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8 如图，在四边形ABCD中，E是BD上的点，∠CDE=∠CAB=90°，DC=DE，AB=AC，那么AD：BE=
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
8.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
首先根据已知的直角和等边条件，判断△CDE和△CAB均为等腰直角三角形，可得两个三角形的底角均为45°，通过减去公共角∠ACE得到相等的夹角∠DCA=∠ECB；再结合等腰直角三角形的边的比例关系，得到两组夹边对应成比例，即可证明△DCA与△ECB相似，最后利用相似三角形对应边的比例关系求出AD:BE的比值。
【解析】
解：
1.
∵∠CDE=90°，DC=DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，且$CE=\sqrt{2}DC$，即$\frac{DC}{CE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$；
2.
∵∠CAB=90°，AC=AB，
∴△CAB是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，且$BC=\sqrt{2}AC$，即$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$；
3.
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE，即$∠ DCA=∠ ECB$；
4. 又
∵$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，且$∠ DCA=∠ ECB$，
∴$△ DCA ∽ △ ECB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）；
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{BE}=\frac{DC}{CE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$AD:BE=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是结合等腰直角三角形的性质找到相似三角形的判定条件，通过相似三角形的性质得到对应边的比值，对学生的角度推导和比例分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据已知的直角和等边条件，判断△CDE和△CAB均为等腰直角三角形，可得两个三角形的底角均为45°，通过减去公共角∠ACE得到相等的夹角∠DCA=∠ECB；再结合等腰直角三角形的边的比例关系，得到两组夹边对应成比例，即可证明△DCA与△ECB相似，最后利用相似三角形对应边的比例关系求出AD:BE的比值。
【解析】
解：
1.
∵∠CDE=90°，DC=DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，且$CE=\sqrt{2}DC$，即$\frac{DC}{CE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$；
2.
∵∠CAB=90°，AC=AB，
∴△CAB是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，且$BC=\sqrt{2}AC$，即$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$；
3.
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE，即$∠ DCA=∠ ECB$；
4. 又
∵$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，且$∠ DCA=∠ ECB$，
∴$△ DCA ∽ △ ECB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）；
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{BE}=\frac{DC}{CE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$AD:BE=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是结合等腰直角三角形的性质找到相似三角形的判定条件，通过相似三角形的性质得到对应边的比值，对学生的角度推导和比例分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9 如图,在正方形ABCD中,点E、F、G分别在边AB、BC、AD上,且AE=BF=DG,连接CE、FG,交于点H,如果AE:BE=1:2,那么$\frac{GH}{HF}$的值为
$\frac{7}{4}$
。答案
9.$\frac{7}{4}$ [提示:延长 CE、DA 交于点Q。]
解析
【分析】
要求同一直线上线段GH与HF的比值，可利用平行线构造相似三角形，将线段比转化为平行边的长度比求解。已知AE:BE=1:2，可先设参数表示正方形各边的长度，再按提示延长CE、DA交于点Q，先通过△QAE与△CBE相似求出AQ的长度，再计算QG的长度，最后证明△QHG与△FHC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出比值。
【解析】
设$AE=a$，
$\because AE:BE=1:2$，$\therefore BE=2a$，
则正方形$ABCD$的边长$AB=BC=AD=AE+BE=3a$。
$\because AE=BF=DG$，$\therefore BF=DG=a$，
$\therefore FC=BC-BF=3a-a=2a$，$AG=AD-DG=3a-a=2a$。
延长$CE$、$DA$交于点$Q$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD// BC$，即$AQ// BC$，
$\therefore ∠ Q=∠ BCE$，$∠ QAE=∠ B=90°$，
