5. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 分别交x轴于 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，且与y轴交于点 $ C(0,-3) $。
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
(2)将该抛物线绕点 $ (4,0) $ 旋转 $ 180° $，求旋转后的抛物线的表达式。

(1)由题意可知抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$,将点$C(0,-3)$的坐标代入上式,得$-3a=-3$,
∴$a=1$,
∴抛物线的表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$.
∴顶点P的坐标为$(1,-4)$.
(2)设旋转后抛物线的顶点坐标为$Q(m,n)$.
由题知点$(4,0)$为连接顶点$P(1,-4)$和$Q(m,n)$的线段的中点,
∴$\frac{m+1}{2}=4$,$\frac{n-4}{2}=0$,解得$m=7$,$n=4$.
∴点Q的坐标为$(7,4)$.
∵旋转前后图象的形状不变,开口方向相反,
∴旋转后的抛物线的表达式为$y=-(x-7)^2+4$.
点方法 求对称变换后的抛物线表达式的关键要注意两点:一是开口方向是否发生改变;二是顶点坐标的变化情况.

6. ⁇⁇ [2025 吉林] 如图，在$△ ABC$中，$AB=3\sqrt{2}$，$BC=5$，$∠ BAC=45°$. 动点$P$从点$A$出发，沿边$AC$以每秒1个单位长度的速度向终点$C$匀速运动. 当点$P$出发后，以$AP$为边作正方形$APDE$，使点$D$和点$B$始终在边$AC$同侧. 设点$P$的运动时间为$x(\mathrm{s})(x＞0)$，正方形$APDE$与$△ ABC$重叠部分图形的面积为$y$(平方单位).
(1)$AC$的长为.
(2)求$y$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
(3)当正方形$APDE$的对称中心与点$B$重合时，直接写出$x$的值.

(1)7
(2)由题知$0＜x≤7$.当点D在线段AB上时,
$y=\frac{1}{2}AP·DP=\frac{1}{2}x^2(0＜x≤3)$.
当点D在线段AB的延长线上时,如图,过点B作$BP'⊥AC$于$P'$,则点P在线段$P'C$上运动,设DP与BC交于点F,则易得$AP=x$,$CP'=4$,$BP'=AP'=3$,
∴$PP'=x-3$,$CP=7-x$,易知$FP// BP'$,
∴$∠CFP=∠CBP'$,$∠CPF=∠CP'B$,
∴$△CFP∽△CBP'$,
∴$\frac{CP}{CP'}=\frac{FP}{BP'}$,
∴$\frac{7-x}{4}=\frac{FP}{3}$,
解得$FP=\frac{21-3x}{4}$,
∴$y=S_{△AP'B}+S_{梯形P'PFB}=\frac{1}{2}×3^2 + \frac{3+\frac{21-3x}{4}}{2}×(x-3)=-\frac{3}{8}(x-7)^2+\frac{21}{2}(3＜x≤7)$,
∴$y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2 (0＜x≤3),\\-\frac{3}{8}(x-7)^2+\frac{21}{2}(3＜x≤7).\end{cases}$
(3)$x=6$.
【点拨】当正方形$APDE$的对称中心与点B重合时,$AD=2AB=6\sqrt{2}$,
∵$AP=DP$,$AP^2+DP^2=AD^2$,
∴$2AP^2=72$,解得$AP=6$(负值已舍去),
∴$x=6$.