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7. 如图,在$△ ABC$中,已知$AB=AC=5\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$,则$AB$边上的高为 （
A.2.4 cm
B.3 cm
C.4.8 cm
D.无法确定
C
）A.2.4 cm
B.3 cm
C.4.8 cm
D.无法确定
答案
7.C
解析
【分析】
要计算AB边上的高，可分三步思考：第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，先作BC边上的高，结合勾股定理求出该高的长度；第二步，根据三角形面积公式计算出△ABC的面积；第三步，利用“同一三角形面积相等”的原理，以AB为底列出面积表达式，反推求出AB边上的高即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D：
1. 由等腰三角形三线合一的性质可得，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$BD=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，得$AD^2+4^2=5^2$，解得$AD=3\ \mathrm{cm}$；
3. 计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×8×3=12\ \mathrm{cm}^2$；
4. 设AB边上的高为$h$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h$，代入数值得$\frac{1}{2}×5× h=12$，解得$h=4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题核心是灵活运用等面积法建立等量关系，掌握该方法可快速解决已知三角形三边求高的同类问题。
【难度系数】
0.7
要计算AB边上的高，可分三步思考：第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，先作BC边上的高，结合勾股定理求出该高的长度；第二步，根据三角形面积公式计算出△ABC的面积；第三步，利用“同一三角形面积相等”的原理，以AB为底列出面积表达式，反推求出AB边上的高即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D：
1. 由等腰三角形三线合一的性质可得，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$BD=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，得$AD^2+4^2=5^2$，解得$AD=3\ \mathrm{cm}$；
3. 计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×8×3=12\ \mathrm{cm}^2$；
4. 设AB边上的高为$h$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h$，代入数值得$\frac{1}{2}×5× h=12$，解得$h=4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题核心是灵活运用等面积法建立等量关系，掌握该方法可快速解决已知三角形三边求高的同类问题。
【难度系数】
0.7
8.(北京期中)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,正方形A,B,C的面积分别是8 cm²,10 cm²,14 cm²,则正方形D的面积是
17
cm².答案
8.17
解析
【分析】
拿到题目先观察图形特征：所有三角形都是直角三角形，所有图形都是正方形，可联想到勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先先计算最大正方形的面积，再梳理小正方形和大正方形的面积关系：A、B的面积和等于二者对应直角三角形斜边的中等正方形面积，C、D的面积和等于另一组对应直角三角形斜边的中等正方形面积，这两个中等正方形的面积和恰好等于最下方最大正方形的面积，因此四个小正方形面积之和等于最大正方形面积，代入已知数值即可求出正方形D的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。
第一步：计算最大正方形的面积
$S_{\mathrm{大}} = 7×7 = 49\ \mathrm{cm}^2$
第二步：建立面积等量关系
由图形可得：$S_A + S_B + S_C + S_D = S_{\mathrm{大}}$
第三步：代入已知数值计算
将$S_A=8\ \mathrm{cm}^2$，$S_B=10\ \mathrm{cm}^2$，$S_C=14\ \mathrm{cm}^2$代入上式：
$8 + 10 + 14 + S_D = 49$
解得：$S_D = 49 - 32 = 17\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
17
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的典型题型，解题核心是掌握直角三角形三边对应正方形的面积等量关系，能够将多层小正方形的面积和与最大正方形面积建立关联，难度不大，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
拿到题目先观察图形特征：所有三角形都是直角三角形，所有图形都是正方形，可联想到勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先先计算最大正方形的面积，再梳理小正方形和大正方形的面积关系：A、B的面积和等于二者对应直角三角形斜边的中等正方形面积，C、D的面积和等于另一组对应直角三角形斜边的中等正方形面积，这两个中等正方形的面积和恰好等于最下方最大正方形的面积，因此四个小正方形面积之和等于最大正方形面积，代入已知数值即可求出正方形D的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。
第一步：计算最大正方形的面积
$S_{\mathrm{大}} = 7×7 = 49\ \mathrm{cm}^2$
第二步：建立面积等量关系
由图形可得：$S_A + S_B + S_C + S_D = S_{\mathrm{大}}$
第三步：代入已知数值计算
将$S_A=8\ \mathrm{cm}^2$，$S_B=10\ \mathrm{cm}^2$，$S_C=14\ \mathrm{cm}^2$代入上式：
$8 + 10 + 14 + S_D = 49$
解得：$S_D = 49 - 32 = 17\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
17
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的典型题型，解题核心是掌握直角三角形三边对应正方形的面积等量关系，能够将多层小正方形的面积和与最大正方形面积建立关联，难度不大，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD.若AD=3，BC=5，则$AB^2+CD^2=$
34
.答案
9.34
解析
【分析】
本题是新定义类几何计算题，首先根据“垂美”四边形的定义可知其对角线AC⊥BD，对角线将四边形分成的△ABE、△BCE、△CDE、△DAE均为直角三角形。解题思路为：利用勾股定理分别将AB²、CD²、AD²、BC²用对应直角三角形的直角边平方表示，再通过代数式变形找到AB²+CD²与AD²+BC²的等量关系，最后代入已知边长计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，即∠AEB=∠BEC=∠CED=∠DEA=90°。
