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9 如图，已知四边形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EF//BC，如果四边形AEFD与四边形EBCF相似，那么$\frac{AE}{EB}$的值是
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
9.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
遇到相似多边形的问题，首先运用相似多边形的核心性质：对应边成比例。本题中两个梯形相似，且$AD// EF// BC$，因此四边形$AEFD$的上底$AD$对应四边形$EBCF$的上底$EF$，四边形$AEFD$的下底$EF$对应四边形$EBCF$的下底$BC$，腰$AE$对应腰$EB$。解题步骤为：①先利用上下底的比例关系求出$EF$的长度；②再根据相似比等于对应腰的比，即可求出$\frac{AE}{EB}$的值。
【解析】
解：$\because$四边形$AEFD ∽$四边形$EBCF$，
$\therefore$相似多边形对应边成比例，可得$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{EB}$。
将$AD=1$，$BC=2$代入$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$，得：
$EF^2=AD· BC=1×2=2$，
$\because EF$为线段长度，取正值，$\therefore EF=\sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AD}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确找到相似四边形的对应边，借助公共边$EF$建立已知边的比例关系求出相似比，是相似多边形部分的典型基础题，需注意避免因对应边混淆列错比例式。
【难度系数】
0.7
遇到相似多边形的问题，首先运用相似多边形的核心性质：对应边成比例。本题中两个梯形相似，且$AD// EF// BC$，因此四边形$AEFD$的上底$AD$对应四边形$EBCF$的上底$EF$，四边形$AEFD$的下底$EF$对应四边形$EBCF$的下底$BC$，腰$AE$对应腰$EB$。解题步骤为：①先利用上下底的比例关系求出$EF$的长度；②再根据相似比等于对应腰的比，即可求出$\frac{AE}{EB}$的值。
【解析】
解：$\because$四边形$AEFD ∽$四边形$EBCF$，
$\therefore$相似多边形对应边成比例，可得$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{EB}$。
将$AD=1$，$BC=2$代入$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$，得：
$EF^2=AD· BC=1×2=2$，
$\because EF$为线段长度，取正值，$\therefore EF=\sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AD}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确找到相似四边形的对应边，借助公共边$EF$建立已知边的比例关系求出相似比，是相似多边形部分的典型基础题，需注意避免因对应边混淆列错比例式。
【难度系数】
0.7
10 我们把常用的 A4 纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”。一张规格为 A4 的矩形纸片，将其长边对折，得到两个全等的 A5 矩形纸片，且 A4、A5 这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
10.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题的核心是利用相似多边形对应边成比例的性质。首先设A4矩形的短边长为a，长边长为b，可知所求“白银比”为$\frac{a}{b}$；再明确长边对折后得到的A5矩形的长为a，宽为$\frac{b}{2}$；最后根据两个矩形相似，对应边的比相等列出比例式，化简计算即可得到结果。
【解析】
设A4矩形的短边长为$a$，长边长为$b$，则“白银比”为$\frac{a}{b}$。
将A4纸长边对折后得到的A5矩形，其长等于A4的短边$a$，宽等于A4长边的一半$\frac{b}{2}$。
∵A4与A5矩形相似，根据相似多边形对应边成比例，可得：
$\frac{a}{b}=\frac{\frac{b}{2}}{a}$
交叉相乘得：$a^2=\frac{b^2}{2}$，整理得$b^2=2a^2$。
∵$a$、$b$均为正数，对等式两边开平方得$b=\sqrt{2}a$。
代入白银比的表达式得：$\frac{a}{b}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质；比例的基本性质；二次根式化简
【点评】
本题结合生活中常见的A4纸出题，解题关键是找准对折后A5矩形的长、宽与原A4矩形边长的对应关系，再利用相似多边形的性质列比例式求解，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用相似多边形对应边成比例的性质。首先设A4矩形的短边长为a，长边长为b，可知所求“白银比”为$\frac{a}{b}$；再明确长边对折后得到的A5矩形的长为a，宽为$\frac{b}{2}$；最后根据两个矩形相似，对应边的比相等列出比例式，化简计算即可得到结果。
【解析】
设A4矩形的短边长为$a$，长边长为$b$，则“白银比”为$\frac{a}{b}$。
将A4纸长边对折后得到的A5矩形，其长等于A4的短边$a$，宽等于A4长边的一半$\frac{b}{2}$。
∵A4与A5矩形相似，根据相似多边形对应边成比例，可得：
$\frac{a}{b}=\frac{\frac{b}{2}}{a}$
交叉相乘得：$a^2=\frac{b^2}{2}$，整理得$b^2=2a^2$。
∵$a$、$b$均为正数，对等式两边开平方得$b=\sqrt{2}a$。
代入白银比的表达式得：$\frac{a}{b}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质；比例的基本性质；二次根式化简
【点评】
本题结合生活中常见的A4纸出题，解题关键是找准对折后A5矩形的长、宽与原A4矩形边长的对应关系，再利用相似多边形的性质列比例式求解，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
11 如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似形，且点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'，点D与点D'对应，求x、y的值和α的大小。
答案
11 因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似形，且点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'，点D与点D'对应，所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$∠ C=∠ C'=α$，$∠ D=∠ D'=140°$，所以$\frac{9}{6}=\frac{y}{11}=\frac{x}{8}$，解得$y=\frac{33}{2}$，$x=12$。因为$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$，所以$∠ C=360°-∠ A-∠ B-∠ D=360°-62°-75°-140°=83°$，$∠ C=α=83°$，所以$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等。首先确定两个四边形的对应边：AD对应A'D'，BC对应B'C'，AB对应A'B'，我们可以通过对应边的比例关系列等式求解x和y；再看角度部分，对应角∠D和∠D'相等，已知四边形内角和为360°，用内角和减去已知的∠A、∠B、∠D的度数，就能得到∠C的度数，也就是α的值。
