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13.(8分)自由下落物体的高度$h$(m)与下落时间$t$(s)的关系是$h=4.9t^2$.如果有一个物体从14.7 m高的建筑物上自由落下,那么到达地面需要多少秒?
答案
13.解:根据题意,得当$h=14.7\ \mathrm{m}$时,$14.7=4.9t^2$,
解得$t=\sqrt{3}$或$t=-\sqrt{3}$(舍去).
答:物体从14.7 m高的建筑物上自由落下,到达地面需要$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$.
解得$t=\sqrt{3}$或$t=-\sqrt{3}$(舍去).
答:物体从14.7 m高的建筑物上自由落下,到达地面需要$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$.
解析
【分析】
解题首先要明确题中给出的高度h与时间t的函数关系，已知物体下落的高度是14.7m，即已知h的值求对应的t值。第一步将h=14.7代入给定的关系式，得到关于t的一元二次方程；第二步用直接开平方法解这个方程；第三步结合时间为正数的实际意义，舍去不符合要求的负根，最终得到正确的时间。
【解析】
解：根据题意，将h=14.7代入关系式$h=4.9t^2$，可得：
$14.7=4.9t^2$
方程两边同时除以4.9，得：
$t^2=3$
开平方得：$t=\sqrt{3}$ 或 $t=-\sqrt{3}$
∵下落时间t为正数，
∴$t=-\sqrt{3}$不符合实际意义，舍去
∴$t=\sqrt{3}$
答：物体到达地面需要$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$。
【答案】
$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
【知识点】
一元二次方程应用；直接开平方法解方程；实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的基础应用，解题核心是准确代入已知量建立方程，解方程后要注意结合实际场景的逻辑要求，排除不符合题意的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确题中给出的高度h与时间t的函数关系，已知物体下落的高度是14.7m，即已知h的值求对应的t值。第一步将h=14.7代入给定的关系式，得到关于t的一元二次方程；第二步用直接开平方法解这个方程；第三步结合时间为正数的实际意义，舍去不符合要求的负根，最终得到正确的时间。
【解析】
解：根据题意，将h=14.7代入关系式$h=4.9t^2$，可得：
$14.7=4.9t^2$
方程两边同时除以4.9，得：
$t^2=3$
开平方得：$t=\sqrt{3}$ 或 $t=-\sqrt{3}$
∵下落时间t为正数，
∴$t=-\sqrt{3}$不符合实际意义，舍去
∴$t=\sqrt{3}$
答：物体到达地面需要$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$。
【答案】
$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
【知识点】
一元二次方程应用；直接开平方法解方程；实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的基础应用，解题核心是准确代入已知量建立方程，解方程后要注意结合实际场景的逻辑要求，排除不符合题意的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
14.(10分)(如皋期末)已知$2a-1$的平方根是$\pm 3$,$3a+b+1$的立方根是3.
(1)求$a,b$的值;
(2)求$a+b$的算术平方根.
(1)求$a,b$的值;
(2)求$a+b$的算术平方根.
答案
14.解:(1)由题意得$\begin{cases}2a-1=9,\\3a+b+1=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=5,\\b=11.\end{cases}$
(2)由(1)得$a+b=16,\therefore a+b$的算术平方根为4.
(2)由(1)得$a+b=16,\therefore a+b$的算术平方根为4.
解析
【分析】
解题时首先回忆相关概念：①若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²；②若一个数的立方根是n，那么这个数等于n³。对于第(1)问，我们可以根据上述两个性质分别列出关于a、b的方程，联立求解即可得到a、b的值。第(2)问先代入a、b的值求出a+b的和，再根据算术平方根是非负平方根的定义，求出a+b的算术平方根即可。
【解析】
(1) 由平方根的定义可知，$2a-1$是$\pm3$的平方，因此：
$2a-1=(\pm3)^2=9$
解得$2a=10$，即$a=5$。
再由立方根的定义可知，$3a+b+1$是3的立方，因此：
$3a+b+1=3^3=27$
把$a=5$代入上式得：$3×5 + b +1=27$，即$16+b=27$，解得$b=11$。
因此$\begin{cases}a=5,\\b=11.\end{cases}$
(2) 由(1)的结果可得$a+b=5+11=16$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因为$4^2=16$，所以16的算术平方根为4，即$a+b$的算术平方根为4。
【答案】
(1)$\begin{cases}a=5,\\b=11.\end{cases}$
(2)$4$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题考查平方根、立方根和算术平方根的基础概念，解题核心是根据各类根的定义列方程求解，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相关概念：①若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²；②若一个数的立方根是n，那么这个数等于n³。对于第(1)问，我们可以根据上述两个性质分别列出关于a、b的方程，联立求解即可得到a、b的值。第(2)问先代入a、b的值求出a+b的和，再根据算术平方根是非负平方根的定义，求出a+b的算术平方根即可。
【解析】
(1) 由平方根的定义可知，$2a-1$是$\pm3$的平方，因此：
$2a-1=(\pm3)^2=9$
解得$2a=10$，即$a=5$。
再由立方根的定义可知，$3a+b+1$是3的立方，因此：
$3a+b+1=3^3=27$
把$a=5$代入上式得：$3×5 + b +1=27$，即$16+b=27$，解得$b=11$。
因此$\begin{cases}a=5,\\b=11.\end{cases}$
(2) 由(1)的结果可得$a+b=5+11=16$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因为$4^2=16$，所以16的算术平方根为4，即$a+b$的算术平方根为4。
【答案】
(1)$\begin{cases}a=5,\\b=11.\end{cases}$
(2)$4$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题考查平方根、立方根和算术平方根的基础概念，解题核心是根据各类根的定义列方程求解，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
15.(10分)(1)已知a,b满足$\sqrt{2a+6}+|b-1|=0$，求$b-a$的算术平方根；
(2)如果一个正数m的两个平方根分别是$2a-3$和$a-9$，求$2m-2$的值。
(2)如果一个正数m的两个平方根分别是$2a-3$和$a-9$，求$2m-2$的值。
答案
15.解:(1)由题意得$2a+6=0,b-1=0$,解得$a=-3,b=1$.
