1. 下列关系式中，属于二次函数的是 （）

A.$y=\dfrac{x^2}{3}$
B.$y=\sqrt{x^2 - 4}$
C.$y=\dfrac{1}{x^2 - 3}$
D.$y=x - 3$

1.A

2. [2025 福建]已知点$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上，若$3＜b＜4$，则下列判断正确的是（）

A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$

2.A

3. [2026杭州期中]若抛物线$y=(x+m)^2 + m +1$向右平移2个单位长度，所得的抛物线的顶点在第一象限，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞0$
B.$-1＜m＜2$
C.$m＜-1$
D.$m＞2$

3.B

4.如图，抛物线$y=x^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则$c=$（）

A.−1
B.−2
C.−3
D.−4

4.B 【点拨】如图，过点 A 作 $AE⊥ x$ 轴，垂足为 E. $\because$ 四边形 OABC 为正方形，对角线 OB 在 y 轴上，$\therefore∠ AOB=45°.\therefore∠ AOE=45°.\therefore$ 易得 $OE=AE$.
设点 $A(m,-m)$，则易得 $B(0,-2m)$，将点 A，B 的坐标分别代入抛物线的表达式，得 $\begin{cases}m^2+c=-m,\\c=-2m,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\c=-2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=0,\\c=0\end{cases}$（舍去），$\therefore c=-2.$

5. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点为$P(-1,k)$，且经过点$A(-3,0)$，其部分图象如图所示. 下面四个结论：①$abc＞0$；②$b=-2a$；③若点$N(t,n)$在此抛物线上且$n＜c$，则$t＞0$或$t＜-2$；④对于任意实数$t$，都有$a(t^2-1)+b(t+1)≤0$成立. 其中正确的有()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

5.D 【点拨】$\because$ 抛物线的顶点 P 的坐标为 $(-1,k),\therefore$ 对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=-1.\therefore b=2a$，故②错误；$\because$ 抛物线的开口向下，$\therefore a＜0.\therefore b＜0.\because$ 抛物线与 y 轴交于正半轴，$\therefore c＞0.\therefore abc＞0$，故①正确；对于 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当 $x=0$ 时，$y=c$，$\therefore$ 图象过点 $(0,c).\because$ 对称轴为直线 $x=-1$，$\therefore$ 点 $(0,c)$ 关于对称轴的对称点为 $(-2,c).\because$ 抛物线的开口向下，$\therefore$ 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小. $\because$ 点 $N(t,n)$ 在此抛物线上且 $n＜c$，$\therefore t＞0$ 或 $t＜-2$，故③正确；$\because$ 当 $x=-1$ 时，y 取最大值，为 $a-b+c$，$\therefore$ 对于任意实数 $t$，$at^2+bt+c≤ a-b+c$，即 $a(t^2-1)+b(t+1)≤0$，故④正确.
$\therefore$ 正确的有 3 个.

6. [淮南实验中学自主招生] 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，规定函数$y=\begin{cases}ax^2+bx+c&(x≥0),\\-ax^2-bx-c&(x＜0)\end{cases}$是它的相关函数. 已知点$M,N$的坐标分别为$(-\dfrac{1}{2},1),(\dfrac{9}{2},1)$，连接$MN$，若线段$MN$与二次函数$y=-x^2+4x+n$的相关函数的图象有两个公共点，则$n$的取值范围为（ ）

A.$-3＜n≤-1$或$1＜n≤\dfrac{5}{4}$
B.$-3＜n＜-1$或$1≤ n≤\dfrac{5}{4}$
C.$n≤-1$或$1＜n≤\dfrac{5}{4}$
D.$-3＜n＜-1$或$n≥1$

