即可。
【难度系数】
0.7
2.(天宁区期中)如图,四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形.若直角三角形的较长直角边长为$a$,较短直角边长为$b$,大正方形的面积为10,小正方形的面积为4,则$(a+b)^2$的值为
16
.答案
2.16
解析
【分析】
解题时先结合图形分析各边长的关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得$a^2+b^2$等于大正方形的面积；小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$a-b$，因此小正方形的面积等于$(a-b)^2$。要求$(a+b)^2$，可先将其用完全平方公式展开为$a^2+2ab+b^2$，已知$a^2+b^2$的值，只需通过$(a-b)^2$的展开式求出$2ab$的值，代入即可算出结果。
【解析】
解：由题意可知：
1. 大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = 10$
2. 小正方形的边长为$a - b$，因此小正方形面积满足：$(a - b)^2 = 4$
3. 展开完全平方公式得：$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，将$a^2 + b^2 = 10$代入上式：
$10 - 2ab = 4$，解得$2ab = 6$
4. 对$(a+b)^2$展开得：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入$a^2 + b^2 = 10$、$2ab = 6$：
$(a+b)^2 = 10 + 6 = 16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题属于数形结合的典型题型，将几何图形的面积和代数公式变形相结合，解题关键是准确找到各代数式对应的几何意义，再利用公式变形求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图形分析各边长的关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得$a^2+b^2$等于大正方形的面积；小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$a-b$，因此小正方形的面积等于$(a-b)^2$。要求$(a+b)^2$，可先将其用完全平方公式展开为$a^2+2ab+b^2$，已知$a^2+b^2$的值，只需通过$(a-b)^2$的展开式求出$2ab$的值，代入即可算出结果。
【解析】
解：由题意可知：
1. 大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = 10$
2. 小正方形的边长为$a - b$，因此小正方形面积满足：$(a - b)^2 = 4$
3. 展开完全平方公式得：$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，将$a^2 + b^2 = 10$代入上式：
$10 - 2ab = 4$，解得$2ab = 6$
4. 对$(a+b)^2$展开得：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入$a^2 + b^2 = 10$、$2ab = 6$：
$(a+b)^2 = 10 + 6 = 16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题属于数形结合的典型题型，将几何图形的面积和代数公式变形相结合，解题关键是准确找到各代数式对应的几何意义，再利用公式变形求解即可。
【难度系数】
0.7
3.(徐州期中)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同.当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用面积法来证明勾股定理,请将下面说理过程补充完整.
证明:连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,交BC的延长线于点F,
则四边形DFCE为长方形,所以$DF=EC=$.(用含字母的代数式表示)
因为$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_+\frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADB}+\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}c^2+$,
所以$+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+$,
所以.
证明:连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,交BC的延长线于点F,
则四边形DFCE为长方形,所以$DF=EC=$.(用含字母的代数式表示)
因为$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_+\frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADB}+\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}c^2+$,
所以$+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+$,
所以.
答案
3.$b-a$ $S_{△ ABC}$ $\frac{1}{2}b^2$ $S_{△ DCB}$ $\frac{1}{2}a(b-a)$ $\frac{1}{2}b^2$ $\frac{1}{2}a(b-a)$ $a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
本题采用面积法证明勾股定理，解题思路如下：首先根据长方形的性质确定DF的长度，再用两种不同的割补方法表示四边形ABCD的面积，建立等量关系后化简即可得到勾股定理。第一步先求EC的长度：由全等直角三角形的性质可知AC=b、AE=BC=a，因此EC=AC-AE=b-a，即DF=b-a；第二步拆分四边形ABCD为△ACD和△ABC，分别计算两个三角形面积求和得到四边形面积的第一种表达式；第三步再将四边形ABCD拆分为△ADB和△DCB，分别计算两个三角形面积求和得到四边形面积的第二种表达式；最后令两个面积表达式相等，化简等式即可推导出勾股定理。
【解析】
1. 第一个空：四边形DFCE为长方形，故$DF=EC$，由全等直角三角形性质得$AC=b$，$AE=BC=a$，因此$EC=AC-AE=b-a$，即$DF=b-a$。
2. 第二个、第三个空：四边形ABCD可拆分为$△ ACD$和$△ ABC$，其中$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC × DE=\frac{1}{2}b^2$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab$，因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$。
3. 第四个、第五个空：四边形ABCD也可拆分为$△ ADB$和$△ DCB$，其中$∠ DAB=90°$，$AD=AB=c$，故$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}c^2$；$△ DCB$的底$BC=a$，高$DF=b-a$，因此$S_{△ DCB}=\frac{1}{2}× a × (b-a)$，即$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADB}+S_{△ DCB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
