8 如图，在四边形ABCD中，E是BD上的点，∠CDE=∠CAB=90°，DC=DE，AB=AC，那么AD：BE=。

8.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

9 如图,在正方形ABCD中,点E、F、G分别在边AB、BC、AD上,且AE=BF=DG,连接CE、FG,交于点H,如果AE:BE=1:2,那么$\frac{GH}{HF}$的值为。

9.$\frac{7}{4}$ [提示:延长 CE、DA 交于点Q。]

⑩ 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=60°$，$P$是$△ ABC$内一点，且$∠ APB=∠ BPC=120°$，如果$AP=3$，$BP=4$，那么$CP=$。

10.$\frac{16}{3}$ [提示:可证$△ABP ∽ △BCP$。]

11 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边BC、AC上，$BD=12$，$CD=15$，且$∠ BAD=∠ C$，求线段AB的长。

11 在$△ABD$ 和$△CBA$ 中,因为$\begin{cases}∠BAD = ∠C,\\∠B = ∠B,\end{cases}$ 所以$△ABD ∽ △CBA$,所以$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$。因为$BD = 12$, $CD = 15$,所以$BC = BD + CD = 27$,所以$\frac{AB}{27}=\frac{12}{BA}$,可得$AB = 18$。

12 如图,在四边形ABCD中,AB // CD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形,DE // BC,DE与AC交于点E,∠ADB=2∠DBC。
(1) 求证:△ADE ∽ △DBC。
(2) 求证:点E是线段AC的黄金分割点。

12 (1) 如图,因为△ABC 为等边三角形,所以$∠1=∠2=60°$。因为$AB // CD$,所以$∠3=∠2=60°$。所以$∠DCB=∠1+∠3=120°$。因为$DE // BC$,所以$∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°$,所以$∠AED=∠EDC+∠3=120°$,所以$∠AED=∠DCB$。因为$DE // BC$,所以$∠5=∠6$。因为$∠ADB=2∠5$,且$∠ADB=∠4+∠6$,所以$∠5=∠4$,所以$△ADE ∽ △DBC$。
(2) 因为$∠3=∠EDC=60°$,所以$△CDE$ 为等边三角形,所以$CE=DE=CD$。因为$△ABC$ 为等边三角形,所以$AC=BC$。因为$△ADE ∽ △DBC$,所以$\frac{AE}{CD}=\frac{DE}{BC}$,所以$\frac{AE}{CE}=\frac{EC}{AC}$,即$EC^2 = AE · AC$,所以点 E 是线段 AC 的黄金分割点。