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1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长是（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1.A
解析
【分析】
要计算BD的长度，可按以下思路推导：首先BD位于斜边AB上，若能求出AB的总长和AD的长度，用AB减去AD即可得到BD。已知△ABC是直角三角形，且给出两条直角边的长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；又因为弧是以A为圆心、AC为半径画出的，根据圆的性质，同圆的半径相等，所以AD=AC，代入数值计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$
因为线段长度为正数，所以$AB=5$。
因为以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，所以$AD=AC=3$，
因此$BD=AB-AD=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；同圆半径相等
【点评】
本题属于基础应用题，结合了勾股定理和圆的基本性质两个知识点，解题逻辑清晰，只要掌握对应基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算BD的长度，可按以下思路推导：首先BD位于斜边AB上，若能求出AB的总长和AD的长度，用AB减去AD即可得到BD。已知△ABC是直角三角形，且给出两条直角边的长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；又因为弧是以A为圆心、AC为半径画出的，根据圆的性质，同圆的半径相等，所以AD=AC，代入数值计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$
因为线段长度为正数，所以$AB=5$。
因为以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，所以$AD=AC=3$，
因此$BD=AB-AD=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；同圆半径相等
【点评】
本题属于基础应用题，结合了勾股定理和圆的基本性质两个知识点，解题逻辑清晰，只要掌握对应基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
2.已知一块直角三角形的木板，三边长的平方和为1800，则斜边长为 （
A.10
B.20
C.30
D.40
C
）A.10
B.20
C.30
D.40
答案
2.C
解析
【分析】
遇到直角三角形边长相关的问题，首先想到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，根据勾股定理可得a²+b²=c²。题目给出三边长的平方和为1800，即a²+b²+c²=1800，将a²+b²替换为c²，就能得到仅含斜边c的等式，求解即可得到斜边长，注意边长为正数，结果取正值即可。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c。
根据勾股定理可得：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$
已知三边长的平方和为1800，即：$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，得：$c^2 + c^2 = 1800$
合并同类项得：$2c^2 = 1800$
两边同时除以2得：$c^2 = 900$
因为c是三角形的边长，为正数，所以$c=\sqrt{900}=30$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题核心是利用勾股定理做等量代换，将三边长平方和的条件转化为仅关于斜边的等式，求解时注意边长为非负数，要舍去负的平方根。
【难度系数】
0.8
遇到直角三角形边长相关的问题，首先想到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，根据勾股定理可得a²+b²=c²。题目给出三边长的平方和为1800，即a²+b²+c²=1800，将a²+b²替换为c²，就能得到仅含斜边c的等式，求解即可得到斜边长，注意边长为正数，结果取正值即可。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c。
根据勾股定理可得：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$
已知三边长的平方和为1800，即：$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，得：$c^2 + c^2 = 1800$
合并同类项得：$2c^2 = 1800$
两边同时除以2得：$c^2 = 900$
因为c是三角形的边长，为正数，所以$c=\sqrt{900}=30$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题核心是利用勾股定理做等量代换，将三边长平方和的条件转化为仅关于斜边的等式，求解时注意边长为非负数，要舍去负的平方根。
【难度系数】
0.8
3.(新吴区期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$为$AC$上一点,且$DA=DB=5$.若$△ ABD$的面积为10,则$CD$的长为 (
A.3
B.4
C.5
D.4.5
A
)A.3
B.4
C.5
D.4.5
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先明确：△ABD的边AD在AC上，∠C=90°说明BC垂直于AC，因此BC就是△ABD以AD为底的高。第一步先利用△ABD的面积和AD的长度求出BC的长，第二步在Rt△BCD中，已知斜边BD和直角边BC的长度，运用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，即BC是△ABD中AD边上的高。
已知$S_{△ABD}=10$，$AD=5$，根据三角形面积公式：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × AD × BC$
代入得：$\frac{1}{2} × 5 × BC = 10$，解得$BC=4$。
在$Rt△BCD$中，$∠C=90°$，$BD=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$CD^2 + BC^2 = BD^2$
即$CD^2 = BD^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵ CD为线段长度，为正数，