$\therefore △ QAE ∽ △ CBE$，
$\therefore \frac{AQ}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3a=\frac{3a}{2}$，
$\therefore QG=AQ+AG=\frac{3a}{2}+2a=\frac{7a}{2}$。
$\because QG// FC$（正方形对边平行），
$\therefore ∠ Q=∠ HCF$，$∠ QGH=∠ CFH$，
$\therefore △ QHG ∽ △ CHF$，
$\therefore \frac{GH}{HF}=\frac{QG}{FC}=\frac{\frac{7a}{2}}{2a}=\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心解题思路是通过构造平行线得到相似三角形，将所求线段比转化为易计算的线段比，合理设参数表示各线段长度可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
要求同一直线上线段GH与HF的比值，可利用平行线构造相似三角形，将线段比转化为平行边的长度比求解。已知AE:BE=1:2，可先设参数表示正方形各边的长度，再按提示延长CE、DA交于点Q，先通过△QAE与△CBE相似求出AQ的长度，再计算QG的长度，最后证明△QHG与△FHC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出比值。
【解析】
设$AE=a$，
$\because AE:BE=1:2$，$\therefore BE=2a$，
则正方形$ABCD$的边长$AB=BC=AD=AE+BE=3a$。
$\because AE=BF=DG$，$\therefore BF=DG=a$，
$\therefore FC=BC-BF=3a-a=2a$，$AG=AD-DG=3a-a=2a$。
延长$CE$、$DA$交于点$Q$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD// BC$，即$AQ// BC$，
$\therefore ∠ Q=∠ BCE$，$∠ QAE=∠ B=90°$，
$\therefore △ QAE ∽ △ CBE$，
$\therefore \frac{AQ}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3a=\frac{3a}{2}$，
$\therefore QG=AQ+AG=\frac{3a}{2}+2a=\frac{7a}{2}$。
$\because QG// FC$（正方形对边平行），
$\therefore ∠ Q=∠ HCF$，$∠ QGH=∠ CFH$，
$\therefore △ QHG ∽ △ CHF$，
$\therefore \frac{GH}{HF}=\frac{QG}{FC}=\frac{\frac{7a}{2}}{2a}=\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心解题思路是通过构造平行线得到相似三角形，将所求线段比转化为易计算的线段比，合理设参数表示各线段长度可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=60°$，$P$是$△ ABC$内一点，且$∠ APB=∠ BPC=120°$，如果$AP=3$，$BP=4$，那么$CP=$
$\frac{16}{3}$
。答案
10.$\frac{16}{3}$ [提示:可证$△ABP ∽ △BCP$。]
解析
【分析】
首先观察题中的角度条件，已知∠APB=∠BPC=120°，∠ABC=60°，我们可以先利用三角形内角和推导角的等量关系：在△APB中，两个锐角的和为180°-120°=60°，而∠ABC也为60°，通过角的和差关系可推出两组对应角相等，从而证明△ABP与△BCP相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求出CP的长度。
【解析】
解：
∵ ∠APB = 120°，
∴ ∠BAP + ∠ABP = 180° - 120° = 60°，
又
∵ ∠ABC = ∠ABP + ∠PBC = 60°，
∴ ∠BAP = ∠CBP（等量代换），
又
∵ ∠APB = ∠BPC = 120°，
∴ △ABP ∽ △BCP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AP}{BP} = \frac{BP}{CP}$（相似三角形对应边成比例），
将AP=3，BP=4代入得：$\frac{3}{4} = \frac{4}{CP}$，
解得：$CP = \frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心是通过角的等量代换证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，解题的关键是找到两组相等的对应角。
【难度系数】
0.7
首先观察题中的角度条件，已知∠APB=∠BPC=120°，∠ABC=60°，我们可以先利用三角形内角和推导角的等量关系：在△APB中，两个锐角的和为180°-120°=60°，而∠ABC也为60°，通过角的和差关系可推出两组对应角相等，从而证明△ABP与△BCP相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求出CP的长度。
【解析】
解：
∵ ∠APB = 120°，
∴ ∠BAP + ∠ABP = 180° - 120° = 60°，
又
∵ ∠ABC = ∠ABP + ∠PBC = 60°，
∴ ∠BAP = ∠CBP（等量代换），
又
∵ ∠APB = ∠BPC = 120°，
∴ △ABP ∽ △BCP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AP}{BP} = \frac{BP}{CP}$（相似三角形对应边成比例），
将AP=3，BP=4代入得：$\frac{3}{4} = \frac{4}{CP}$，