6.A 【点拨】如图①，线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 1 个公共点. $\therefore$ 当 $x=2$ 时，$y=1$，即 $-4+8+n=1$，解得 $n=-3$.
如图②，线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点.
$\because$ 抛物线 $y=x^2-4x-n$ 与 y 轴交点的纵坐标为 1，$\therefore -n=1$，解得 $n=-1$. $\therefore$ 当 $-3＜n≤-1$ 时，线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点.
如图③，线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 3 个公共点. $\because$ 抛物线 $y=-x^2+4x+n$ 经过点 $(0,1)$，$\therefore n=1$. 如图④，线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点.
$\because$ 抛物线 $y=x^2-4x-n$ 经过点 $M(-\dfrac{1}{2},1),\therefore \dfrac{1}{4}+2-n=1$，解得 $n=\dfrac{5}{4}.\therefore$ 当 $1＜n≤\dfrac{5}{4}$ 时，线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点. 综上所述，$n$ 的取值范围是 $-3＜n≤-1$ 或 $1＜n≤\dfrac{5}{4}$.

7. 新视角结论开放题 一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是。

7.$y=-x^2+1$(答案不唯一)

8. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(0,2)$,点 B 的坐标为$(4,2)$.若抛物线 $y=-\frac{3}{2}(x-h)^2+k(h,k$ 为常数$)$与线段 AB 交于 C,D 两点,且$CD=\frac{1}{2}AB$,则 k 的值为.

8.$\dfrac{7}{2}$ 【点拨】$\because$ 点 A 的坐标为 $(0,2)$，点 B 的坐标为 $(4,2)$，$\therefore AB=4.\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2+k(h,k$ 为常数) 与线段 AB 交于 C,D 两点，且 $CD=\dfrac{1}{2}AB,\therefore CD=2,\therefore$ 设点 C 的坐标为 $(c,2)$，则点 D 的坐标为 $(c+2,2),\therefore h=\dfrac{2c+2}{2}=c+1.\therefore 2=-\dfrac{3}{2}[c-(c+1)]^2+k$，解得 $k=\dfrac{7}{2}$.

9. 在平面直角坐标系中,若抛物线 $ y=a(x-2)^2 + c(a≠0) $ 向左平移2个单位长度后经过点(-1,6),则ac的最大值为.

9.9 【点拨】$\because$ 抛物线 $y=a(x-2)^2+c(a≠0)$ 向左平移 2 个单位长度后可得到抛物线 $y=ax^2+c$，$\therefore$ 将点 $(-1,6)$ 的坐标代入 $y=ax^2+c$，得 $a+c=6.\because (a-c)^2≥0,\therefore a^2-2ac+c^2≥0,\therefore a^2+c^2+2ac≥4ac,\therefore (a+c)^2≥4ac,\therefore ac≤\dfrac{(a+c)^2}{4}=\dfrac{36}{4}=9,\therefore$ 当且仅当 $a=c=3$ 时取等号，此时 ac 有最大值，为 9.

10. [全国竞赛]如图,在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则二次函数$y=(x-m)^2 - m$的图象与正方形OABC有交点时,m的最大值和最小值的差为.

10.$\dfrac{7+\sqrt{17}}{2}$ 【点拨】易知二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 图象的顶点 $(m,-m)$ 在直线 $y=-x$ 上运动，如图.
$\because$ 在正方形 OABC 中，点 $A(0,2)$，点 $C(2,0),\therefore B(2,2)$. 从图象可以看出，当函数图象从左向右运动且与正方形有交点时，先经过点 A，再逐渐经过点 O，点 B，……，最后再经过点 B，且在运动的过程中，两次经过点 A，点 O，点 B 和点 C，$\therefore$ 只需求出当函数图象经过点 A 及点 B 时 m 的值，即可求出 m 的最大值和最小值. 当二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象经过点 $A(0,2)$ 时，$2=m^2-m$，解得 $m=2$ 或 $m=-1$；当二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象经过点 $B(2,2)$ 时，$2=(2-m)^2-m$，解得 $m=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}$ 或 $m=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}.\therefore$ 二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象与正方形 OABC 有交点时，m 的最大值和最小值分别是 $\dfrac{5+\sqrt{17}}{2},-1,\therefore$ 最大值与最小值的差为 $\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}-(-1)=\dfrac{7+\sqrt{17}}{2}$.