∴ $CD=3$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理与三角形面积的综合基础题，解题的关键是判断出BC是△ABD的高，先求出BC的长度，再结合勾股定理求解，考查学生对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：△ABD的边AD在AC上，∠C=90°说明BC垂直于AC，因此BC就是△ABD以AD为底的高。第一步先利用△ABD的面积和AD的长度求出BC的长，第二步在Rt△BCD中，已知斜边BD和直角边BC的长度，运用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，即BC是△ABD中AD边上的高。
已知$S_{△ABD}=10$，$AD=5$，根据三角形面积公式：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × AD × BC$
代入得：$\frac{1}{2} × 5 × BC = 10$，解得$BC=4$。
在$Rt△BCD$中，$∠C=90°$，$BD=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$CD^2 + BC^2 = BD^2$
即$CD^2 = BD^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵ CD为线段长度，为正数，
∴ $CD=3$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理与三角形面积的综合基础题，解题的关键是判断出BC是△ABD的高，先求出BC的长度，再结合勾股定理求解，考查学生对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
4.(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，则点$A$到$BC$的距离为________；
(2)若直角三角形两条直角边的长之比为$3:4$，斜边长为$10$，则它的面积是________；
(3)已知直角三角形两条边长分别为$3$和$5$，则第三条边长的平方为________。
(2)若直角三角形两条直角边的长之比为$3:4$，斜边长为$10$，则它的面积是________；
(3)已知直角三角形两条边长分别为$3$和$5$，则第三条边长的平方为________。
答案
4.(1)2.4 (2)24 (3)34或16
解析
【分析】
(1) 求点A到BC的距离即求斜边BC上的高，可先利用勾股定理算出斜边BC的长度，再通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）相等，列等式求出高；
(2) 已知直角边的比例和斜边长，可先设参数表示两条直角边，再代入勾股定理求出参数的值，得到直角边长度后计算面积即可；
(3) 题目未明确给出3和5是直角边还是斜边，需分两种情况讨论：①3和5均为直角边；②5为斜边、3为直角边，分别用勾股定理计算第三条边长的平方，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
设点A到BC的距离为$h$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× BC× h$
代入数值得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=\frac{12}{5}=2.4$。
(2) 设两条直角边的长分别为$3x$、$4x$（$x＞0$），由勾股定理得：
$(3x)^2+(4x)^2=10^2$
化简得$25x^2=100$，解得$x^2=4$，$x=2$（边长为正，舍去负解）
则两条直角边分别为$3×2=6$，$4×2=8$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(3) 分两种情况讨论：
①当3和5均为直角边时，第三条边为斜边，其平方为$3^2+5^2=9+25=34$；
②当5为斜边，3为直角边时，第三条边为直角边，其平方为$5^2-3^2=25-9=16$。
综上，第三条边长的平方为34或16。
【答案】
(1)2.4 (2)24 (3)34或16
【知识点】
勾股定理；等面积法；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，重点考查勾股定理的应用及分类讨论的数学思维，其中等面积法是求解直角三角形斜边上高的常用简便方法，第三问需注意题干未明确边的属性时要分情况计算，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求点A到BC的距离即求斜边BC上的高，可先利用勾股定理算出斜边BC的长度，再通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）相等，列等式求出高；
(2) 已知直角边的比例和斜边长，可先设参数表示两条直角边，再代入勾股定理求出参数的值，得到直角边长度后计算面积即可；
(3) 题目未明确给出3和5是直角边还是斜边，需分两种情况讨论：①3和5均为直角边；②5为斜边、3为直角边，分别用勾股定理计算第三条边长的平方，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
设点A到BC的距离为$h$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× BC× h$
代入数值得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=\frac{12}{5}=2.4$。
(2) 设两条直角边的长分别为$3x$、$4x$（$x＞0$），由勾股定理得：
$(3x)^2+(4x)^2=10^2$
化简得$25x^2=100$，解得$x^2=4$，$x=2$（边长为正，舍去负解）
则两条直角边分别为$3×2=6$，$4×2=8$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(3) 分两种情况讨论：
①当3和5均为直角边时，第三条边为斜边，其平方为$3^2+5^2=9+25=34$；
②当5为斜边，3为直角边时，第三条边为直角边，其平方为$5^2-3^2=25-9=16$。
综上，第三条边长的平方为34或16。
【答案】
(1)2.4 (2)24 (3)34或16
【知识点】
勾股定理；等面积法；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，重点考查勾股定理的应用及分类讨论的数学思维，其中等面积法是求解直角三角形斜边上高的常用简便方法，第三问需注意题干未明确边的属性时要分情况计算，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
5.(南京期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,交BC于点D,AB=17,AC=10.
