1 如图,在点B处测得点A处的俯角是()。

A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$

1.A

【分析】
解题首先要回忆俯角的定义：从观测点观测低处目标时，视线与观测点处水平线所夹的、视线在水平线下方的锐角就是俯角。解题步骤：第一步确定观测点是点B，因此直接排除属于点A处的角∠3、∠4；第二步找到过点B的水平线，确定从B到A的视线位置，找到水平线与视线的夹角即可得到答案。
【解析】
根据俯角的定义可知：俯角是观测点处，水平线与向下观测目标的视线的锐角夹角。
本题观测点为B，因此首先排除在点A处的∠3和∠4；
过点B的水平线为图中过B的水平虚线，观测A的视线为BA，二者的夹角为∠1，符合俯角的定义；∠2是视线与铅垂线的夹角，不符合要求。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.俯角的定义
2.角的识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对俯角定义的理解与应用，解题的关键是准确找到观测点，区分水平线、铅垂线和视线的位置，避免混淆俯角与其他夹角，只要掌握相关概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9

2 跳伞运动员小李在 200 米的空中测得地面上的着落点 A 的俯角为$60°$,那么此时小李离着落点 A 的距离是()。

A.200米
B.400米
C.$\dfrac{200}{3}\sqrt{3}$米
D.$\dfrac{400}{3}\sqrt{3}$米

2.D

【分析】
首先我们要把实际问题转化为直角三角形模型：跳伞运动员的位置、运动员在地面的垂直投影点、着落点A三点构成直角三角形，其中运动员的高度200米是该直角三角形的竖直直角边，运动员到A的距离是斜边。接下来明确俯角的定义：俯角是高处视线与水平线的夹角，根据平行线内错角相等，可得到直角三角形中60°的角对应的对边就是竖直高度200米，最后选择合适的锐角三角函数列式计算即可求出未知距离。
【解析】
设此时小李离着落点A的距离为$x$米。
由题意可知，小李所在位置距离地面的竖直高度为200米，测得A点的俯角为$60°$，构造直角三角形可得：竖直高度200米是$60°$角的对边，小李到A的距离$x$是斜边。
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}$，代入数据得：
$\sin60°=\frac{200}{x}$
已知$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入上式：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{200}{x}$
解得：$x=\frac{200×2}{\sqrt{3}}=\frac{400}{\sqrt{3}}=\frac{400\sqrt{3}}{3}$（米）
【答案】
D
【知识点】
俯角的定义；解直角三角形的应用；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的应用类基础题，解题的核心是正确理解俯角的概念，准确将实际问题转化为直角三角形的边角关系问题，再结合锐角三角函数的定义列式求解即可。
【难度系数】
0.7

3 如图,一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯角为α,水平飞行 m 千米后到达点 B 处,又测得标志物 P 的俯角为β,那么此时飞机离地面的高度为()。


A.$\frac{m\tanα\tanβ}{\tanβ - \tanα}$ 千米
B.$\frac{m\tanα\tanβ}{\tanα - \tanβ}$ 千米
C.$\frac{m}{\tanα - \tanβ}$ 千米
D.$\frac{m}{\tanβ - \tanα}$ 千米

3.A

【分析】
这是解直角三角形中俯角的应用问题，解题思路如下：1. 明确俯角定义，因飞机水平飞行，A、B两点在同一水平高度，设飞机离地面高度为h，过标志物P向AB所在水平线作垂线，构造两个分别含俯角α、β的直角三角形；2. 分别在两个直角三角形中用h表示出对应水平线段的长度，再根据两条水平线段的差等于飞行距离m的等量关系列方程，解方程即可求出高度h。
【解析】
设此时飞机离地面的高度为h千米，过点P作PQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，则PQ=h。
在Rt△BPQ中，∠PBQ=β，根据正切的定义：$\tanβ=\frac{PQ}{BQ}$，可得$BQ=\frac{h}{\tanβ}$。
在Rt△APQ中，∠PAQ=α，根据正切的定义：$\tanα=\frac{PQ}{AQ}$，可得$AQ=\frac{h}{\tanα}$。
由线段关系可知$AQ-BQ=AB=m$，代入上述表达式得：
$\frac{h}{\tanα}-\frac{h}{\tanβ}=m$
整理等式：
$h(\frac{\tanβ-\tanα}{\tanα\tanβ})=m$
解得：$h=\frac{m\tanα\tanβ}{\tanβ-\tanα}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用-俯角问题，正切的定义，方程思想
【点评】
本题是俯角应用的典型题型，解题关键是正确构造直角三角形，结合俯角找到线段之间的等量关系，通过列方程求解未知量。
【难度系数】
0.7

