13 定义:由边长为1的小正方形构成的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点。如图,已知在5×5的网格图形中,△ABC的顶点A、B、C都在格点上。请按要求完成下列问题:
(1) $S_{△ ABC} =$ 。
(2) 请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P,使 $S_{△ ACP} = \frac{1}{5}S_{△ ABC}$。(不要求写作法,但保留作图痕迹,写出结论)

13 (1) 4 (2) 如图,点 P 即为所求。

【分析】
（1）求网格中不规则三角形的面积，优先采用割补法：将三角形置于一个规则的矩形内，用矩形面积减去周围几个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积。
（2）△ACP和△ABC以C为公共顶点、底边均在AB上，二者高相同，根据三角形面积公式，面积比等于底边长的比，因此可得AP:AB=1:5，即AP:PB=1:4。接下来仅用无刻度直尺，利用格点构造相似比为1:4的相似三角形，使对应边的交点落在AB上，该交点即为所求的点P。
【解析】
（1）设每个小正方形的边长为1，选取包围△ABC的矩形，横向占3格、纵向占3格，矩形面积为$3×3=9$。
△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：
①左侧直角三角形：底1、高3，面积为$\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
②右侧直角三角形：底2、高2，面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$；
③下方直角三角形：底3、高1，面积为$\frac{1}{2}×3×1=1.5$。
因此$S_{△ABC}=9 - 1.5 - 2 - 1.5=4$。
（2）由$S_{△ACP} = \frac{1}{5}S_{△ABC}$，两三角形同高，故$\frac{AP}{AB}=\frac{1}{5}$，即AP:PB=1:4。利用格点构造与AB相交、对应边比为1:4的相似三角形，交点即为点P。
【答案】
(1) 4
(2) 如图，点 P 即为所求。
【知识点】
割补法求面积、相似三角形的性质、格点作图
【点评】
本题结合网格考查三角形面积计算和相似性质的应用，割补法是求解网格中不规则图形面积的常用方法，作图时需灵活运用同高三角形面积比等于底之比的性质，通过格点构造相似得到对应比例的线段交点。
【难度系数】
0.7

14 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BD是四边形ABCD的对角线,$BD^2 = AD · BC$。
(1) 求证:$AD · CD = AB · BD$。
(2) 以CD为一边作$∠ CDE = ∠ ADB$,DE交边BC于点E,求证:$\frac{CD^2}{BD^2} = \frac{CE}{AD}$。

14 (1) 因为$AD // BC$,所以$∠ADB = ∠CBD$。因为$BD^2 = AD · BC$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$,所以$△ADB ∽ △DBC$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{CD}$,所以$AD · CD = AB · BD$。
(2) 由(1)得$∠ADB = ∠CBD$,所以$∠CDE = ∠CBD$。因为$∠C = ∠C$,所以$△CDE ∽ △CBD$,所以$\frac{EC}{CD}=\frac{CD}{BC}$,所以$CD^2 = EC · BC$。又因为$BD^2 = AD · BC$,所以$\frac{CD^2}{BD^2}=\frac{EC · BC}{AD · BC}=\frac{CE}{AD}$。

【分析】
(1) 要证明$AD·CD = AB·BD$，可先将等积式转化为比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{CD}$，即需证明$△ ADB$和$△ DBC$相似。首先由$AD// BC$可得内错角$∠ADB=∠CBD$，再将已知$BD^2 = AD·BC$变形为比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$，即可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明两三角形相似，最后由相似三角形对应边成比例即可推导得证。
(2) 要证明$\frac{CD^2}{BD^2} = \frac{CE}{AD}$，首先结合已知$∠CDE=∠ADB$与(1)的结论$∠ADB=∠CBD$，可得$∠CDE=∠CBD$，加上公共角$∠C$相等，可证明$△ CDE∽△ CBD$，得到$CD^2=CE·BC$，再结合已知$BD^2=AD·BC$，将两式作比约去公共项$BC$即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADB = ∠CBD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BD^2 = AD · BC$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$（比例的基本性质）。
在$△ ADB$和$△ DBC$中：
$\begin{cases}\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC} \\∠ADB = ∠CBD\end{cases}$
$\therefore △ ADB ∽ △ DBC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AB}{CD}$（相似三角形对应边成比例），
交叉相乘得：$AD · CD = AB · BD$。
(2) 证明：
由(1)得$∠ADB = ∠CBD$，
$\because ∠CDE = ∠ADB$，
$\therefore ∠CDE = ∠CBD$（等量代换）。
在$△ CDE$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠CDE = ∠CBD \\∠C = ∠C（公共角）\end{cases}$
$\therefore △ CDE ∽ △ CBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{EC}{CD}=\frac{CD}{BC}$（相似三角形对应边成比例），
交叉相乘得：$CD^2 = EC · BC$。
又$\because BD^2 = AD · BC$，
$\therefore \frac{CD^2}{BD^2}=\frac{EC · BC}{AD · BC}=\frac{CE}{AD}$。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) 证明成立，过程见解析。
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形综合应用的典型题型，解题关键是将待证等积式转化为比例式，结合已知条件寻找对应角、对应边的关系证明三角形相似，再利用相似性质推导结论，解题过程中需注意等量代换的合理运用。
【难度系数】
0.7

15 在$△ ABC$中，$AC=BC$。点$D$是射线$AC$上一点（不与$A$、$C$重合），点$F$在线段$BC$上，直线$DF$交直线$AB$于点$E$，$CD^2 = CF · CB$。
（1）如图，如果点$D$在$AC$的延长线上。
① 求证：$DE=BD$。
② 连接$CE$，如果$CE // BD$，$CE=2$，求$EF$的长。
（2）如果$DF:DE=1:2$，求$AE:EB$的值。

