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13 如图，$△ ABC$是以$BC$为斜边的等腰直角三角形，以$BC$为直角边作等腰直角三角形$BCD$，再以$BD$为直角边作等腰直角三角形$BDE$。求证：四边形$ABDC$与四边形$CBED$相似。
答案
13 因为$△ ABC$、$△ BCD$、$△ BDE$是等腰直角三角形，所以$∠ ABC=∠ ACB=∠ CBD=∠ CDB=∠ DBE=∠ DEB=45°$，$∠ A=∠ BCD=∠ BDE=90°$，所以$∠ A=∠ DCB$，$∠ ABD=∠ CBE$，$∠ BDC=∠ BED$，$∠ ACD=∠ CDE$。设$AB=AC=a$，则$BC=CD=\sqrt{2}a$，$BD=DE=2a$，$BE=2\sqrt{2}a$，所以$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{ED}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以四边形ABDC与四边形CBED相似。
解析
【分析】
要证明两个四边形相似，需同时满足两个核心条件：一是所有对应角相等，二是所有对应边成比例。首先可利用等腰直角三角形的内角性质，计算两个四边形的各个内角度数，验证对应角相等；再通过设定参数表示边长，结合勾股定理计算出两个四边形的所有边长，验证对应边的比值相等，两个条件均满足即可证明两个四边形相似。
【解析】
证明：
∵△ABC、△BCD、△BDE均为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=∠DBE=∠DEB=45°，∠A=∠BCD=∠BDE=90°，
可得：∠A=∠DCB，
∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°，∠CBE=∠CBD+∠DBE=90°，即∠ABD=∠CBE，
∠BDC=∠BED=45°，
∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°，∠CDE=∠CDB+∠BDE=135°，即∠ACD=∠CDE，
因此四边形ABDC与四边形CBED的所有对应角相等。
设AB=AC=a，
在等腰Rt△ABC中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2}a$，
∵△BCD是等腰直角三角形，BC为直角边，
∴$CD=BC=\sqrt{2}a$，$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2a$，
∵△BDE是等腰直角三角形，BD为直角边，
∴$DE=BD=2a$，$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=2\sqrt{2}a$，
计算对应边比值：$\frac{AC}{CD}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BD}{BE}=\frac{2a}{2\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CD}{ED}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此四边形ABDC与四边形CBED的所有对应边成比例。
综上，对应角相等且对应边成比例，故四边形ABDC与四边形CBED相似。
【答案】
四边形ABDC与四边形CBED相似
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似多边形的判定
【点评】
本题考查相似多边形的判定，解题时需注意相似多边形必须同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可。结合等腰直角三角形的边角特性可快速推导角度和边长，解题时要注意对应顶点的顺序，避免找错对应角和对应边。
【难度系数】
0.7
要证明两个四边形相似，需同时满足两个核心条件：一是所有对应角相等，二是所有对应边成比例。首先可利用等腰直角三角形的内角性质，计算两个四边形的各个内角度数，验证对应角相等；再通过设定参数表示边长，结合勾股定理计算出两个四边形的所有边长，验证对应边的比值相等，两个条件均满足即可证明两个四边形相似。
【解析】
证明：
∵△ABC、△BCD、△BDE均为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=∠DBE=∠DEB=45°，∠A=∠BCD=∠BDE=90°，
可得：∠A=∠DCB，
∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°，∠CBE=∠CBD+∠DBE=90°，即∠ABD=∠CBE，
∠BDC=∠BED=45°，
∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°，∠CDE=∠CDB+∠BDE=135°，即∠ACD=∠CDE，
因此四边形ABDC与四边形CBED的所有对应角相等。
设AB=AC=a，
在等腰Rt△ABC中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2}a$，
∵△BCD是等腰直角三角形，BC为直角边，
∴$CD=BC=\sqrt{2}a$，$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2a$，
∵△BDE是等腰直角三角形，BD为直角边，
∴$DE=BD=2a$，$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=2\sqrt{2}a$，
计算对应边比值：$\frac{AC}{CD}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BD}{BE}=\frac{2a}{2\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CD}{ED}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此四边形ABDC与四边形CBED的所有对应边成比例。
综上，对应角相等且对应边成比例，故四边形ABDC与四边形CBED相似。
【答案】
四边形ABDC与四边形CBED相似
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似多边形的判定
【点评】
本题考查相似多边形的判定，解题时需注意相似多边形必须同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可。结合等腰直角三角形的边角特性可快速推导角度和边长，解题时要注意对应顶点的顺序，避免找错对应角和对应边。