解得：$CP = \frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心是通过角的等量代换证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，解题的关键是找到两组相等的对应角。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边BC、AC上，$BD=12$，$CD=15$，且$∠ BAD=∠ C$，求线段AB的长。
答案
11 在$△ABD$ 和$△CBA$ 中,因为$\begin{cases}∠BAD = ∠C,\\∠B = ∠B,\end{cases}$ 所以$△ABD ∽ △CBA$,所以$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$。因为$BD = 12$, $CD = 15$,所以$BC = BD + CD = 27$,所以$\frac{AB}{27}=\frac{12}{BA}$,可得$AB = 18$。
解析
【分析】
首先观察题目已知条件，存在相等角∠BAD=∠C，同时△ABD和△CBA有公共角∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两个三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，可得到关于AB的比例式，先计算出BC的长度，代入比例式后即可求解AB的长度，注意线段长度为正数，需舍去负根。
【解析】
在$△ ABD$ 和$△ CBA$ 中：
$\begin{cases}∠BAD = ∠C,\\∠B = ∠B\ (\mathrm{公共角}),\end{cases}$
$\therefore△ ABD ∽ △ CBA$，根据相似三角形性质可得$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$。
已知$BD = 12$，$CD = 15$，因此$BC = BD + CD = 12+15=27$，代入比例式得：
$\frac{AB}{27}=\frac{12}{AB}$，即$AB^2=27×12=324$。
因为AB为线段长度，是正数，所以$AB=\sqrt{324}=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是挖掘图中隐含的公共角条件，证明三角形相似后利用对应边成比例建立方程求解，掌握相似三角形的判定和性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.75
首先观察题目已知条件，存在相等角∠BAD=∠C，同时△ABD和△CBA有公共角∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两个三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，可得到关于AB的比例式，先计算出BC的长度，代入比例式后即可求解AB的长度，注意线段长度为正数，需舍去负根。
【解析】
在$△ ABD$ 和$△ CBA$ 中：
$\begin{cases}∠BAD = ∠C,\\∠B = ∠B\ (\mathrm{公共角}),\end{cases}$
$\therefore△ ABD ∽ △ CBA$，根据相似三角形性质可得$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$。
已知$BD = 12$，$CD = 15$，因此$BC = BD + CD = 12+15=27$，代入比例式得：
$\frac{AB}{27}=\frac{12}{AB}$，即$AB^2=27×12=324$。
因为AB为线段长度，是正数，所以$AB=\sqrt{324}=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是挖掘图中隐含的公共角条件，证明三角形相似后利用对应边成比例建立方程求解，掌握相似三角形的判定和性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.75
12 如图,在四边形ABCD中,AB // CD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形,DE // BC,DE与AC交于点E,∠ADB=2∠DBC。
(1) 求证:△ADE ∽ △DBC。
(2) 求证:点E是线段AC的黄金分割点。
(1) 求证:△ADE ∽ △DBC。
(2) 求证:点E是线段AC的黄金分割点。
答案
12 (1) 如图
,因为△ABC 为等边三角形,所以$∠1=∠2=60°$。因为$AB // CD$,所以$∠3=∠2=60°$。所以$∠DCB=∠1+∠3=120°$。因为$DE // BC$,所以$∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°$,所以$∠AED=∠EDC+∠3=120°$,所以$∠AED=∠DCB$。因为$DE // BC$,所以$∠5=∠6$。因为$∠ADB=2∠5$,且$∠ADB=∠4+∠6$,所以$∠5=∠4$,所以$△ADE ∽ △DBC$。(2) 因为$∠3=∠EDC=60°$,所以$△CDE$ 为等边三角形,所以$CE=DE=CD$。因为$△ABC$ 为等边三角形,所以$AC=BC$。因为$△ADE ∽ △DBC$,所以$\frac{AE}{CD}=\frac{DE}{BC}$,所以$\frac{AE}{CE}=\frac{EC}{AC}$,即$EC^2 = AE · AC$,所以点 E 是线段 AC 的黄金分割点。
解析
【分析】
(1) 要证明△ADE∽△DBC，可通过证明两组对应角相等推导。首先利用等边△ABC的性质得到60°角，再结合AB//CD、DE//BC的平行线性质，推导∠AED与∠DCB相等；再结合∠ADB=2∠DBC的条件，通过角的和差关系推导另一组对应角相等，即可完成相似证明。
(2) 要证明点E是AC的黄金分割点，需证明$EC^2=AE·AC$。首先根据(1)的相似结论得到对应边成比例，再结合等边三角形的边相等的性质，将比例中的边替换为AC、CE、AE相关的线段，整理即可得到黄金分割的判定式，从而得证。
【解析】
(1) 如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°。
∵$AB// CD$，
∴∠3=∠2=60°，
∴$∠ DCB=∠ 1+∠ 3=60°+60°=120°$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ EDC=180°-∠ DCB=180°-120°=60°$，