④如果视线与水平线之间的夹角为$36°$，那么该视线与铅垂线之间的夹角为。

4.$54°$

【分析】
首先明确水平线与铅垂线的位置关系是互相垂直，二者夹角为90°；视线与水平线的夹角、视线与铅垂线的夹角共同组成了这个90°的直角，两个角互余，因此要求视线与铅垂线的夹角，只需用90°减去已知的视线与水平线的夹角即可。
【解析】
解：
∵水平线和铅垂线互相垂直，
∴水平线与铅垂线的夹角为90°，
又
∵视线与水平线之间的夹角为36°，
∴视线与铅垂线之间的夹角 = 90° - 36° = 54°。
【答案】
54°
【知识点】
1. 垂直的定义 2. 角度和差计算 3. 仰角俯角概念
【点评】
本题属于解直角三角形应用类的基础题型，解题关键是掌握水平线与铅垂线互相垂直的特点，结合角度和差关系即可快速得出结果，是对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.9

5 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为$36°$,那么从低处乙看高处甲的仰角是。
6 某架直升机在海平面上方200米的点A处,测得其到海平面观摩点B的俯角为$30°$,此时点A、B之间的距离是米。

5.$36°$ 6.400

【分析】
第5题：解题时先明确俯角、仰角的定义，高处观测点的水平线和低处观测点的水平线互相平行，两个角是平行线被两点连线截得的内错角，根据平行线内错角相等的性质即可直接得出结果。
第6题：首先根据题意构造直角三角形，明确已知边和已知角的对应关系，俯角转化为直角三角形的内角后，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可求出两点距离。
【解析】
5. 甲处的水平线与乙处的水平线互相平行，从甲看乙的俯角和从乙看甲的仰角是这组平行线被甲、乙两点的连线所截得到的内错角，根据平行线内错角相等的性质，可得从低处乙看高处甲的仰角等于俯角$36°$。
6. 过点A作$AC⊥$海平面于点C，可得$Rt△ ACB$，其中$AC=200$米，$∠ ACB=90°$。由俯角定义和平行线内错角相等的性质，可得$∠ ABC=30°$。在$Rt△ ACB$中，30°角所对的直角边AC是斜边AB的一半，即$AC=\frac{1}{2}AB$，代入$AC=200$米，得$AB=2×200=400$米。
【答案】
5. $36°$；6. $400$
【知识点】
1. 仰角俯角概念
2. 平行线的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
两道题均为解直角三角形中仰角俯角的基础题型，解题核心是准确理解仰角俯角的定义，结合几何图形的性质转化角度关系即可快速求解，是掌握此类应用题的基础练习。
【难度系数】
0.8

7 如图，小石同学在A、B两点分别测得某建筑物上条幅两端C、D两点的仰角均为$60°$，若点O、A、B在同一直线上，A、B两点间距离为3米，则条幅的高CD为米。

7.$3\sqrt{3}$

【分析】首先由题意可知建筑物与水平地面垂直，两个仰角均为60°，可得两条视线与水平地面的夹角相等，据此构造两个直角三角形。我们可设OA的长度为x，分别利用60°角的正切值表示出OC、OD的长度，再通过CD=OD-OC作差化简，即可消去未知量x求出CD的长度。
【解析】
解：根据题意得：$OD⊥ OB$，$∠ CAO=∠ DBO=60°$，$AB=3$米。
设$OA=x$米，则$OB=OA+AB=(x+3)$米。
在$Rt△ AOC$中，$\tan∠ CAO=\frac{OC}{OA}$，
$\therefore OC=OA·\tan60°=\sqrt{3}x$ 米。
在$Rt△ BOD$中，$\tan∠ DBO=\frac{OD}{OB}$，
$\therefore OD=OB·\tan60°=\sqrt{3}(x+3)$ 米。
$\therefore CD=OD-OC=\sqrt{3}(x+3)-\sqrt{3}x=3\sqrt{3}$ 米。
【答案】$3\sqrt{3}$
【知识点】解直角三角形；正切的定义；仰角的应用
【点评】本题属于仰角问题的基础应用，解题的核心是利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，通过作差消去未知量得到结果，无需额外求解未知线段的长度，体现了代数化简在几何计算中的作用。
【难度系数】0.7