根据勾股定理：
在Rt△ABE中，$AB^2=AE^2+BE^2$，
在Rt△CDE中，$CD^2=CE^2+DE^2$，
两式相加可得：$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$ ①；
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2$，
在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2+CE^2$，
两式相加可得：$AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$ ②；
对比①②可得：$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
将AD=3，BC=5代入得：
$AB^2+CD^2=3^2+5^2=9+25=34$。
【答案】
34
【知识点】
勾股定理；新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的应用，解题核心是将四边形边的平方和转化为对角线分割出的直角三角形的直角边平方和，通过等量代换简化计算，无需单独求解各边长度，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类几何计算题，首先根据“垂美”四边形的定义可知其对角线AC⊥BD，对角线将四边形分成的△ABE、△BCE、△CDE、△DAE均为直角三角形。解题思路为：利用勾股定理分别将AB²、CD²、AD²、BC²用对应直角三角形的直角边平方表示，再通过代数式变形找到AB²+CD²与AD²+BC²的等量关系，最后代入已知边长计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，即∠AEB=∠BEC=∠CED=∠DEA=90°。
根据勾股定理：
在Rt△ABE中，$AB^2=AE^2+BE^2$，
在Rt△CDE中，$CD^2=CE^2+DE^2$，
两式相加可得：$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$ ①；
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2$，
在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2+CE^2$，
两式相加可得：$AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$ ②；
对比①②可得：$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
将AD=3，BC=5代入得：
$AB^2+CD^2=3^2+5^2=9+25=34$。
【答案】
34
【知识点】
勾股定理；新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的应用，解题核心是将四边形边的平方和转化为对角线分割出的直角三角形的直角边平方和，通过等量代换简化计算，无需单独求解各边长度，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
10.(南京期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,则$CD$的长为
$\frac{3}{2}$
.答案
10.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要求CD的长，已知AD是∠BAC的角平分线，首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE，且可证Rt△ACD≌Rt△AED，得到AE=AC=3。先通过勾股定理求出AB的长度，再设CD为x，用含x的式子表示BD和BE的长度，最后在Rt△BDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=DE \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2。
设CD=x，则DE=x，BD=4-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得$DE^2+BE^2=BD^2$，
即$x^2+2^2=(4-x)^2$，
展开得$x^2+4=16-8x+x^2$，
化简得$8x=12$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，直角三角形全等的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、勾股定理和全等三角形的应用，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，结合方程思想求解线段长度，是几何中求线段长的常用思路。
【难度系数】
0.7
要求CD的长，已知AD是∠BAC的角平分线，首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE，且可证Rt△ACD≌Rt△AED，得到AE=AC=3。先通过勾股定理求出AB的长度，再设CD为x，用含x的式子表示BD和BE的长度，最后在Rt△BDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=DE \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2。
设CD=x，则DE=x，BD=4-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得$DE^2+BE^2=BD^2$，
即$x^2+2^2=(4-x)^2$，
展开得$x^2+4=16-8x+x^2$，
化简得$8x=12$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，直角三角形全等的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、勾股定理和全等三角形的应用，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，结合方程思想求解线段长度，是几何中求线段长的常用思路。
【难度系数】
0.7
11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=10,BD⊥AC于点D,且BD=8.求△ABC的面积.
答案
11.解:$\because BD⊥ AC,\therefore ∠ ADB=∠ CDB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=8,BC=10,\therefore CD=6$.
设$AB=AC=x$,则$AD=x-6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
即$(x-6)^2+8^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=8,BC=10,\therefore CD=6$.
设$AB=AC=x$,则$AD=x-6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
即$(x-6)^2+8^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$.
