13 定义:由边长为1的小正方形构成的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点。如图,已知在5×5的网格图形中,△ABC的顶点A、B、C都在格点上。请按要求完成下列问题:
(1) $S_{△ ABC} =$ 。
(2) 请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P,使 $S_{△ ACP} = \frac{1}{5}S_{△ ABC}$。(不要求写作法,但保留作图痕迹,写出结论)

13 (1) 4 (2) 如图,点 P 即为所求。

14 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BD是四边形ABCD的对角线,$BD^2 = AD · BC$。
(1) 求证:$AD · CD = AB · BD$。
(2) 以CD为一边作$∠ CDE = ∠ ADB$,DE交边BC于点E,求证:$\frac{CD^2}{BD^2} = \frac{CE}{AD}$。

14 (1) 因为$AD // BC$,所以$∠ADB = ∠CBD$。因为$BD^2 = AD · BC$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$,所以$△ADB ∽ △DBC$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{CD}$,所以$AD · CD = AB · BD$。
(2) 由(1)得$∠ADB = ∠CBD$,所以$∠CDE = ∠CBD$。因为$∠C = ∠C$,所以$△CDE ∽ △CBD$,所以$\frac{EC}{CD}=\frac{CD}{BC}$,所以$CD^2 = EC · BC$。又因为$BD^2 = AD · BC$,所以$\frac{CD^2}{BD^2}=\frac{EC · BC}{AD · BC}=\frac{CE}{AD}$。

15 在$△ ABC$中，$AC=BC$。点$D$是射线$AC$上一点（不与$A$、$C$重合），点$F$在线段$BC$上，直线$DF$交直线$AB$于点$E$，$CD^2 = CF · CB$。
（1）如图，如果点$D$在$AC$的延长线上。
① 求证：$DE=BD$。
② 连接$CE$，如果$CE // BD$，$CE=2$，求$EF$的长。
（2）如果$DF:DE=1:2$，求$AE:EB$的值。

15 (1) ① 因为$CD^2 = CF · CB$,所以$\frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CB}$。又因为$∠DCB = ∠FCD$,所以$△DCB ∽ △FCD$,所以$∠DBC = ∠FDC$。因为$AC = BC$,所以$∠A = ∠CBA$。因为$∠DEB = ∠A + ∠EDA$,$∠DBA = ∠CBA + ∠DBC$。所以$∠DEB = ∠DBA$,所以$DE = BD$。
② 因为$CE // DB$,所以$∠BDF = ∠DEC$。又因为$DB = DE$,$∠DBF = ∠EDC$,所以$△DBF ≌ △EDC$,所以$CE = DF = 2$,所以$DE = DB = 2 + EF$。因为$CE // DB$,所以$\frac{CE}{BD}=\frac{EF}{DF}$,所以$\frac{2}{2+EF}=\frac{EF}{2}$,解得$EF =\sqrt{5} - 1$。
(2) 1° 当点 D 在 AC 延长线上时,如图①,过点 D 作$DH // AB$,交 BC 的延长线于点 H。因为$DH // AB$,$DF : DE = 1 : 2$,所以$DH = EB$,$∠H = ∠HBA = ∠A$。又因为$∠DBH = ∠EDA$,$BD = DE$,所以$△BHD ≌ △DAE$,所以$DH = AE = EB$,所以$AE : EB = 1$。
2° 当点 D 在边 AC 上时,如图②,过点 D 作$DG // AB$交 BC 于点 G。同理$△DCB ∽ △FCD$,所以$∠DBC = ∠FDC = ∠EDA$。因为$∠CBA = ∠CAB = ∠E + ∠EDA$,所以$∠E = ∠DBA = ∠GDB$,所以$DE = DB$,所以$△BGD ≌ △DAE$,所以$DG = AE$。又因为$DG // AB$,$DF : DE = 1 : 2$,所以$\frac{DG}{BE}=\frac{DF}{EF}=\frac{1}{3}$,所以$AE : EB = \frac{1}{3}$。