【难度系数】
0.7
14 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD相交于点F，点G在AF的延长线上，连接BG、CG。如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应点A、B、G、C。求证：AF·BF=AG·EF。
答案
14 因为四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应点A、B、G、C，所以$∠ ADF=∠ ABG$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，所以$DF // BG$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$。因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$∠ DAE=∠ BAC$，所以$△ ADE ∽ △ ABC$，所以$∠ ADE=∠ ABC$，所以$DE // BC$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。因为$DE // BC$，所以$△ DEF ∽ △ CBF$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{BF}$，所以$\frac{AF}{AG}=\frac{EF}{BF}$，所以$AF · BF = AG · EF$。
解析
【分析】
要证明等积式$AF·BF=AG·EF$，通常先将其转化为比例式$\frac{AF}{AG}=\frac{EF}{BF}$，再结合已知条件推导比例关系。首先利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质，推导得到平行线，得出$\frac{AF}{AG}$与$\frac{AD}{AB}$的关系；再通过对应边成比例和公共角证明$△ ADE$与$△ ABC$相似，得到$DE// BC$，进而证明$△ DEF$与$△ CBF$相似，得出$\frac{EF}{BF}$与$\frac{AD}{AB}$的关系；最后通过中间比$\frac{AD}{AB}$等量代换得到所需比例，交叉相乘即可得证。
【解析】
∵ 四边形$ADFE$与四边形$ABGC$相似，且点$A$、$D$、$F$、$E$分别对应点$A$、$B$、$G$、$C$，
∴ $∠ ADF=∠ ABG$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $DF // BG$（同位角相等，两直线平行），
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$（平行线分线段成比例）。
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$∠ DAE=∠ BAC$（公共角），
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ ADE=∠ ABC$，
∴ $DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$（相似三角形对应边成比例）。
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ DEF=∠ CBF$，$∠ EDF=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $△ DEF ∽ △ CBF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{BF}$（相似三角形对应边成比例）。
联立得$\frac{AF}{AG}=\frac{EF}{BF}$，交叉相乘可得$AF · BF = AG · EF$。
【答案】
$AF·BF=AG·EF$
【知识点】
相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似性质的综合应用题目，解题的关键是将待证等积式转化为比例式，通过相似图形的性质找到中间公共比进行等量代换，熟练掌握相似的判定定理和性质是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$AF·BF=AG·EF$，通常先将其转化为比例式$\frac{AF}{AG}=\frac{EF}{BF}$，再结合已知条件推导比例关系。首先利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质，推导得到平行线，得出$\frac{AF}{AG}$与$\frac{AD}{AB}$的关系；再通过对应边成比例和公共角证明$△ ADE$与$△ ABC$相似，得到$DE// BC$，进而证明$△ DEF$与$△ CBF$相似，得出$\frac{EF}{BF}$与$\frac{AD}{AB}$的关系；最后通过中间比$\frac{AD}{AB}$等量代换得到所需比例，交叉相乘即可得证。
【解析】
∵ 四边形$ADFE$与四边形$ABGC$相似，且点$A$、$D$、$F$、$E$分别对应点$A$、$B$、$G$、$C$，
∴ $∠ ADF=∠ ABG$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $DF // BG$（同位角相等，两直线平行），
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$（平行线分线段成比例）。
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$∠ DAE=∠ BAC$（公共角），
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ ADE=∠ ABC$，
∴ $DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$（相似三角形对应边成比例）。
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ DEF=∠ CBF$，$∠ EDF=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $△ DEF ∽ △ CBF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{BF}$（相似三角形对应边成比例）。
联立得$\frac{AF}{AG}=\frac{EF}{BF}$，交叉相乘可得$AF · BF = AG · EF$。
【答案】
$AF·BF=AG·EF$
【知识点】