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知AC边上的高BD=8，因此只需求出AC的长度即可。首先在Rt△BCD中，已知BD和BC的长度，可先用勾股定理求出CD的长；再结合AB=AC的等腰性质，设AC=AB=x，用含x的式子表示出AD的长度；最后在Rt△ABD中利用勾股定理列方程，解出x也就是AC的长度，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
∵ BD⊥AC，
∴ ∠ADB=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，BD=8，BC=10，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$AB=AC=x$，则$AD=AC-CD=x-6$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
即$(x-6)^2+8^2=x^2$，
展开得$x^2-12x+36+64=x^2$，
化简得$-12x+100=0$，解得$x=\frac{25}{3}$。
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$。
【答案】
$\frac{100}{3}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与等腰三角形结合的基础应用题，解题的核心是利用两个直角三角形的边长关系，通过设未知数建立方程求解未知边长，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题时需注意找准直角三角形的三边对应关系。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，已知AC边上的高BD=8，因此只需求出AC的长度即可。首先在Rt△BCD中，已知BD和BC的长度，可先用勾股定理求出CD的长；再结合AB=AC的等腰性质，设AC=AB=x，用含x的式子表示出AD的长度；最后在Rt△ABD中利用勾股定理列方程，解出x也就是AC的长度，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
∵ BD⊥AC，
∴ ∠ADB=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，BD=8，BC=10，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$AB=AC=x$，则$AD=AC-CD=x-6$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
即$(x-6)^2+8^2=x^2$，
展开得$x^2-12x+36+64=x^2$，
化简得$-12x+100=0$，解得$x=\frac{25}{3}$。
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$。
【答案】
$\frac{100}{3}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与等腰三角形结合的基础应用题，解题的核心是利用两个直角三角形的边长关系，通过设未知数建立方程求解未知边长，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题时需注意找准直角三角形的三边对应关系。
【难度系数】
0.7
12.(鼓楼区月考)如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
(1)求证:△BCD≌△ACE；
(2)若AB=17，BD=12，求DE的长.
(1)求证:△BCD≌△ACE；
(2)若AB=17，BD=12，求DE的长.
答案
12.(1)证明:$\because △ ACB$与$△ ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore AC=BC,CE=CD$.
$\because ∠ ACB=∠ ECD=90°$,
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$,
即$∠ BCD=∠ ACE$.
在$△ BCD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCD=∠ ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:由(1)知$△ BCD≌△ ACE$,则$∠ DBC=∠ EAC$.
$\because ∠ CAD+∠ DBC=90°$,
$\therefore ∠ EAC+∠ CAD=90°$,即$∠ EAD=90°$.
$\because AB=17,BD=12,\therefore AD=17-12=5$.
$\because △ BCD≌△ ACE,\therefore AE=BD=12$.
在$\mathrm{Rt}△ AED$中,由勾股定理,得$DE^2=AE^2+AD^2=12^2+5^2=169,\therefore DE=13$.
$\therefore AC=BC,CE=CD$.
$\because ∠ ACB=∠ ECD=90°$,
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$,
即$∠ BCD=∠ ACE$.
在$△ BCD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCD=∠ ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:由(1)知$△ BCD≌△ ACE$,则$∠ DBC=∠ EAC$.
$\because ∠ CAD+∠ DBC=90°$,
$\therefore ∠ EAC+∠ CAD=90°$,即$∠ EAD=90°$.
$\because AB=17,BD=12,\therefore AD=17-12=5$.
$\because △ BCD≌△ ACE,\therefore AE=BD=12$.
在$\mathrm{Rt}△ AED$中,由勾股定理,得$DE^2=AE^2+AD^2=12^2+5^2=169,\therefore DE=13$.
