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1 下列两个图形一定相似的是(
A.两个矩形
B.两个菱形
C.两个等腰三角形
D.两个正方形
D
)。A.两个矩形
B.两个菱形
C.两个等腰三角形
D.两个正方形
答案
1.D
解析
【分析】
要判断两个图形是否相似，需紧扣相似多边形的判定条件：对应角相等，且对应边成比例，两个条件缺一不可。我们只需结合各选项中图形的性质，逐一验证两个条件是否同时满足即可：先判断对应角是否都相等，再判断对应边是否成比例，只有两者都满足的图形才一定相似。
【解析】
相似多边形的判定规则为：若两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形相似。
对各选项逐一分析：
A. 两个矩形：矩形的内角均为90°，满足对应角相等，但对应边不一定成比例（例如长为2、宽为1的矩形和长为3、宽为1的矩形，长的比为2:3，宽的比为1:1，比值不相等），因此两个矩形不一定相似。
B. 两个菱形：菱形的四条边长度相等，满足对应边成比例，但内角不一定对应相等（例如内角为60°、120°的菱形和内角为45°、135°的菱形，对应角不相等），因此两个菱形不一定相似。
C. 两个等腰三角形：等腰三角形的顶角大小不固定，对应角不一定相等，且对应边也不一定成比例（例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为90°的等腰三角形，内角不对应相等），因此两个等腰三角形不一定相似。
D. 两个正方形：正方形的所有内角均为90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比值恒定，满足对应边成比例，因此两个正方形一定相似。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.相似多边形判定
2.特殊四边形性质
3.等腰三角形性质
【点评】
本题核心考查相似多边形的判定条件，解题时需注意相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个要求，避免遗漏其中一个条件导致判断错误，同时要熟练掌握常见几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.8
要判断两个图形是否相似，需紧扣相似多边形的判定条件：对应角相等，且对应边成比例，两个条件缺一不可。我们只需结合各选项中图形的性质，逐一验证两个条件是否同时满足即可：先判断对应角是否都相等，再判断对应边是否成比例，只有两者都满足的图形才一定相似。
【解析】
相似多边形的判定规则为：若两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形相似。
对各选项逐一分析：
A. 两个矩形：矩形的内角均为90°，满足对应角相等，但对应边不一定成比例（例如长为2、宽为1的矩形和长为3、宽为1的矩形，长的比为2:3，宽的比为1:1，比值不相等），因此两个矩形不一定相似。
B. 两个菱形：菱形的四条边长度相等，满足对应边成比例，但内角不一定对应相等（例如内角为60°、120°的菱形和内角为45°、135°的菱形，对应角不相等），因此两个菱形不一定相似。
C. 两个等腰三角形：等腰三角形的顶角大小不固定，对应角不一定相等，且对应边也不一定成比例（例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为90°的等腰三角形，内角不对应相等），因此两个等腰三角形不一定相似。
D. 两个正方形：正方形的所有内角均为90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比值恒定，满足对应边成比例，因此两个正方形一定相似。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.相似多边形判定
2.特殊四边形性质
3.等腰三角形性质
【点评】
本题核心考查相似多边形的判定条件，解题时需注意相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个要求，避免遗漏其中一个条件导致判断错误，同时要熟练掌握常见几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.8
2 下列哪个选项中的矩形与如图所示的矩形不是相似形(
第2题图 (A)
(B) (C) (D)
B
)。第2题图 (A)
(B) (C) (D)答案
2.B
解析
【分析】
要判断两个矩形是否为相似形，首先矩形的四个内角均为直角，天然满足相似多边形“对应角相等”的要求，因此只需判断两个矩形的邻边是否对应成比例即可。解题时先数出原矩形的邻边长度，算出邻边比值，再分别计算四个选项中矩形的邻边比值，与原比值不相等的即为非相似形。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算原矩形的邻边比：原矩形水平方向边长为2，竖直方向边长为3，邻边长度比为2:3。
2. 逐一计算各选项矩形的邻边比：
选项A：水平边长为6，竖直边长为4，邻边比为4:6=2:3，与原矩形比值相等，是相似形；
选项B：水平边长为3，竖直边长为4，邻边比为3:4，与原矩形比值2:3不相等，不是相似形；
选项C：水平边长为3，竖直边长为2，邻边比为2:3，与原矩形比值相等，是相似形；
选项D：水平边长为6，竖直边长为4，邻边比为4:6=2:3，与原矩形比值相等，是相似形。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题核心是利用相似多边形的判定规则解决矩形相似的问题，省略了对应角相等的判断步骤，只需验证邻边成比例即可，解题时要注意边长的对应关系，避免因比值顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.8