相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似性质的综合应用题目，解题的关键是将待证等积式转化为比例式，通过相似图形的性质找到中间公共比进行等量代换，熟练掌握相似的判定定理和性质是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.6
15 如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A、B、C、D分别与点A'、B'、C'、D'对应，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为k。求证：$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}} = k^2$。
答案
15 连接BD、B'D'。因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，所以$∠ A=∠ A'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=k$，所以$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ A'B'D'}}=k^2$。同理$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ B'C'D'}}=k^2$，所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ A'B'D'}}=\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ B'C'D'}}=k^2$，所以$\frac{S_{△ ABD}+S_{△ BCD}}{S_{△ A'B'D'}+S_{△ B'C'D'}}=k^2$，所以$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}}=k^2$。
解析
【分析】
要证明相似四边形的面积比等于相似比的平方，可利用转化思想，通过连接对角线将四边形分割为两个三角形，借助已学的相似三角形面积比的性质推导。首先根据相似多边形的性质得到对应角相等、对应边成比例，证明分割出的对应三角形相似，得到两组三角形的面积比均为相似比的平方，再利用等比性质将三角形面积求和，即可得到四边形的面积比与相似比的关系。
【解析】
证明：连接BD、B'D'。
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A、B、C、D分别与点A'、B'、C'、D'对应，
∴ ∠A=∠A'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=k$，
∴ △ABD ∽ △A'B'D'，
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△A'B'D'}}=k^2$。
同理可得△BCD ∽ △B'C'D'，$\frac{S_{△BCD}}{S_{△B'C'D'}}=k^2$。
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△A'B'D'}}=\frac{S_{△BCD}}{S_{△B'C'D'}}=k^2$，
由等比性质得$\frac{S_{△ABD}+S_{△BCD}}{S_{△A'B'D'}+S_{△B'C'D'}}=k^2$，
又
∵ $S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$，$S_{四边形A'B'C'D'}=S_{△A'B'D'}+S_{△B'C'D'}$，
∴ $\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}} = k^2$。
【答案】
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}} = k^2$
【知识点】
相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质、等比性质
【点评】
本题考查相似多边形面积比性质的推导，核心是运用转化思想将多边形问题转化为三角形问题解决，能够帮助学生理解相似多边形面积比和相似比的内在联系，熟练掌握相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明相似四边形的面积比等于相似比的平方，可利用转化思想，通过连接对角线将四边形分割为两个三角形，借助已学的相似三角形面积比的性质推导。首先根据相似多边形的性质得到对应角相等、对应边成比例，证明分割出的对应三角形相似，得到两组三角形的面积比均为相似比的平方，再利用等比性质将三角形面积求和，即可得到四边形的面积比与相似比的关系。
【解析】
证明：连接BD、B'D'。
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A、B、C、D分别与点A'、B'、C'、D'对应，
∴ ∠A=∠A'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=k$，
∴ △ABD ∽ △A'B'D'，
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△A'B'D'}}=k^2$。
同理可得△BCD ∽ △B'C'D'，$\frac{S_{△BCD}}{S_{△B'C'D'}}=k^2$。
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△A'B'D'}}=\frac{S_{△BCD}}{S_{△B'C'D'}}=k^2$，
由等比性质得$\frac{S_{△ABD}+S_{△BCD}}{S_{△A'B'D'}+S_{△B'C'D'}}=k^2$，
又
∵ $S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$，$S_{四边形A'B'C'D'}=S_{△A'B'D'}+S_{△B'C'D'}$，
∴ $\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}} = k^2$。
【答案】
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}} = k^2$
【知识点】
相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质、等比性质
【点评】
本题考查相似多边形面积比性质的推导，核心是运用转化思想将多边形问题转化为三角形问题解决，能够帮助学生理解相似多边形面积比和相似比的内在联系，熟练掌握相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