$\therefore b-a=1-(-3)=4,\therefore b-a$的算术平方根为2.
(2)根据题意,得$2a-3+a-9=0$,解得$a=4$,
$\therefore 2a-3=2×4-3=5,\therefore$正数$m$为$5^2=25$,
$\therefore 2m-2=2×25-2=48$,即$2m-2$的值是48.
$\therefore b-a=1-(-3)=4,\therefore b-a$的算术平方根为2.
(2)根据题意,得$2a-3+a-9=0$,解得$a=4$,
$\therefore 2a-3=2×4-3=5,\therefore$正数$m$为$5^2=25$,
$\therefore 2m-2=2×25-2=48$,即$2m-2$的值是48.
解析
【分析】
(1) 算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数的值都为0，据此可列方程求出a、b的值，再计算$b-a$的结果，最后求其算术平方根即可。
(2) 正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列方程求出a的值，代入其中一个平方根的表达式，将结果平方得到m的值，最后代入$2m-2$计算即可。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：
$\begin{cases}2a+6=0 \\ b-1=0\end{cases}$
解得$a=-3$，$b=1$。
$\therefore b-a=1-(-3)=4$，
4的算术平方根为2，即$b-a$的算术平方根是2。
(2) 由正数的两个平方根互为相反数得：
$2a-3+a-9=0$
合并同类项得$3a-12=0$，解得$a=4$。
将$a=4$代入$2a-3$得：$2×4-3=5$，
$\therefore$正数$m=5^2=25$，
$\therefore2m-2=2×25-2=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{48}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 平方根的性质
3. 算术平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，核心考查非负性的应用和平方根的相关性质，解题时要熟练运用隐含条件：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0；正数的两个平方根互为相反数，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
(1) 算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数的值都为0，据此可列方程求出a、b的值，再计算$b-a$的结果，最后求其算术平方根即可。
(2) 正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列方程求出a的值，代入其中一个平方根的表达式，将结果平方得到m的值，最后代入$2m-2$计算即可。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：
$\begin{cases}2a+6=0 \\ b-1=0\end{cases}$
解得$a=-3$，$b=1$。
$\therefore b-a=1-(-3)=4$，
4的算术平方根为2，即$b-a$的算术平方根是2。
(2) 由正数的两个平方根互为相反数得：
$2a-3+a-9=0$
合并同类项得$3a-12=0$，解得$a=4$。
将$a=4$代入$2a-3$得：$2×4-3=5$，
$\therefore$正数$m=5^2=25$，
$\therefore2m-2=2×25-2=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{48}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 平方根的性质
3. 算术平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，核心考查非负性的应用和平方根的相关性质，解题时要熟练运用隐含条件：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0；正数的两个平方根互为相反数，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
16.(12分)(2024春·鼓楼区月考)数学课上,老师出了一道题:比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.
小华的方法:
因为$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-2$
小英的方法:
$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$,因为$19＞4^2=16$,所以$\sqrt{19}-4$
所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$
(1)根据上述材料填空;
(2)请从小华和小英的方法中选择一种,比较$\frac{\sqrt{6}-1}{4}$与$\frac{1}{2}$的大小.
小华的方法:
因为$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-2$
＞
$2$,所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$ ＞
$\frac{2}{3}$;(均填“＞”或“＜”)小英的方法:
$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$,因为$19＞4^2=16$,所以$\sqrt{19}-4$
＞
$0$,所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}$ ＞
$0$,所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$
＞
$\frac{2}{3}$.(均填“＞”或“＜”)(1)根据上述材料填空;
(2)请从小华和小英的方法中选择一种,比较$\frac{\sqrt{6}-1}{4}$与$\frac{1}{2}$的大小.