要判断两个矩形是否为相似形，首先矩形的四个内角均为直角，天然满足相似多边形“对应角相等”的要求，因此只需判断两个矩形的邻边是否对应成比例即可。解题时先数出原矩形的邻边长度，算出邻边比值，再分别计算四个选项中矩形的邻边比值，与原比值不相等的即为非相似形。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算原矩形的邻边比：原矩形水平方向边长为2，竖直方向边长为3，邻边长度比为2:3。
2. 逐一计算各选项矩形的邻边比：
选项A：水平边长为6，竖直边长为4，邻边比为4:6=2:3，与原矩形比值相等，是相似形；
选项B：水平边长为3，竖直边长为4，邻边比为3:4，与原矩形比值2:3不相等，不是相似形；
选项C：水平边长为3，竖直边长为2，邻边比为2:3，与原矩形比值相等，是相似形；
选项D：水平边长为6，竖直边长为4，邻边比为4:6=2:3，与原矩形比值相等，是相似形。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题核心是利用相似多边形的判定规则解决矩形相似的问题，省略了对应角相等的判断步骤，只需验证邻边成比例即可，解题时要注意边长的对应关系，避免因比值顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.8
3 四边形$ABCD$和四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是相似的图形，点$A$与点$A_{1}$、点$B$与点$B_{1}$、点$C$与点$C_{1}$、点$D$与点$D_{1}$分别是对应顶点，已知$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=k$。该同学得到以下两个结论：①四边形$ABCD$和四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的面积比等于$k^2$；②四边形$ABCD$和四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的两条对角线的和之比等于$k$。
对于结论①和②，下列说法正确的是（
A.①正确，②错误
B.①错误，②正确
C.①和②都错误
D.①和②都正确
对于结论①和②，下列说法正确的是（
D
）。A.①正确，②错误
B.①错误，②正确
C.①和②都错误
D.①和②都正确
答案
3.D
解析
【分析】
首先回忆相似多边形的相关性质，已知两个四边形相似且相似比为k，我们分别验证两个结论：①相似多边形的面积比恒等于相似比的平方，这是相似多边形的通用性质，与边数无关，可直接判断；②相似多边形的所有对应线段的比都等于相似比，对应对角线属于对应线段，结合合比性质即可推导两条对角线的和之比也等于相似比，最终判断两个结论的正误选出答案。
【解析】
解：已知四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似，相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
1. 验证结论①：
根据相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此两个四边形的面积比为$k^2$，结论①正确。
2. 验证结论②：
设四边形ABCD的两条对角线为$AC、BD$，对应四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的两条对角线为$A_1C_1、B_1D_1$。
相似多边形对应对角线的比等于相似比，因此$\frac{AC}{A_1C_1}=k$，$\frac{BD}{B_1D_1}=k$，即$AC=k· A_1C_1$，$BD=k· B_1D_1$。
则两条对角线的和之比为：
$\frac{AC+BD}{A_1C_1+B_1D_1}=\frac{k· A_1C_1 + k· B_1D_1}{A_1C_1+B_1D_1}=\frac{k(A_1C_1+B_1D_1)}{A_1C_1+B_1D_1}=k$
因此结论②正确。
综上，①②都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质；相似比；相似多边形面积比
【点评】
本题主要考查相似多边形的基础性质，需明确相似多边形的对应线段（边、对角线、高等）比、周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，这些性质对任意边数的相似多边形都成立，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆相似多边形的相关性质，已知两个四边形相似且相似比为k，我们分别验证两个结论：①相似多边形的面积比恒等于相似比的平方，这是相似多边形的通用性质，与边数无关，可直接判断；②相似多边形的所有对应线段的比都等于相似比，对应对角线属于对应线段，结合合比性质即可推导两条对角线的和之比也等于相似比，最终判断两个结论的正误选出答案。
【解析】
解：已知四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似，相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
1. 验证结论①：
根据相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此两个四边形的面积比为$k^2$，结论①正确。
2. 验证结论②：
设四边形ABCD的两条对角线为$AC、BD$，对应四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的两条对角线为$A_1C_1、B_1D_1$。
相似多边形对应对角线的比等于相似比，因此$\frac{AC}{A_1C_1}=k$，$\frac{BD}{B_1D_1}=k$，即$AC=k· A_1C_1$，$BD=k· B_1D_1$。
则两条对角线的和之比为：