(1)若CD=6,则AD=
(2)若BC=20,求CD的长.
(1)若CD=6,则AD=
8
,BD=15
;(2)若BC=20,求CD的长.
答案
5.(1)8 15
(2)解:设$CD=x$,则$BD=20-x$.
$\because AC^2-CD^2=AD^2 ,AB^2-BD^2=AD^2 ,$
$\therefore AC^2-CD^2=AB^2-BD^2 ,$
即$10^2-x^2=17^2-(20-x)^2$,解得$x=\frac{211}{40}$.
$\therefore CD$的长为$\frac{211}{40}$.
(2)解:设$CD=x$,则$BD=20-x$.
$\because AC^2-CD^2=AD^2 ,AB^2-BD^2=AD^2 ,$
$\therefore AC^2-CD^2=AB^2-BD^2 ,$
即$10^2-x^2=17^2-(20-x)^2$,解得$x=\frac{211}{40}$.
$\therefore CD$的长为$\frac{211}{40}$.
解析
【分析】
（1）由AD⊥BC可知△ADC和△ADB都是直角三角形，可直接运用勾股定理计算未知边长：先在Rt△ADC中，已知AC和CD的长度，代入勾股定理公式求出AD的长；再将AD的长代入Rt△ADB的勾股定理公式，求出BD的长。
（2）AD是两个直角三角形的公共高，因此AD²在两个直角三角形中是相等的等量关系。我们可以设CD的长为x，用含x的式子表示出BD的长，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，令两者相等建立方程，求解方程即可得到CD的长度。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ADC中，AC=10，CD=6，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$；
在Rt△ADB中，AB=17，AD=8，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
(2) 设CD的长为$x$，则$BD=BC-CD=20-x$，
∵在Rt△ADC中，$AD^2=AC^2-CD^2$，
在Rt△ADB中，$AD^2=AB^2-BD^2$，
∴$AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$，
代入数值可得：$10^2 - x^2 = 17^2 - (20-x)^2$，
展开计算：$100 - x^2 = 289 - (400 - 40x + x^2)$
$100 - x^2 = 289 - 400 + 40x - x^2$
两边消去$-x^2$，得$100 = -111 + 40x$
移项得$40x = 211$，解得$x=\frac{211}{40}$。
【答案】
(1) 8，15；
(2) $\frac{211}{40}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 方程法求线段长
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，第一问直接考查勾股定理的直接计算，第二问通过公共高搭建等量关系，将几何问题转化为代数方程求解，是勾股定理结合方程思想的典型考法，掌握这种利用公共边找等量关系的思路能有效解决同类几何求边长的问题。
【难度系数】
0.7
（1）由AD⊥BC可知△ADC和△ADB都是直角三角形，可直接运用勾股定理计算未知边长：先在Rt△ADC中，已知AC和CD的长度，代入勾股定理公式求出AD的长；再将AD的长代入Rt△ADB的勾股定理公式，求出BD的长。
（2）AD是两个直角三角形的公共高，因此AD²在两个直角三角形中是相等的等量关系。我们可以设CD的长为x，用含x的式子表示出BD的长，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，令两者相等建立方程，求解方程即可得到CD的长度。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ADC中，AC=10，CD=6，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$；
在Rt△ADB中，AB=17，AD=8，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
(2) 设CD的长为$x$，则$BD=BC-CD=20-x$，
∵在Rt△ADC中，$AD^2=AC^2-CD^2$，
在Rt△ADB中，$AD^2=AB^2-BD^2$，
∴$AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$，
代入数值可得：$10^2 - x^2 = 17^2 - (20-x)^2$，
展开计算：$100 - x^2 = 289 - (400 - 40x + x^2)$
$100 - x^2 = 289 - 400 + 40x - x^2$
两边消去$-x^2$，得$100 = -111 + 40x$
移项得$40x = 211$，解得$x=\frac{211}{40}$。
【答案】
(1) 8，15；
(2) $\frac{211}{40}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 方程法求线段长
