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1 如果$△ ABC$的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积(
A.扩大为原来的3倍
B.扩大为原来的9倍
C.没有变化
D.无法确定
B
)。A.扩大为原来的3倍
B.扩大为原来的9倍
C.没有变化
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
拿到这道题首先思考：三角形三边长都扩大为原来的3倍，说明新三角形与原三角形的三边对应成比例，符合相似三角形的判定条件，因此两个三角形相似，相似比为3；接下来回忆相似三角形的面积相关性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积扩大的倍数就是相似比的平方，按这个思路就能推出结果。
【解析】
解：
∵△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，
∴新三角形的各边与原三角形对应边的比值均为3，
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得新三角形与原三角形相似，且相似比$k=3$。
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴新三角形与原三角形的面积比为$k^2=3^2=9$，即新三角形的面积扩大为原来的9倍。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，易错点是容易将相似三角形的面积比和周长比混淆，牢记周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方即可正确解题。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先思考：三角形三边长都扩大为原来的3倍，说明新三角形与原三角形的三边对应成比例，符合相似三角形的判定条件，因此两个三角形相似，相似比为3；接下来回忆相似三角形的面积相关性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积扩大的倍数就是相似比的平方，按这个思路就能推出结果。
【解析】
解：
∵△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，
∴新三角形的各边与原三角形对应边的比值均为3，
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得新三角形与原三角形相似，且相似比$k=3$。
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴新三角形与原三角形的面积比为$k^2=3^2=9$，即新三角形的面积扩大为原来的9倍。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，易错点是容易将相似三角形的面积比和周长比混淆，牢记周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方即可正确解题。
【难度系数】
0.7
2 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ C=36°$，$AD$是$△ ABC$的角平分线。$\frac{AB}{BC}$的值为（
A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C
）。A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
首先利用等腰三角形等边对等角的性质，计算出△ABC各内角的度数，再结合角平分线的定义得到多组相等的角，推导出多组等腰三角形，进而证明△ABD和△CBA相似，最后根据相似三角形对应边成比例列方程求解线段比值即可。
【解析】
解：
∵$AC=BC$，$∠C=36°$
∴$∠B=∠BAC=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵AD是△ABC的角平分线
∴$∠BAD=∠CAD=36°$
∴$∠CAD=∠C$，可得$AD=CD$
又$∠ADB=∠C+∠CAD=72°$，则$∠ADB=∠B$，可得$AB=AD$
综上可得$AB=AD=CD$
∵$∠B$是△ABD和△CBA的公共角，$∠BAD=∠C=36°$
∴$△ ABD ∽ △ CBA$
设$AB=x$，$BC=1$，则$CD=AB=x$，$BD=BC-CD=1-x$
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$
代入得$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$，整理得$x^2+x-1=0$
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，线段长度为正，故取正根$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形与相似三角形结合的典型题型，核心是通过角度推导得到边的等量关系与相似三角形，再建立方程求解比值，是黄金分割相关的常见考题，需要熟练掌握角度推导和相似证明的方法。
【难度系数】
0.65
首先利用等腰三角形等边对等角的性质，计算出△ABC各内角的度数，再结合角平分线的定义得到多组相等的角，推导出多组等腰三角形，进而证明△ABD和△CBA相似，最后根据相似三角形对应边成比例列方程求解线段比值即可。
【解析】
解：
∵$AC=BC$，$∠C=36°$
∴$∠B=∠BAC=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵AD是△ABC的角平分线
∴$∠BAD=∠CAD=36°$
∴$∠CAD=∠C$，可得$AD=CD$
又$∠ADB=∠C+∠CAD=72°$，则$∠ADB=∠B$，可得$AB=AD$
综上可得$AB=AD=CD$
∵$∠B$是△ABD和△CBA的公共角，$∠BAD=∠C=36°$
∴$△ ABD ∽ △ CBA$
设$AB=x$，$BC=1$，则$CD=AB=x$，$BD=BC-CD=1-x$
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$
代入得$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$，整理得$x^2+x-1=0$
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，线段长度为正，故取正根$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形与相似三角形结合的典型题型，核心是通过角度推导得到边的等量关系与相似三角形，再建立方程求解比值，是黄金分割相关的常见考题，需要熟练掌握角度推导和相似证明的方法。
【难度系数】
0.65
3 如图，已知$AB // CD$，连接$AD$、$BC$交于点$O$，连接$AC$，$∠ ACB = ∠ BAD$，如果$AB=2$，$CD=6$，那么$CO$长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.C
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，先根据AB平行CD的条件，推导△AOB与△DOC相似，得到OB和OC的比例关系；第二步，结合已知∠ACB=∠BAD，加上公共角∠B，推导△ABC与△OBA相似，利用相似三角形边的比例关系建立方程，即可求出CO的长度。