$\frac{AC+BD}{A_1C_1+B_1D_1}=\frac{k· A_1C_1 + k· B_1D_1}{A_1C_1+B_1D_1}=\frac{k(A_1C_1+B_1D_1)}{A_1C_1+B_1D_1}=k$
因此结论②正确。
综上，①②都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质；相似比；相似多边形面积比
【点评】
本题主要考查相似多边形的基础性质，需明确相似多边形的对应线段（边、对角线、高等）比、周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，这些性质对任意边数的相似多边形都成立，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
④ 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约
4
厘米。答案
4.4
5 若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比为
5:2
，面积比为25:4
。答案
5.5:2，25:4
解析
【分析】
解题时首先明确相似多边形对应边的比即为相似比，再回忆相似多边形的相关性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，将已知的相似比代入对应性质计算即可得到结果。
【解析】
已知两个相似多边形的对应边之比为5:2，因此这两个相似多边形的相似比为5:2。
根据相似多边形的性质：
1. 相似多边形的周长比等于相似比，因此它们的周长比为5:2；
2. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此它们的面积比为$5^2:2^2 = 25:4$。
【答案】
5:2，25:4
【知识点】
相似多边形性质、相似比与周长比的关系、相似比与面积比的关系
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，核心考查相似比与周长比、面积比的对应关系，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确相似多边形对应边的比即为相似比，再回忆相似多边形的相关性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，将已知的相似比代入对应性质计算即可得到结果。
【解析】
已知两个相似多边形的对应边之比为5:2，因此这两个相似多边形的相似比为5:2。
根据相似多边形的性质：
1. 相似多边形的周长比等于相似比，因此它们的周长比为5:2；
2. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此它们的面积比为$5^2:2^2 = 25:4$。
【答案】
5:2，25:4
【知识点】
相似多边形性质、相似比与周长比的关系、相似比与面积比的关系
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，核心考查相似比与周长比、面积比的对应关系，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是
$\frac{16}{3}$
。答案
6.$\frac{16}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先明确两个矩形的对应边：第一个矩形两边长为3和4，可得其较短边为3，较长边为4；第二个矩形已知较短边长为4，待求较长边长，按照短边对应短边、长边对应长边的对应关系，列出比例式求解即可。
【解析】
设第二个矩形较长的一边长为$x$。
∵ 两个矩形为相似多边形，相似多边形对应边成比例，
∴ 对应边满足比例关系：$\frac{\mathrm{第一个矩形的短边}}{\mathrm{第二个矩形的短边}}=\frac{\mathrm{第一个矩形的长边}}{\mathrm{第二个矩形的长边}}$
代入已知边长可得：$\frac{3}{4}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得：$3x=16$
解得：$x=\frac{16}{3}$
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
相似多边形性质、矩形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题核心是找准对应边，避免将比例式列反，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先明确两个矩形的对应边：第一个矩形两边长为3和4，可得其较短边为3，较长边为4；第二个矩形已知较短边长为4，待求较长边长，按照短边对应短边、长边对应长边的对应关系，列出比例式求解即可。
【解析】
设第二个矩形较长的一边长为$x$。
∵ 两个矩形为相似多边形，相似多边形对应边成比例，
∴ 对应边满足比例关系：$\frac{\mathrm{第一个矩形的短边}}{\mathrm{第二个矩形的短边}}=\frac{\mathrm{第一个矩形的长边}}{\mathrm{第二个矩形的长边}}$
代入已知边长可得：$\frac{3}{4}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得：$3x=16$
解得：$x=\frac{16}{3}$
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
