13 如图，$△ ABC$是以$BC$为斜边的等腰直角三角形，以$BC$为直角边作等腰直角三角形$BCD$，再以$BD$为直角边作等腰直角三角形$BDE$。求证：四边形$ABDC$与四边形$CBED$相似。

13 因为$△ ABC$、$△ BCD$、$△ BDE$是等腰直角三角形，所以$∠ ABC=∠ ACB=∠ CBD=∠ CDB=∠ DBE=∠ DEB=45°$，$∠ A=∠ BCD=∠ BDE=90°$，所以$∠ A=∠ DCB$，$∠ ABD=∠ CBE$，$∠ BDC=∠ BED$，$∠ ACD=∠ CDE$。设$AB=AC=a$，则$BC=CD=\sqrt{2}a$，$BD=DE=2a$，$BE=2\sqrt{2}a$，所以$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{ED}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以四边形ABDC与四边形CBED相似。

14 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD相交于点F，点G在AF的延长线上，连接BG、CG。如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应点A、B、G、C。求证：AF·BF=AG·EF。

14 因为四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应点A、B、G、C，所以$∠ ADF=∠ ABG$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，所以$DF // BG$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$。因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$∠ DAE=∠ BAC$，所以$△ ADE ∽ △ ABC$，所以$∠ ADE=∠ ABC$，所以$DE // BC$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。因为$DE // BC$，所以$△ DEF ∽ △ CBF$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{BF}$，所以$\frac{AF}{AG}=\frac{EF}{BF}$，所以$AF · BF = AG · EF$。

15 如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A、B、C、D分别与点A'、B'、C'、D'对应，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为k。求证：$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}} = k^2$。

15 连接BD、B'D'。因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，所以$∠ A=∠ A'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=k$，所以$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ A'B'D'}}=k^2$。同理$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ B'C'D'}}=k^2$，所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ A'B'D'}}=\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ B'C'D'}}=k^2$，所以$\frac{S_{△ ABD}+S_{△ BCD}}{S_{△ A'B'D'}+S_{△ B'C'D'}}=k^2$，所以$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}}=k^2$。