【解析】
1. 证明△AOB∽△DOC：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ D$，$∠ OBA=∠ OCD$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等），
∴$△ AOB∽△ DOC$，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
设$OB=x$，则$OC=3x$，$BC=OB+OC=4x$。
2. 证明△ABC∽△OBA：
在$△ ABC$和$△ OBA$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ B\quad(\mathrm{公共角})\\∠ ACB=∠ OAB\quad(\mathrm{已知}∠ ACB=∠ BAD,∠ OAB=∠ BAD)\end{cases}$
∴$△ ABC∽△ OBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{AB}$，即$AB^2=BO· BC$。
3. 代入数值计算：
将$AB=2$，$BO=x$，$BC=4x$代入得：
$2^2=x·4x$，
解得$x^2=1$，
∵边长为正数，
∴$x=1$，
∴$CO=3x=3×1=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是找到两组相似三角形，结合平行线性质和相似三角形边的比例关系建立方程求解，对相似三角形的判定熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
解题可分两步思考：第一步，先根据AB平行CD的条件，推导△AOB与△DOC相似，得到OB和OC的比例关系；第二步，结合已知∠ACB=∠BAD，加上公共角∠B，推导△ABC与△OBA相似，利用相似三角形边的比例关系建立方程，即可求出CO的长度。
【解析】
1. 证明△AOB∽△DOC：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ D$，$∠ OBA=∠ OCD$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等），
∴$△ AOB∽△ DOC$，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
设$OB=x$，则$OC=3x$，$BC=OB+OC=4x$。
2. 证明△ABC∽△OBA：
在$△ ABC$和$△ OBA$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ B\quad(\mathrm{公共角})\\∠ ACB=∠ OAB\quad(\mathrm{已知}∠ ACB=∠ BAD,∠ OAB=∠ BAD)\end{cases}$
∴$△ ABC∽△ OBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{AB}$，即$AB^2=BO· BC$。
3. 代入数值计算：
将$AB=2$，$BO=x$，$BC=4x$代入得：
$2^2=x·4x$，
解得$x^2=1$，
∵边长为正数，
∴$x=1$，
∴$CO=3x=3×1=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是找到两组相似三角形，结合平行线性质和相似三角形边的比例关系建立方程求解，对相似三角形的判定熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
④ 两个相似三角形的对应边上的中线之比为4∶5，则这两个三角形面积之比为
答案
4.16:25
解析
【分析】
拿到题目后，首先明确已知条件是两个相似三角形对应边上的中线比为4:5，要求面积比。解题思路分为两步：第一步，回忆相似三角形的基本性质，相似三角形的所有对应线段（包括对应中线、对应高、对应角平分线等）的比都等于相似比，因此可以先由中线比得出两个三角形的相似比；第二步，再回忆相似三角形面积比的相关性质，面积比等于相似比的平方，对相似比做平方运算即可得到面积比。
【解析】
解：
∵ 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比
∴ 这两个相似三角形的相似比为$4:5$
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ 两个三角形的面积比为$4^2:5^2 = 16:25$
【答案】
$16:25$
【知识点】
1. 相似三角形对应线段性质
2. 相似三角形面积性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是牢记相似比与对应线段比、面积比的关系，注意不要混淆面积比和相似比的数量关系，避免直接把中线比当作面积比的错误。
【难度系数】
0.9
拿到题目后，首先明确已知条件是两个相似三角形对应边上的中线比为4:5，要求面积比。解题思路分为两步：第一步，回忆相似三角形的基本性质，相似三角形的所有对应线段（包括对应中线、对应高、对应角平分线等）的比都等于相似比，因此可以先由中线比得出两个三角形的相似比；第二步，再回忆相似三角形面积比的相关性质，面积比等于相似比的平方，对相似比做平方运算即可得到面积比。
【解析】
解：
∵ 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比
∴ 这两个相似三角形的相似比为$4:5$
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ 两个三角形的面积比为$4^2:5^2 = 16:25$
【答案】
$16:25$
【知识点】
1. 相似三角形对应线段性质
2. 相似三角形面积性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是牢记相似比与对应线段比、面积比的关系，注意不要混淆面积比和相似比的数量关系，避免直接把中线比当作面积比的错误。
【难度系数】
0.9
5 如图，已知在$△ ABC$中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且相交于点F，过点F作$FG // AC$，那么$\frac{DG}{BC}=$
$\frac{1}{6}$
。答案
5.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解题时首先根据中线的交点确定F是△ABC的重心，利用重心分中线为2:1的性质得到FD与AD的比值；再结合FG//AC的条件，可证△DFG与△DAC相似，利用相似三角形对应边成比例求出DG与DC的比值；最后根据AD是BC中线可知DC为BC的一半，代入计算即可得到DG与BC的比值。
【解析】
解：
∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，两线交于点F
∴F是△ABC的重心，且$DC=\frac{1}{2}BC$
由重心性质可得$AF:FD=2:1$，即$\frac{FD}{AD}=\frac{1}{3}$
∵$FG// AC$
∴$∠ FGD=∠ C$，又$∠ FDG=∠ ADC$
∴$△ DFG ∽ △ DAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{FD}{AD}=\frac{1}{3}$
∴$DG=\frac{1}{3}DC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC$
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形判定，相似三角形性质