相似多边形性质、矩形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题核心是找准对应边，避免将比例式列反，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7 “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”。风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，其制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录。为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线 $ AC ⊥ BD $。已知大、小风筝的对应边之比为 $ 3:1 $，如果小风筝两条对角线的长分别为 $ 30 \, \mathrm{cm} $ 和 $ 35 \, \mathrm{cm} $，那么大风筝两条对角线长的和为 
195
$ \mathrm{cm} $。答案
7.195
解析
【分析】
首先两个风筝形状相同，可知二者为相似多边形，已知大、小风筝的对应边之比为3:1，即相似比（大:小）为3:1。根据相似多边形的性质，相似多边形的对应对角线之比等于相似比，因此我们可以先求出大风筝两条对角线的长度，再求和即可。
【解析】
解：
∵大、小风筝形状相同，对应边之比为3:1，
∴两个风筝是相似多边形，相似比（大:小）=3:1，
根据相似多边形的性质，相似多边形对应对角线的比等于相似比，
已知小风筝两条对角线长分别为30cm和35cm，
∴大风筝对应两条对角线长分别为：$30× 3=90\,\mathrm{cm}$，$35× 3=105\,\mathrm{cm}$，
∴大风筝两条对角线长的和为：$90+105=195\,\mathrm{cm}$。
【答案】
195
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算
【点评】
本题结合非遗风筝文化背景出题，贴近生活，主要考查相似多边形性质的应用，解题的关键是掌握相似多边形对应线段的比等于相似比，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先两个风筝形状相同，可知二者为相似多边形，已知大、小风筝的对应边之比为3:1，即相似比（大:小）为3:1。根据相似多边形的性质，相似多边形的对应对角线之比等于相似比，因此我们可以先求出大风筝两条对角线的长度，再求和即可。
【解析】
解：
∵大、小风筝形状相同，对应边之比为3:1，
∴两个风筝是相似多边形，相似比（大:小）=3:1，
根据相似多边形的性质，相似多边形对应对角线的比等于相似比，
已知小风筝两条对角线长分别为30cm和35cm，
∴大风筝对应两条对角线长分别为：$30× 3=90\,\mathrm{cm}$，$35× 3=105\,\mathrm{cm}$，
∴大风筝两条对角线长的和为：$90+105=195\,\mathrm{cm}$。
【答案】
195
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算
【点评】
本题结合非遗风筝文化背景出题，贴近生活，主要考查相似多边形性质的应用，解题的关键是掌握相似多边形对应线段的比等于相似比，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8 如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是相似形（且点A、B、C、D的对应点为E、F、G、H），矩形ABCD的长为90，宽为60，矩形EFGH的宽为40，则x的值为
15
。答案
8.15
解析
【分析】
解题需用到相似多边形的核心性质：相似多边形对应边的比值相等（相似比相等）。首先明确两个矩形的对应边长：大矩形ABCD的长为90、宽为60；小矩形EFGH的长为大矩形的长减去左右两段长度x，即$90-2x$，小矩形的宽已知为40。根据相似多边形对应边成比例的性质列比例式，求解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵矩形ABCD与矩形EFGH是相似形，对应边成比例
∴$\frac{\mathrm{矩形EFGH的长}}{\mathrm{矩形ABCD的长}}=\frac{\mathrm{矩形EFGH的宽}}{\mathrm{矩形ABCD的宽}}$
由图可得矩形EFGH的长为$90-2x$，代入已知数据：
$\frac{90-2x}{90}=\frac{40}{60}$
化简得$\frac{90-2x}{90}=\frac{2}{3}$
等式两边同乘90得：$90-2x=60$
移项计算得$2x=30$，解得$x=15$
【答案】
15
【知识点】
相似多边形的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查相似多边形性质的实际应用，解题的关键是正确表示出小矩形的长，找准对应边列出比例式，计算难度较低。
【难度系数】
0.75
解题需用到相似多边形的核心性质：相似多边形对应边的比值相等（相似比相等）。首先明确两个矩形的对应边长：大矩形ABCD的长为90、宽为60；小矩形EFGH的长为大矩形的长减去左右两段长度x，即$90-2x$，小矩形的宽已知为40。根据相似多边形对应边成比例的性质列比例式，求解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵矩形ABCD与矩形EFGH是相似形，对应边成比例
∴$\frac{\mathrm{矩形EFGH的长}}{\mathrm{矩形ABCD的长}}=\frac{\mathrm{矩形EFGH的宽}}{\mathrm{矩形ABCD的宽}}$
由图可得矩形EFGH的长为$90-2x$，代入已知数据：
$\frac{90-2x}{90}=\frac{40}{60}$
化简得$\frac{90-2x}{90}=\frac{2}{3}$
等式两边同乘90得：$90-2x=60$
移项计算得$2x=30$，解得$x=15$
【答案】
15
【知识点】
相似多边形的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查相似多边形性质的实际应用，解题的关键是正确表示出小矩形的长，找准对应边列出比例式，计算难度较低。
【难度系数】
0.75