15 (1) ① 因为$CD^2 = CF · CB$,所以$\frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CB}$。又因为$∠DCB = ∠FCD$,所以$△DCB ∽ △FCD$,所以$∠DBC = ∠FDC$。因为$AC = BC$,所以$∠A = ∠CBA$。因为$∠DEB = ∠A + ∠EDA$,$∠DBA = ∠CBA + ∠DBC$。所以$∠DEB = ∠DBA$,所以$DE = BD$。
② 因为$CE // DB$,所以$∠BDF = ∠DEC$。又因为$DB = DE$,$∠DBF = ∠EDC$,所以$△DBF ≌ △EDC$,所以$CE = DF = 2$,所以$DE = DB = 2 + EF$。因为$CE // DB$,所以$\frac{CE}{BD}=\frac{EF}{DF}$,所以$\frac{2}{2+EF}=\frac{EF}{2}$,解得$EF =\sqrt{5} - 1$。
(2) 1° 当点 D 在 AC 延长线上时,如图①,过点 D 作$DH // AB$,交 BC 的延长线于点 H。因为$DH // AB$,$DF : DE = 1 : 2$,所以$DH = EB$,$∠H = ∠HBA = ∠A$。又因为$∠DBH = ∠EDA$,$BD = DE$,所以$△BHD ≌ △DAE$,所以$DH = AE = EB$,所以$AE : EB = 1$。
2° 当点 D 在边 AC 上时,如图②,过点 D 作$DG // AB$交 BC 于点 G。同理$△DCB ∽ △FCD$,所以$∠DBC = ∠FDC = ∠EDA$。因为$∠CBA = ∠CAB = ∠E + ∠EDA$,所以$∠E = ∠DBA = ∠GDB$,所以$DE = DB$,所以$△BGD ≌ △DAE$,所以$DG = AE$。又因为$DG // AB$,$DF : DE = 1 : 2$,所以$\frac{DG}{BE}=\frac{DF}{EF}=\frac{1}{3}$,所以$AE : EB = \frac{1}{3}$。

【分析】
（1）① 首先对已知条件$CD^2 = CF · CB$变形得到比例式，结合公共角$∠DCB=∠FCD$，可证△DCB与△FCD相似，得到对应角$∠DBC=∠FDC$；再利用等腰△ACB底角相等的性质，结合三角形外角的性质，推导$∠DEB=∠DBA$，根据等角对等边即可证$DE=BD$。
② 已知$CE// BD$，可得内错角相等，结合①中$DE=BD$和已得的角相等，可证△DBF≌△EDC，得到$DF=CE=2$；再利用平行线分线段成比例的性质，得到CE与BD、EF与DF的比例关系，列方程求解即可得到EF的长。
（2）本题需要分两种情况讨论：第一种是点D在AC的延长线上，作$DH// AB$构造全等三角形，结合$DF:DE=1:2$的比例关系可得$AE=EB$；第二种是点D在AC边上，作$DG// AB$，同理推导全等及比例关系，得到AE与EB的比值。
【解析】
(1) ① 证明：
$\because CD^2 = CF · CB$，$\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CB}$。
又$\because ∠DCB = ∠FCD$，$\therefore △DCB ∽ △FCD$，
$\therefore ∠DBC = ∠FDC$。
$\because AC = BC$，$\therefore ∠A = ∠CBA$。
$\because ∠DEB = ∠A + ∠EDA$，$∠DBA = ∠CBA + ∠DBC$，
$\therefore ∠DEB = ∠DBA$，$\therefore DE = BD$。
② 解：
$\because CE // DB$，$\therefore ∠BDF = ∠DEC$。
又$\because DB = DE$，$∠DBF = ∠EDC$，
$\therefore △DBF ≌ △EDC$，$\therefore CE = DF = 2$，
$\therefore DE = DB = 2 + EF$。
$\because CE // DB$，$\therefore \frac{CE}{BD}=\frac{EF}{DF}$，
代入得$\frac{2}{2+EF}=\frac{EF}{2}$，整理得$EF^2 + 2EF -4 =0$，
解得$EF =\sqrt{5} - 1$（负根不符合线段长度要求舍去）。
(2) 解：分两种情况讨论：
1° 当点 D 在 AC 延长线上时，如图①，过点 D 作$DH // AB$，交 BC 的延长线于点 H。
$\because DH // AB$，$DF : DE = 1 : 2$，$\therefore DH = EB$，$∠H = ∠HBA = ∠A$。
又$\because ∠DBH = ∠EDA$，$BD = DE$，$\therefore △BHD ≌ △DAE$，
$\therefore DH = AE = EB$，$\therefore AE : EB = 1$。
2° 当点 D 在边 AC 上时，如图②，过点 D 作$DG // AB$交 BC 于点 G。
同理可证$△DCB ∽ △FCD$，$\therefore ∠DBC = ∠FDC = ∠EDA$。
$\because ∠CBA = ∠CAB = ∠E + ∠EDA$，$\therefore ∠E = ∠DBA = ∠GDB$，$\therefore DE = DB$，
$\therefore △BGD ≌ △DAE$，$\therefore DG = AE$。
又$\because DG // AB$，$DF : DE = 1 : 2$，$\therefore \frac{DG}{BE}=\frac{DF}{EF}=\frac{1}{3}$，
$\therefore AE : EB = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1) ① 证明成立；② $\boxed{EF=\sqrt{5}-1}$
(2) $AE:EB$的值为$\boxed{1}$或$\boxed{\dfrac{1}{3}}$，对应辅助线图如下：
如图①
如图②
【知识点】
相似三角形判定与性质，等腰三角形性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形相似、全等的判定及性质，等腰三角形的性质，解题时需要结合分类讨论思想和辅助线构造解决问题，能较好地锻炼逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4