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，第一问直接考查勾股定理的直接计算，第二问通过公共高搭建等量关系，将几何问题转化为代数方程求解，是勾股定理结合方程思想的典型考法，掌握这种利用公共边找等量关系的思路能有效解决同类几何求边长的问题。
【难度系数】
0.7
6.(南京期末)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,且AB=2√2,以边AB,AC,BC为直径画半圆,其中所得的两个月形图案AFCD和BGCE(图中阴影部分)的面积之和等于 (
A.8
B.4
C.2
D.4√2
C
)A.8
B.4
C.2
D.4√2
答案
6.C
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积求解问题，采用割补法转化为规则图形面积的和差计算即可。首先观察图形可得：阴影部分的面积等于以AC为直径的半圆面积、以BC为直径的半圆面积与等腰直角△ABC的面积之和，减去以AB为直径的大半圆的面积。我们可以先利用勾股定理推导两个小半圆面积和与大半圆面积的关系，再计算三角形面积即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2√2，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
又
∵AC=BC，
∴$2AC^2=8$，解得$AC=BC=2$。
设以AC为直径的半圆面积为$S_1$，以BC为直径的半圆面积为$S_2$，以AB为直径的半圆面积为$S_3$，
则$S_1=\frac{1}{2}×π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{πAC^2}{8}$，
$S_2=\frac{1}{2}×π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{πBC^2}{8}$，
$S_3=\frac{1}{2}×π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{πAB^2}{8}$，
∴$S_1+S_2=\frac{π(AC^2+BC^2)}{8}=\frac{πAB^2}{8}=S_3$，即两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积。
观察图形可知，阴影面积$S_{阴}=S_1+S_2+S_{△ABC}-S_3$，
代入$S_1+S_2=S_3$，得$S_{阴}=S_{△ABC}$，
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×2×2=2$，
即阴影部分面积之和为2。
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心思路是通过割补法将未知的不规则面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，结合勾股定理可以简化计算，避免了对阴影部分进行复杂拆分。
【难度系数】
0.7
本题是不规则阴影面积求解问题，采用割补法转化为规则图形面积的和差计算即可。首先观察图形可得：阴影部分的面积等于以AC为直径的半圆面积、以BC为直径的半圆面积与等腰直角△ABC的面积之和，减去以AB为直径的大半圆的面积。我们可以先利用勾股定理推导两个小半圆面积和与大半圆面积的关系，再计算三角形面积即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2√2，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
又
∵AC=BC，
∴$2AC^2=8$，解得$AC=BC=2$。
设以AC为直径的半圆面积为$S_1$，以BC为直径的半圆面积为$S_2$，以AB为直径的半圆面积为$S_3$，
则$S_1=\frac{1}{2}×π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{πAC^2}{8}$，
$S_2=\frac{1}{2}×π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{πBC^2}{8}$，
$S_3=\frac{1}{2}×π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{πAB^2}{8}$，
∴$S_1+S_2=\frac{π(AC^2+BC^2)}{8}=\frac{πAB^2}{8}=S_3$，即两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积。
观察图形可知，阴影面积$S_{阴}=S_1+S_2+S_{△ABC}-S_3$，
代入$S_1+S_2=S_3$，得$S_{阴}=S_{△ABC}$，
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×2×2=2$，
即阴影部分面积之和为2。
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心思路是通过割补法将未知的不规则面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，结合勾股定理可以简化计算，避免了对阴影部分进行复杂拆分。
【难度系数】
0.7