解析
【分析】
(1)要证明△BCD≌△ACE，首先结合等腰直角三角形的性质可得两组对应边相等：AC=BC，CE=CD；接下来找两边的夹角相等，已知∠ACB和∠ECD都是90°，两个角同时减去公共角∠ACD，即可得到∠BCD=∠ACE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)要求DE的长，可将DE放入直角三角形中利用勾股定理求解。首先由(1)的全等结论可得AE=BD，且∠EAC=∠DBC，结合等腰直角三角形△ACB的两锐角和为90°，可推导出∠EAD=90°，即△EAD是直角三角形；再计算出AD的长度，最后代入勾股定理即可求出DE的长。
【解析】
(1)证明：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD。
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE。
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△BCD≌△ACE（SAS）。
(2)解：由(1)知△BCD≌△ACE，则∠DBC=∠EAC。
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠DBC=90°，
∴∠EAC+∠CAD=90°，即∠EAD=90°。
∵AB=17，BD=12，
∴AD=AB-BD=17-12=5，
又
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=12。
在Rt△AED中，由勾股定理，得$DE^2=AE^2+AD^2=12^2+5^2=169$，
∴DE=13。
【答案】
(1)△BCD≌△ACE得证；
(2)DE的长为$\boxed{13}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用等腰直角三角形的性质得到全等的判定条件，再通过全等转化边角关系，构造出直角三角形后用勾股定理求解，能有效考查学生的逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△BCD≌△ACE，首先结合等腰直角三角形的性质可得两组对应边相等：AC=BC，CE=CD；接下来找两边的夹角相等，已知∠ACB和∠ECD都是90°，两个角同时减去公共角∠ACD，即可得到∠BCD=∠ACE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)要求DE的长，可将DE放入直角三角形中利用勾股定理求解。首先由(1)的全等结论可得AE=BD，且∠EAC=∠DBC，结合等腰直角三角形△ACB的两锐角和为90°，可推导出∠EAD=90°，即△EAD是直角三角形；再计算出AD的长度，最后代入勾股定理即可求出DE的长。
【解析】
(1)证明：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD。
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE。
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△BCD≌△ACE（SAS）。
(2)解：由(1)知△BCD≌△ACE，则∠DBC=∠EAC。
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠DBC=90°，
∴∠EAC+∠CAD=90°，即∠EAD=90°。
∵AB=17，BD=12，
∴AD=AB-BD=17-12=5，
又
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=12。
在Rt△AED中，由勾股定理，得$DE^2=AE^2+AD^2=12^2+5^2=169$，
∴DE=13。
【答案】
(1)△BCD≌△ACE得证；
(2)DE的长为$\boxed{13}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用等腰直角三角形的性质得到全等的判定条件，再通过全等转化边角关系，构造出直角三角形后用勾股定理求解，能有效考查学生的逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
13.(贾汪区期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$,三角形的顶点在相互平行的三条直线$l_1,l_2,l_3$上,且$l_1,l_2$之间的距离为$2$,$l_2,l_3$之间的距离为$3$,则$AC^2=$
第13题图
68
. 第13题图答案
13.68
解析
【分析】
要求$AC^2$，已知$△ ABC$是等腰直角三角形，可先通过勾股定理求出$AB^2$，再计算$AC^2$。结合三条平行线的已知距离，我们可以过点$A$、$C$分别向$l_3$作垂线，构造全等三角形，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，进而求解。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ l_3$于点$D$，过点$C$作$CE⊥ l_3$于点$E$，则$∠ ADB=∠ BEC=90°$。
$\therefore ∠ BAD+∠ ABD=90°$，
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ CBE=90°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ BEC \\∠ BAD=∠ CBE \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$。
由题意得：$AD=3$（$l_2$、$l_3$间的距离），$CE=2+3=5$（$l_1$、$l_3$间的距离），
$\therefore BE=AD=3$，$BD=CE=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=3^2+5^2=34$。
$\because AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC^2=AB^2+BC^2=34+34=68$。
【答案】
$\boxed{68}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线间的距离
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将平行线的距离转化为直角三角形的边长，需要熟练掌握全等三角形的构造方法和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
要求$AC^2$，已知$△ ABC$是等腰直角三角形，可先通过勾股定理求出$AB^2$，再计算$AC^2$。结合三条平行线的已知距离，我们可以过点$A$、$C$分别向$l_3$作垂线，构造全等三角形，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，进而求解。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ l_3$于点$D$，过点$C$作$CE⊥ l_3$于点$E$，则$∠ ADB=∠ BEC=90°$。
$\therefore ∠ BAD+∠ ABD=90°$，
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ CBE=90°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ BEC \\∠ BAD=∠ CBE \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$。
由题意得：$AD=3$（$l_2$、$l_3$间的距离），$CE=2+3=5$（$l_1$、$l_3$间的距离），
$\therefore BE=AD=3$，$BD=CE=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=3^2+5^2=34$。
$\because AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC^2=AB^2+BC^2=34+34=68$。
【答案】
$\boxed{68}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线间的距离
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将平行线的距离转化为直角三角形的边长，需要熟练掌握全等三角形的构造方法和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