答案
16.(1)＞ ＞ ＞ ＞ ＞
(2)解:$\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{4}$.
因为$6＜9$,所以$\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}-3＜0$,
所以$\frac{\sqrt{6}-3}{4}＜0$,即$\frac{\sqrt{6}-1}{4}＜\frac{1}{2}$.
(2)解:$\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{4}$.
因为$6＜9$,所以$\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}-3＜0$,
所以$\frac{\sqrt{6}-3}{4}＜0$,即$\frac{\sqrt{6}-1}{4}＜\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查实数大小的比较，解题思路如下：
（1）小华的方法：先估算无理数$\sqrt{19}$的取值范围，由$4^2=16＜19$可得$\sqrt{19}＞4$，再推导分子$\sqrt{19}-2$与2的大小关系，根据“分母相同的正分数，分子越大分数越大”即可判断两个分数的大小；
小英的方法：采用作差法比较大小，先计算两个数的差，再判断差的正负：若差＞0，则被减数大于减数；若差＜0，则被减数小于减数。先根据$\sqrt{19}＞4$判断$\sqrt{19}-4$的正负，进而得到差的正负，即可比较大小。
（2）选择作差法解题时，先计算两个数的差，再估算$\sqrt{6}$的大小，由$\sqrt{6}＜\sqrt{9}=3$可判断差的正负，从而得到两个数的大小关系。
【解析】
(1) 小华的方法：
$\because \sqrt{19}＞4$，不等式两边同时减2得$\sqrt{19} - 2＞4 - 2 = 2$，
两个分数分母均为3且为正数，分子越大分数越大，
$\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$；
小英的方法：
两数作差得$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$，
$\because 19＞4^2=16$，$\therefore \sqrt{19}＞4$，不等式两边减4得$\sqrt{19} - 4＞0$，
正数除以正数仍为正数，$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$，
即两个数的差大于0，$\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$；
(2) 选择作差法解答：
计算两数的差：$\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{6}-3}{4}$，
$\because 6＜9$，$\therefore \sqrt{6}＜\sqrt{9}=3$，
不等式两边减3得：$\sqrt{6}-3＜0$，
负数除以正数仍为负数，$\therefore \frac{\sqrt{6}-3}{4}＜0$，
即$\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{1}{2}＜0$，可得$\frac{\sqrt{6}-1}{4}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$
(2) $\boxed{\frac{\sqrt{6}-1}{4}＜\frac{1}{2}}$
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；作差法比较大小
【点评】
本题考查实数大小比较的两种常用方法：估算法和作差法，两种都是比较实数大小的基础方法，其中作差法适用性更广，估算法更适合含有无理数的大小比较，解题时可根据题目特点灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
本题考查实数大小的比较，解题思路如下：
（1）小华的方法：先估算无理数$\sqrt{19}$的取值范围，由$4^2=16＜19$可得$\sqrt{19}＞4$，再推导分子$\sqrt{19}-2$与2的大小关系，根据“分母相同的正分数，分子越大分数越大”即可判断两个分数的大小；
小英的方法：采用作差法比较大小，先计算两个数的差，再判断差的正负：若差＞0，则被减数大于减数；若差＜0，则被减数小于减数。先根据$\sqrt{19}＞4$判断$\sqrt{19}-4$的正负，进而得到差的正负，即可比较大小。
（2）选择作差法解题时，先计算两个数的差，再估算$\sqrt{6}$的大小，由$\sqrt{6}＜\sqrt{9}=3$可判断差的正负，从而得到两个数的大小关系。
【解析】
(1) 小华的方法：
$\because \sqrt{19}＞4$，不等式两边同时减2得$\sqrt{19} - 2＞4 - 2 = 2$，
两个分数分母均为3且为正数，分子越大分数越大，
$\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$；
小英的方法：
两数作差得$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$，
$\because 19＞4^2=16$，$\therefore \sqrt{19}＞4$，不等式两边减4得$\sqrt{19} - 4＞0$，
正数除以正数仍为正数，$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$，
即两个数的差大于0，$\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$；
(2) 选择作差法解答：
计算两数的差：$\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{6}-3}{4}$，
$\because 6＜9$，$\therefore \sqrt{6}＜\sqrt{9}=3$，
不等式两边减3得：$\sqrt{6}-3＜0$，
负数除以正数仍为负数，$\therefore \frac{\sqrt{6}-3}{4}＜0$，
即$\frac{\sqrt{6}-1}{4}-\frac{1}{2}＜0$，可得$\frac{\sqrt{6}-1}{4}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$
(2) $\boxed{\frac{\sqrt{6}-1}{4}＜\frac{1}{2}}$
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；作差法比较大小
【点评】
本题考查实数大小比较的两种常用方法：估算法和作差法，两种都是比较实数大小的基础方法，其中作差法适用性更广，估算法更适合含有无理数的大小比较，解题时可根据题目特点灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