【解析】
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，且点A与A'、点B与B'、点C与C'、点D与D'对应，
∴ 对应边成比例，对应角相等，即：
$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$∠ D=∠ D'=140°$，$∠ C=∠ C'=α$。
代入已知边长得：$\frac{9}{6}=\frac{y}{11}=\frac{x}{8}$，
求解x：由$\frac{9}{6}=\frac{x}{8}$，得$x=\frac{9×8}{6}=12$；
求解y：由$\frac{9}{6}=\frac{y}{11}$，得$y=\frac{9×11}{6}=\frac{33}{2}$。
又
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$，
代入已知角度计算：
$α=∠ C=360° - 62° -75° -140°=83°$。
【答案】
$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.比例的计算
3.四边形内角和定理
【点评】
本题是相似多边形的基础应用题，解题的关键是准确对应相似图形的边和角，计算比例时注意不要搞反对应边的顺序，掌握相似多边形的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等。首先确定两个四边形的对应边：AD对应A'D'，BC对应B'C'，AB对应A'B'，我们可以通过对应边的比例关系列等式求解x和y；再看角度部分，对应角∠D和∠D'相等，已知四边形内角和为360°，用内角和减去已知的∠A、∠B、∠D的度数，就能得到∠C的度数，也就是α的值。
【解析】
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，且点A与A'、点B与B'、点C与C'、点D与D'对应，
∴ 对应边成比例，对应角相等，即：
$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$∠ D=∠ D'=140°$，$∠ C=∠ C'=α$。
代入已知边长得：$\frac{9}{6}=\frac{y}{11}=\frac{x}{8}$，
求解x：由$\frac{9}{6}=\frac{x}{8}$，得$x=\frac{9×8}{6}=12$；
求解y：由$\frac{9}{6}=\frac{y}{11}$，得$y=\frac{9×11}{6}=\frac{33}{2}$。
又
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$，
代入已知角度计算：
$α=∠ C=360° - 62° -75° -140°=83°$。
【答案】
$x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$α=83°$
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.比例的计算
3.四边形内角和定理
【点评】
本题是相似多边形的基础应用题，解题的关键是准确对应相似图形的边和角，计算比例时注意不要搞反对应边的顺序，掌握相似多边形的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
12 如图，在矩形ABCD中，AB=1，四边形ABFE是正方形，若矩形ABCD与矩形CDEF是相似形，求AD的长。
答案
12 因为四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是正方形，所以设$AD=BC=x$，$AB=CD=AE=1$，所以$DE=x-1$。因为矩形ABCD与矩形CDEF是相似形，所以$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，所以$\frac{x-1}{1}=\frac{1}{x}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
解析
【分析】
本题要求AD的长度，我们可以结合相似多边形的性质建立方程求解：第一步先设AD的长为未知数x；第二步利用正方形的性质，用含x的式子表示出DE的长度；第三步根据相似矩形对应边成比例的性质，找准两个矩形的对应边，列出比例方程；最后解方程，结合边长为正数的实际意义舍去不合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设$AD=x$，
∵四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是正方形，$AB=1$，
∴$CD=AB=AE=1$，
∴$DE=AD-AE=x-1$，
∵矩形ABCD与矩形CDEF相似，
∴对应边成比例，即$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，
代入边长得$\frac{x-1}{1}=\frac{1}{x}$，
整理得$x^2-x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（边长为正，不符合题意，舍去）。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
1.相似多边形性质
2.正方形的性质
3.一元二次方程求解
【点评】
本题是相似多边形应用的基础题型，解题关键是准确识别相似图形的对应边，正确列出比例式建立方程，求解后要注意结合图形的实际意义对根进行取舍，能很好地考查学生对相似性质的掌握和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题要求AD的长度，我们可以结合相似多边形的性质建立方程求解：第一步先设AD的长为未知数x；第二步利用正方形的性质，用含x的式子表示出DE的长度；第三步根据相似矩形对应边成比例的性质，找准两个矩形的对应边，列出比例方程；最后解方程，结合边长为正数的实际意义舍去不合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设$AD=x$，
∵四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是正方形，$AB=1$，
∴$CD=AB=AE=1$，
∴$DE=AD-AE=x-1$，
∵矩形ABCD与矩形CDEF相似，
∴对应边成比例，即$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，
代入边长得$\frac{x-1}{1}=\frac{1}{x}$，
整理得$x^2-x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（边长为正，不符合题意，舍去）。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
1.相似多边形性质
2.正方形的性质
3.一元二次方程求解
【点评】
本题是相似多边形应用的基础题型，解题关键是准确识别相似图形的对应边，正确列出比例式建立方程，求解后要注意结合图形的实际意义对根进行取舍，能很好地考查学生对相似性质的掌握和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