【点评】
本题是重心与相似三角形结合的基础题型，核心是利用重心得到线段比例关系，再通过平行线构造相似三角形求解，解题时注意中线与重心的关联即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据中线的交点确定F是△ABC的重心，利用重心分中线为2:1的性质得到FD与AD的比值；再结合FG//AC的条件，可证△DFG与△DAC相似，利用相似三角形对应边成比例求出DG与DC的比值；最后根据AD是BC中线可知DC为BC的一半，代入计算即可得到DG与BC的比值。
【解析】
解：
∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，两线交于点F
∴F是△ABC的重心，且$DC=\frac{1}{2}BC$
由重心性质可得$AF:FD=2:1$，即$\frac{FD}{AD}=\frac{1}{3}$
∵$FG// AC$
∴$∠ FGD=∠ C$，又$∠ FDG=∠ ADC$
∴$△ DFG ∽ △ DAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{FD}{AD}=\frac{1}{3}$
∴$DG=\frac{1}{3}DC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC$
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形判定，相似三角形性质
【点评】
本题是重心与相似三角形结合的基础题型，核心是利用重心得到线段比例关系，再通过平行线构造相似三角形求解，解题时注意中线与重心的关联即可。
【难度系数】
0.7
6 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象。它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像。如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB // CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米。此时CD的长度是
18
厘米。答案
6.18
解析
【分析】
首先由AB平行于CD，可证得△OAB与△OCD相似，再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应边上高的比。先求出光源O到幕布的距离OH=OG+GH，再将已知的AB、OG、OH的长度代入比例式，即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD，
又
∵OG、OH分别是△OAB和△OCD对应边上的高，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OG}{OH}$，
由题意得：OG=100cm，GH=20cm，AB=15cm，
∴OH=OG+GH=100+20=120cm，
代入比例式得：$\frac{15}{CD}=\frac{100}{120}$，
解得：$CD=\frac{15×120}{100}=18$（厘米）。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的手影戏场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的核心是将实际场景转化为数学中的相似三角形模型，利用相似性质列比例式计算，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.8
首先由AB平行于CD，可证得△OAB与△OCD相似，再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应边上高的比。先求出光源O到幕布的距离OH=OG+GH，再将已知的AB、OG、OH的长度代入比例式，即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD，
又
∵OG、OH分别是△OAB和△OCD对应边上的高，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OG}{OH}$，
由题意得：OG=100cm，GH=20cm，AB=15cm，
∴OH=OG+GH=100+20=120cm，
代入比例式得：$\frac{15}{CD}=\frac{100}{120}$，
解得：$CD=\frac{15×120}{100}=18$（厘米）。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的手影戏场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的核心是将实际场景转化为数学中的相似三角形模型，利用相似性质列比例式计算，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.8
7 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=5$，点$E$在边$BC$上，连接$AE$并延长，与$DC$的延长线相交于点$F$，如果$CF=1$，那么$CE=$
$\frac{5}{4}$
。答案
7.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，可得AB与CF平行，由此可判定△ABE和△FCE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到BE与CE的数量关系；最后结合BC的总长度，列方程即可求出CE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=3，BC=5，
∴AB//CF，
∴∠BAE=∠F，∠B=∠ECF，
∴△ABE∽△FCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{CE}$，
代入AB=3，CF=1，得$\frac{3}{1}=\frac{BE}{CE}$，即BE=3CE，
又
∵BE+CE=BC=5，
∴3CE+CE=5，
解得$CE=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过平行四边形的平行关系找到相似三角形，再借助相似三角形的边长比例关系建立方程求解，考查了学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，可得AB与CF平行，由此可判定△ABE和△FCE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到BE与CE的数量关系；最后结合BC的总长度，列方程即可求出CE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=3，BC=5，
∴AB//CF，
∴∠BAE=∠F，∠B=∠ECF，
∴△ABE∽△FCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{CE}$，
代入AB=3，CF=1，得$\frac{3}{1}=\frac{BE}{CE}$，即BE=3CE，
又
∵BE+CE=BC=5，
∴3CE+CE=5，
解得$CE=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过平行四边形的平行关系找到相似三角形，再借助相似三角形的边长比例关系建立方程求解，考查了学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
