10 如图是一台手机支架及其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知$BC = 5\ \mathrm{cm}$，$AB = 20\ \mathrm{cm}$。当AB、BC转动到$∠ BAE = 30°$，$∠ ABC = 97°$时，则点C到AE的距离为。（参考数据：$\sin53° \approx \frac{4}{5}$）

10.$6\ \mathrm{cm}$

【分析】
要求点C到AE的距离，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将所求距离转化为线段的差来计算。首先过B作BD⊥AE于D，过C作CF⊥BD于F、CG⊥AE于G，可知CG即为所求距离，且CG=FD。先在Rt△ABD中利用30°角的性质求出BD的长度，再求出∠CBF的度数，在Rt△BCF中利用锐角三角函数求出BF的长度，最后用BD减去BF即可得到FD也就是CG的长度。
【解析】
解：过点B作$BD ⊥ AE$于点D，过点C作$CF ⊥ BD$于点F，$CG ⊥ AE$于点G，
则四边形CFDG是矩形，因此$CG=FD$，CG就是点C到AE的距离。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAE=30°$，$AB=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD=AB·\sin30°=20×\frac{1}{2}=10\ \mathrm{cm}$，
$∠ ABD=90° - 30°=60°$。
$\because ∠ ABC=97°$，
$\therefore ∠ CBF=∠ ABC - ∠ ABD=97° - 60°=37°$。
由互余角的三角函数关系可知$\cos37°=\sin(90°-37°)=\sin53°\approx\frac{4}{5}$。
在$Rt△ BCF$中，$BC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BF=BC·\cos∠ CBF\approx5×\frac{4}{5}=4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore CG=FD=BD - BF=10 - 4=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合手机支架的生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，将所求距离转化为直角三角形中线段的和差问题，需要熟练掌握锐角三角函数的边角关系及特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6

11 如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且$AC ⊥ BE$，$AC ⊥ CD$，$AC // ED$。从点A测得点D、点E的俯角分别为$64°$和$53°$。已知椅面宽$BE=46\ \mathrm{cm}$，求椅脚高ED的长（结果取整数）。（参考数据：$\tan53° \approx 1.33$，$\sin53° \approx 0.80$，$\tan64° \approx 2.05$，$\sin64° \approx 0.90$）

11 由题意得$∠ ABE = ∠ ACD = 90°$，$∠ AEB = 53°$，$∠ ADC = 64°$，$BE = CD = 46\ \mathrm{cm}$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ ABE = 90°$，$\tan∠ AEB = \frac{AB}{BE}$，可得$AB = 46 × \tan53°(\mathrm{cm})$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$∠ ACD = 90°$，$\tan∠ ADC = \frac{AC}{CD}$，可得$AC = 46 × \tan64°(\mathrm{cm})$。所以$ED = BC = AC - AB \approx 33\ \mathrm{cm}$。

【分析】
首先根据题意明确图形中的垂直、平行关系，可判定四边形BCDE是矩形，得到CD=BE、ED=BC的等量关系；再结合俯角的定义，得到两个直角三角形Rt△ABE和Rt△ACD中的锐角角度，利用锐角三角函数中正切的定义分别求出AB、AC的长度，最后通过ED=BC=AC-AB计算得到椅脚高ED的长度。
【解析】
解：由题意可知$AC ⊥ BE$，$AC ⊥ CD$，$AC // ED$，因此四边形BCDE是矩形，
$\therefore CD = BE = 46\ \mathrm{cm}$，$ED = BC$。
根据俯角的定义可得：$∠ AEB = 53°$，$∠ ADC = 64°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE = 90°$，$\tan∠ AEB = \frac{AB}{BE}$，
$\therefore AB = BE · \tan53° \approx 46 × 1.33 = 61.18\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD = 90°$，$\tan∠ ADC = \frac{AC}{CD}$，
$\therefore AC = CD · \tan64° \approx 46 × 2.05 = 94.3\ \mathrm{cm}$。
$\therefore ED = BC = AC - AB \approx 94.3 - 61.18 = 33.12 \approx 33\ \mathrm{cm}$。
【答案】
椅脚高ED的长约为$\boxed{33\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的俯角应用；矩形的性质；锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的基础应用题，解题关键是将俯角条件转化为直角三角形的内角度数，结合矩形性质转化线段关系，利用三角函数求解线段长度，贴近生活实际，能很好的考察学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7

12 2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功。某校航天兴趣小组的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度。如图所示，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度。（结果精确到0.1米，参考数据：$\sin22° \approx 0.37$，$\cos22° \approx 0.93$，$\tan22° \approx 0.40$，$\sqrt{2} \approx 1.41$）

12 延长 BC 交核心舱于点 H。由题意可得$∠ AHC = 90°$,因为$∠ ACH = 45°$,所以$AH = CH$。设$AH = CH = x$米,则$BH = (24 + x)$米。在$\mathrm{Rt}△ AHB$ 中,$∠ AHB = 90°$, $\tan∠ ABH = \frac{AH}{BH}$,所以$\frac{x}{24 + x} = 0.4$,解得$x = 16$,所以天和核心舱的高度为$16 + 1.6 = 17.6$(米)。

【分析】
这是利用仰角测量高度的实际应用题，解题首先要构造直角三角形：延长BC交核心舱竖直边于H点，得到两个共用直角边AH的直角三角形。首先观察45°仰角对应的Rt△AHC，它是等腰直角三角形，可得AH=CH，我们设AH长度为x米，即可表示出Rt△AHB的水平直角边BH的长度为(24+x)米，再利用22°角的正切值建立方程求解x，最后加上测角仪的高度即可得到核心舱的总高度。
【解析】
延长BC交天和核心舱竖直侧边于点H，由题意得∠AHC=90°，BC=24米，测角仪高度为1.6米。
∵在Rt△AHC中，∠ACH=45°，
∴△AHC为等腰直角三角形，即$AH=CH$。
设$AH=CH=x$米，则$BH=BC+CH=(24+x)$米。
在Rt△AHB中，∠ABH=22°，∠AHB=90°，根据正切的定义$\tan∠ABH=\frac{AH}{BH}$，代入$\tan22°≈0.40$得：
$\frac{x}{24+x}=0.4$
解方程：
$x=0.4(24+x)$
$x=9.6+0.4x$
$0.6x=9.6$
$x=16$
则天和核心舱的高度为AH加上测角仪高度：$16+1.6=17.6$米。
【答案】
17.6米
【知识点】
解直角三角形应用，仰角计算，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，通过构造共直角边的两个直角三角形，结合特殊角的性质设未知数列方程求解，既考察了三角函数的基本概念，也锻炼了将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意不要遗漏测角仪的高度。
【难度系数】
0.7