1.某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB=30 m，池底最深处距离水平地面5 m，原来的水面宽CD=24 m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为。

0.8 m 【点拨】由题意可得,抛物线的顶点坐标为(0,-5),且过点(15,0),
∴ 设池底所在抛物线的表达式为$y=ax^{2}-5$,把点(15,0)的坐标代入表达式可得$0=15^{2}a-5$,解得$a=\frac{1}{45}$,$\therefore y=\frac{1}{45}x^{2}-5$,当池塘中水面的宽度减少为原来的一半,即12 m时,易知$x=\pm 6$,$\therefore y=\frac{1}{45}× 6^{2}-5=-4.2$,$\therefore$ 此时最深处到水面的距离为$5-4.2=0.8(\mathrm{m})$。

2. 一题多解 [2025 广东] 如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km. 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.

【解】(答案不唯一)建立平面直角坐标系,如图所示：

则抛物线顶点坐标为$(0,0.0015)$,$A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$,即$A(0.85,0.18)$,
设该抛物线的表达式为$y=ax^{2}+0.0015$,
将$A(0.85,0.18)$代入$y=ax^{2}+0.0015$得
$0.18=0.85^{2}a+0.0015$,解得$a=\frac{21}{85}$,
∴该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^{2}+0.0015$。
点方法 本题答案不唯一,建立不同的平面直角坐标系,可得不同的抛物线表达式. 一般以顶点为原点建立平面直角坐标系比较简便。

3. 某隧道的截面由抛物线和长方形 $ OAB_1B $ 构成，若隧道宽度 $ OA $ 为12 m，最高处离地面10 m，长方形宽为4 m. 如图，现以O点为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求出抛物线的表达式(并写出自变量的取值范围).
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果路灯离地面的高度不超过8 m，那么两排路灯的水平距离最小是多少？

【解】(1)
∵隧道宽度 OA 为 12 m,最高处离地面 10 m,
∴抛物线的顶点坐标为$(6,10)$。
∴设抛物线的表达式为$y=a(x-6)^{2}+10$。
∵长方形的宽为 4 m,
∴抛物线经过点$B(0,4)$。
把$B(0,4)$的坐标代入$y=a(x-6)^{2}+10$,
∴$4=36a+10$,$\therefore a=-\frac{1}{6}$,
∴$y=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+10=-\frac{1}{6}x^{2}+2x+4$,
∴该抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x+4(0≤ x≤ 12)$。
(2)由(1)知该抛物线的顶点坐标为$(6,10)$。
∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为 4 m,隧道内设双向车道,
∴货运汽车靠路面中心线行驶时,则其另一侧与地面交点的横坐标为$6-4=2$或$6+4=10$,
∴当$x=2$时,$y=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+10=-\frac{1}{6}× (2-6)^{2}+10=\frac{22}{3}＞6$,当$x=10$时,$y=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+10=-\frac{1}{6}× (10-6)^{2}+10=\frac{22}{3}＞6$。
∴这辆货运汽车能安全通过。
(3)由(1)知$y=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+10$,
依题意,令$y=8$,则$8=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+10$,
∴$(x-6)^{2}=12$,解得$x_{1}=6+2\sqrt{3}$,$x_{2}=6-2\sqrt{3}$,
则$x_{1}-x_{2}=6+2\sqrt{3}-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}$,
∴两排路灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。