4. 后续等式：令两个面积表达式相等，可得$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$，等式两边同乘2并化简，最终得到$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$b-a$；$S_{△ ABC}$；$\frac{1}{2}b^2$；$S_{△ DCB}$；$\frac{1}{2}a(b-a)$；$\frac{1}{2}b^2$；$\frac{1}{2}a(b-a)$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理的证明；面积法的应用；图形割补求面积
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，通过对同一个四边形进行两种不同的面积拆分建立等量关系，将几何图形性质和代数运算结合，有助于理解勾股定理的推导逻辑，锻炼图形分析和面积计算的综合能力。
【难度系数】
0.7
本题采用面积法证明勾股定理，解题思路如下：首先根据长方形的性质确定DF的长度，再用两种不同的割补方法表示四边形ABCD的面积，建立等量关系后化简即可得到勾股定理。第一步先求EC的长度：由全等直角三角形的性质可知AC=b、AE=BC=a，因此EC=AC-AE=b-a，即DF=b-a；第二步拆分四边形ABCD为△ACD和△ABC，分别计算两个三角形面积求和得到四边形面积的第一种表达式；第三步再将四边形ABCD拆分为△ADB和△DCB，分别计算两个三角形面积求和得到四边形面积的第二种表达式；最后令两个面积表达式相等，化简等式即可推导出勾股定理。
【解析】
1. 第一个空：四边形DFCE为长方形，故$DF=EC$，由全等直角三角形性质得$AC=b$，$AE=BC=a$，因此$EC=AC-AE=b-a$，即$DF=b-a$。
2. 第二个、第三个空：四边形ABCD可拆分为$△ ACD$和$△ ABC$，其中$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC × DE=\frac{1}{2}b^2$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab$，因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$。
3. 第四个、第五个空：四边形ABCD也可拆分为$△ ADB$和$△ DCB$，其中$∠ DAB=90°$，$AD=AB=c$，故$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}c^2$；$△ DCB$的底$BC=a$，高$DF=b-a$，因此$S_{△ DCB}=\frac{1}{2}× a × (b-a)$，即$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADB}+S_{△ DCB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
4. 后续等式：令两个面积表达式相等，可得$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$，等式两边同乘2并化简，最终得到$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$b-a$；$S_{△ ABC}$；$\frac{1}{2}b^2$；$S_{△ DCB}$；$\frac{1}{2}a(b-a)$；$\frac{1}{2}b^2$；$\frac{1}{2}a(b-a)$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理的证明；面积法的应用；图形割补求面积
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，通过对同一个四边形进行两种不同的面积拆分建立等量关系，将几何图形性质和代数运算结合，有助于理解勾股定理的推导逻辑，锻炼图形分析和面积计算的综合能力。
【难度系数】
0.7
4.(海淀区期末)如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用$x,y(x＞y)$表示直角三角形的两条直角边的长,有下列说法:①$x^2 + y^2 = 49$;②$xy = 2$;③$2xy + 4 = 49$;④$x + y = 9$.其中正确的是 (
A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
A
)A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
答案
4.A
解析
【分析】
该图为赵爽弦图，解题时先结合图形特征找等量关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长等于长直角边减短直角边（即$x-y$，$x＞y$）。首先根据大正方形面积和勾股定理判断①；再结合小正方形面积得到$(x-y)^2$的取值，展开后代入勾股定理的结论求出$xy$，依次验证②、③；最后利用完全平方公式推导$(x+y)^2$的取值，判断④即可。
【解析】
1. 判断①：大正方形面积为49，其边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得$x^2+y^2=\mathrm{斜边}^2=\mathrm{大正方形面积}=49$，故①正确。
2. 小正方形面积为4，其边长为$x-y$，因此$(x-y)^2=4$，展开得$x^2-2xy+y^2=4$。
3. 判断②：将$x^2+y^2=49$代入上式，得$49-2xy=4$，解得$2xy=45$，$xy=22.5≠2$，故②错误。
4. 判断③：由上一步得$2xy=45$，因此$2xy+4=45+4=49$，故③正确。
5. 判断④：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=49+45=94≠81$，因此$x+y=\sqrt{94}≠9$，故④错误。
综上，正确的是①③，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，核心是结合赵爽弦图的特征找到边长的数量关系，再结合勾股定理、完全平方公式的变形推导即可得出结论，需注意对完全平方公式变形的熟练运用。
【难度系数】
0.7
该图为赵爽弦图，解题时先结合图形特征找等量关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长等于长直角边减短直角边（即$x-y$，$x＞y$）。首先根据大正方形面积和勾股定理判断①；再结合小正方形面积得到$(x-y)^2$的取值，展开后代入勾股定理的结论求出$xy$，依次验证②、③；最后利用完全平方公式推导$(x+y)^2$的取值，判断④即可。
【解析】
1. 判断①：大正方形面积为49，其边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得$x^2+y^2=\mathrm{斜边}^2=\mathrm{大正方形面积}=49$，故①正确。
2. 小正方形面积为4，其边长为$x-y$，因此$(x-y)^2=4$，展开得$x^2-2xy+y^2=4$。
3. 判断②：将$x^2+y^2=49$代入上式，得$49-2xy=4$，解得$2xy=45$，$xy=22.5≠2$，故②错误。
4. 判断③：由上一步得$2xy=45$，因此$2xy+4=45+4=49$，故③正确。
5. 判断④：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=49+45=94≠81$，因此$x+y=\sqrt{94}≠9$，故④错误。
综上，正确的是①③，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，核心是结合赵爽弦图的特征找到边长的数量关系，再结合勾股定理、完全平方公式的变形推导即可得出结论，需注意对完全平方公式变形的熟练运用。
【难度系数】
0.7