∴$∠ AED=∠ EDC+∠ 3=60°+60°=120°$，即$∠ AED=∠ DCB$。
∵$DE// BC$，
∴∠5=∠6。
∵$∠ ADB=2∠ 5$，且$∠ ADB=∠ 4+∠ 6$，
∴$2∠ 5=∠ 4+∠ 5$，即∠5=∠4。
在△ADE和△DBC中，$∠ AED=∠ DCB$，$∠ 4=∠ 5$，
∴$△ ADE ∽ △ DBC$。
(2)
∵$∠ 3=∠ EDC=60°$，
∴△CDE为等边三角形，
∴$CE=DE=CD$。
∵△ABC为等边三角形，
∴$AC=BC$。
由(1)知$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。
将$CD=CE$、$DE=CE$、$BC=AC$代入上式，得$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{AC}$，
交叉相乘得$EC^2 = AE · AC$，符合黄金分割的判定，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
【答案】
12 (1) 如图,因为△ABC 为等边三角形,所以$∠1=∠2=60°$。因为$AB // CD$,所以$∠3=∠2=60°$。所以$∠DCB=∠1+∠3=120°$。因为$DE // BC$,所以$∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°$,所以$∠AED=∠EDC+∠3=120°$,所以$∠AED=∠DCB$。因为$DE // BC$,所以$∠5=∠6$。因为$∠ADB=2∠5$,且$∠ADB=∠4+∠6$,所以$∠5=∠4$,所以$△ADE ∽ △DBC$。
(2) 因为$∠3=∠EDC=60°$,所以$△CDE$ 为等边三角形,所以$CE=DE=CD$。因为$△ABC$ 为等边三角形,所以$AC=BC$。因为$△ADE ∽ △DBC$,所以$\frac{AE}{CD}=\frac{DE}{BC}$,所以$\frac{AE}{CE}=\frac{EC}{AC}$,即$EC^2 = AE · AC$,所以点 E 是线段 AC 的黄金分割点。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，黄金分割的定义
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及黄金分割的判定，解题的关键是熟练掌握角的等量代换方法，利用相似三角形的性质建立线段之间的比例关系，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ADE∽△DBC，可通过证明两组对应角相等推导。首先利用等边△ABC的性质得到60°角，再结合AB//CD、DE//BC的平行线性质，推导∠AED与∠DCB相等；再结合∠ADB=2∠DBC的条件，通过角的和差关系推导另一组对应角相等，即可完成相似证明。
(2) 要证明点E是AC的黄金分割点，需证明$EC^2=AE·AC$。首先根据(1)的相似结论得到对应边成比例，再结合等边三角形的边相等的性质，将比例中的边替换为AC、CE、AE相关的线段，整理即可得到黄金分割的判定式，从而得证。
【解析】
(1) 如图
，∵△ABC为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°。
∵$AB// CD$，
∴∠3=∠2=60°，
∴$∠ DCB=∠ 1+∠ 3=60°+60°=120°$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ EDC=180°-∠ DCB=180°-120°=60°$，
∴$∠ AED=∠ EDC+∠ 3=60°+60°=120°$，即$∠ AED=∠ DCB$。
∵$DE// BC$，
∴∠5=∠6。
∵$∠ ADB=2∠ 5$，且$∠ ADB=∠ 4+∠ 6$，
∴$2∠ 5=∠ 4+∠ 5$，即∠5=∠4。
在△ADE和△DBC中，$∠ AED=∠ DCB$，$∠ 4=∠ 5$，
∴$△ ADE ∽ △ DBC$。
(2)
∵$∠ 3=∠ EDC=60°$，
∴△CDE为等边三角形，
∴$CE=DE=CD$。
∵△ABC为等边三角形，
∴$AC=BC$。
由(1)知$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{DE}{BC}$。
将$CD=CE$、$DE=CE$、$BC=AC$代入上式，得$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{AC}$，
交叉相乘得$EC^2 = AE · AC$，符合黄金分割的判定，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
【答案】
12 (1) 如图
,因为△ABC 为等边三角形,所以$∠1=∠2=60°$。因为$AB // CD$,所以$∠3=∠2=60°$。所以$∠DCB=∠1+∠3=120°$。因为$DE // BC$,所以$∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°$,所以$∠AED=∠EDC+∠3=120°$,所以$∠AED=∠DCB$。因为$DE // BC$,所以$∠5=∠6$。因为$∠ADB=2∠5$,且$∠ADB=∠4+∠6$,所以$∠5=∠4$,所以$△ADE ∽ △DBC$。(2) 因为$∠3=∠EDC=60°$,所以$△CDE$ 为等边三角形,所以$CE=DE=CD$。因为$△ABC$ 为等边三角形,所以$AC=BC$。因为$△ADE ∽ △DBC$,所以$\frac{AE}{CD}=\frac{DE}{BC}$,所以$\frac{AE}{CE}=\frac{EC}{AC}$,即$EC^2 = AE · AC$,所以点 E 是线段 AC 的黄金分割点。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，黄金分割的定义
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及黄金分割的判定，解题的关键是熟练掌握角的等量代换方法，利用相似三角形的性质建立线段之间的比例关系，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
