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三、解答题(共40分)
11.(10分)已知二次函数$y=x^2 -kx +k -5$.
(1)若此二次函数图象的对称轴为直线$x=1$.
①求二次函数的表达式；
②直接写出二次函数的最小值.
(2)当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，求$k$的取值范围.
11.(10分)已知二次函数$y=x^2 -kx +k -5$.
(1)若此二次函数图象的对称轴为直线$x=1$.
①求二次函数的表达式；
②直接写出二次函数的最小值.
(2)当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，求$k$的取值范围.
答案
11.【解】(1)①由题意，得 $a=1,b=-k,c=k-5$，$\therefore$ 对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{k}{2}=1$，解得 $k=2$.
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$.
②二次函数的最小值是 $-4$.
(2)$\because$ 二次函数 $y=x^2-kx+k-5,a=1＞0$，$\therefore$ 其图象开口向上.
$\because$ 当 $x≤1$ 时，y 随 x 的增大而减小，$\therefore$ 对称轴位于直线 $x=1$ 的右侧或对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore \dfrac{k}{2}≥1$，解得 $k≥2$.
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$.
②二次函数的最小值是 $-4$.
(2)$\because$ 二次函数 $y=x^2-kx+k-5,a=1＞0$，$\therefore$ 其图象开口向上.
$\because$ 当 $x≤1$ 时，y 随 x 的增大而减小，$\therefore$ 对称轴位于直线 $x=1$ 的右侧或对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore \dfrac{k}{2}≥1$，解得 $k≥2$.
12.(12分) [2026天津武清区模拟] 如图,已知抛物线的顶点坐标为(-1,4),且与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标;
(2)若P是抛物线对称轴上的一个动点,当△PBC周长最小时,求点P的坐标.
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标;
(2)若P是抛物线对称轴上的一个动点,当△PBC周长最小时,求点P的坐标.
答案
12.【解】(1)$\because$ 抛物线的顶点坐标为 $(-1,4)$，$\therefore$ 设抛物线的表达式为 $y=a(x+1)^2+4$，将点 $A(-3,0)$ 代入上式，得 $0=a(-3+1)^2+4$，解得 $a=-1$，$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$.
当 $x=0$ 时，$y=3$，$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(0,3)$.
(2)$\because BC$ 为定值，$\therefore$ 当 $PB+PC$ 最小时，$△ PBC$ 的周长最小.
根据抛物线的对称性可得，点 B 和点 A 关于对称轴对称，如图，连接 AC，交对称轴于一点 P，此时 $PB+PC=AP+PC=AC$，易知 AC 的长即为 $PB+PC$ 的最小值.
设直线 AC 的表达式为 $y=kx+b$，将 $A(-3,0),C(0,3)$ 的坐标分别代入 $y=kx+b$，得 $\begin{cases}b=3,\\0=-3k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=3,\\k=1.\end{cases}$
$\therefore y=x+3.\therefore$ 当 $x=-1$ 时，$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点 P 的坐标为 $(-1,2)$.
13.(18分) [2025 浙江]已知抛物线 $y=x^2 -ax +5$（$a$为常数）经过点$(1,0)$.
(1)求$a$的值；
(2)过点$A(0,t)$与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点$B$为线段$AC$的中点，求$t$的值；
(3)设$m＜3＜n$，抛物线的一段 $y=x^2 -ax +5\ (m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间.若直线$l_1,l_2$之间的距离为16，求$n-m$的最大值.
(1)求$a$的值；
(2)过点$A(0,t)$与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点$B$为线段$AC$的中点，求$t$的值；
(3)设$m＜3＜n$，抛物线的一段 $y=x^2 -ax +5\ (m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间.若直线$l_1,l_2$之间的距离为16，求$n-m$的最大值.
答案
13.【解】(1)把 $(1,0)$ 代入 $y=x^2-ax+5$，得 $1-a+5=0$，解得 $a=6$.
(2)由(1)知 $y=x^2-6x+5$，$\therefore$ 易知对称轴为直线 $x=3$.
$\because$ 过点 $A(0,t)$ 与 x 轴平行的直线交抛物线于 B,C 两点，$\therefore B,C$ 两点关于对称轴对称，B,C 的纵坐标均为 t.
又 $\because B$ 为线段 AC 的中点，$\therefore x_C=2x_B,\therefore \dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{3}{2}x_B=3,\therefore x_B=2$，将 $x=2$ 代入 $y=x^2-6x+5$，得 $y=2^2-6×2+5=-3$，$\therefore t=-3$.
(3) $\because y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$，$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(3,-4)$，如图，易知当直线 $l_2$ 恰好经抛物线的顶点 $(3,-4)$，m,n 为另一条直线 $l_1$ 与抛物线交点的横坐标时，此时 $n-m$ 取得最大值.
$\therefore l_2:y=-4$.
又 $\because$ 直线 $l_1,l_2$ 之间的距离为 16，为定值，$\therefore l_1:y=16-4=12$.
$\therefore$ 当 $x^2-6x+5=12$ 时，解得 $x_1=7,x_2=-1$，$\therefore n=7,m=-1,\therefore n-m$ 的最大值为 $7-(-1)=8$.