8 如图，河的两岸a、b互相平行，点A、B、C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为米。（$\sqrt{3}≈1.73$，结果精确到0.1米）

8.54.6

【分析】
本题要求河两岸的距离，本质是求两条平行直线之间的垂线段长度。首先我们过P作b的垂线PD，PD就是所求距离。解题思路如下：第一步先利用三角形外角性质求出∠APB=45°；第二步过B作AP的垂线BE，构造两个特殊直角三角形，先求出BE、PE、AE的长度，得到AP的总长度；最后在Rt△APD中，利用30°角对的直角边是斜边一半的性质求出PD即可，全程用九年级已学的直角三角形性质求解，无需超纲知识。
【解析】
过点P作$PD ⊥$直线$b$于点$D$，则$PD$为河两岸之间的距离；再过点$B$作$BE ⊥ AP$于点$E$。
1. 在$Rt△ ABE$中，$∠ PAB=30°$，$AB=80$米，
根据直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半，得：
$BE=\frac{1}{2}AB=40$米，
同时$AE=AB · \cos30°=80 × \frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}$米。
2. 由三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得：
$∠ PBC=∠ PAB+∠ APB$，
代入已知角度得$∠ APB=75°-30°=45°$。
在$Rt△ BEP$中，$∠ BPE=45°$，故$△ BEP$为等腰直角三角形，
因此$PE=BE=40$米。
3. 可得$AP=AE+PE=40\sqrt{3}+40$米。
4. 在$Rt△ APD$中，$∠ PAD=30°$，
则$PD=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(40\sqrt{3}+40)=20\sqrt{3}+20$，
代入$\sqrt{3} \approx 1.73$计算：
$PD \approx 20 × 1.73 + 20 = 34.6 + 20 = 54.6$米。
【答案】
54.6
【知识点】
解直角三角形应用，三角形外角性质，特殊角三角函数
【点评】
本题结合实际生活场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是合理作出辅助线构造含特殊角的直角三角形，利用直角三角形的相关性质逐步推导计算，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6

9 如图,小军在A时测量某树的影长时,日照的光线与地面的夹角恰好是$60°$,当他在B时测量该树的影长时,日照的光线与地面的夹角是$30°$,若两次测得的影长之差DE为3m,则树的高度为m。(结果精确到0.1,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)

9.2.6

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，首先观察图形可知树BC垂直于地面CE，因此形成Rt△BCD和Rt△BCE两个直角三角形，两个三角形的公共直角边为树高BC。我们可以设树高为未知数，分别利用两个直角三角形中30°、60°角的正切值，表示出两个影长CD、CE，再根据影长之差DE=CE-CD=3m列方程，即可求解出树的高度。
【解析】
设树的高度BC为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知$ BC ⊥ CE $，即$ ∠ C = 90° $。
1. 在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ BDC = 60° $，根据正切的定义：
$ \tan 60° = \frac{BC}{CD} $，代入$ \tan60°=\sqrt{3} $，可得$ CD = \frac{BC}{\tan60°} = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}x}{3} $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，$ ∠ E = 30° $，根据正切的定义：
$ \tan 30° = \frac{BC}{CE} $，代入$ \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3} $，可得$ CE = \frac{BC}{\tan30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x $。
3. 已知两次影长之差$ DE = CE - CD = 3 \, \mathrm{m} $，代入上述表达式得：
$ \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}x}{3} = 3 $
合并同类项得：$ \frac{2\sqrt{3}x}{3} = 3 $
解得：$ x = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3×1.732}{2} \approx 2.6 $
【答案】
2.6
【知识点】
解直角三角形的应用；正切函数的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的常见题型，解题核心是利用公共边（树高）作为桥梁，结合三角函数表示出相关线段长度，再根据已知线段差建立方程求解，解题时要注意准确识别直角三角形的边角对应关系。
【难度系数】
0.7