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13 随着人民生活水平的日益提高，许多农村房屋进行了改造。小明家改造时在门前安装了一个遮阳篷，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为6.5 m，与墙面AD的夹角$∠ BAD = 67.4°$，靠墙端A离地高AD为4.5 m，当太阳光线BC与地面DE的夹角为$45°$时，求阴影CD的长。（参考数据：$\sin 67.4° \approx \frac{12}{13}$，$\cos 67.4° \approx \frac{5}{13}$，$\tan 67.4° \approx \frac{12}{5}$）
答案
13 过点 B 作$BM ⊥ AD$于点 M，$BN ⊥ ED$于点 N。在$\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$∠ AMB = 90°$,所以$BM = AB\sin A = 6.5 × \frac{12}{13} = 6\ \mathrm{m}$, $AM = AB\cos A = 6.5 × \frac{5}{13} = 2.5\ \mathrm{m}$,所以$BN = NC = DM = 4.5 - 2.5 = 2\ \mathrm{m}$,所以$CD = 6 - 2 = 4\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，现有图形没有可直接计算的直角三角形，因此需要通过作辅助线转化已知条件：首先过点B分别作AD、ED的垂线，构造出Rt△ABM、Rt△BCN和矩形BNDM；先在Rt△ABM中利用三角函数求出BM、AM的长度；再结合矩形性质和太阳光线与地面夹角为45°的条件，得到等腰Rt△BCN的边长关系；最后通过线段和差关系计算CD的长度。
【解析】
过点B作$BM ⊥ AD$于点M，$BN ⊥ ED$于点N，则四边形BNDM为矩形，可得$BN=DM$，$BM=ND$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$∠ AMB = 90°$,$∠BAD=67.4°$，$AB=6.5\ \mathrm{m}$，
所以$BM = AB·\sin∠BAD = 6.5 × \frac{12}{13} = 6\ \mathrm{m}$,
$AM = AB·\cos∠BAD = 6.5 × \frac{5}{13} = 2.5\ \mathrm{m}$，
因为$AD=4.5\ \mathrm{m}$，所以$DM=AD-AM=4.5-2.5=2\ \mathrm{m}$，即$BN=2\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠BCN=45°$，在$\mathrm{Rt}△ BCN$中，$∠BNC=90°$，故$△ BCN$为等腰直角三角形，$NC=BN=2\ \mathrm{m}$。
又因为$ND=BM=6\ \mathrm{m}$，且$ND=NC+CD$，
所以$CD=ND-NC=6-2=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
阴影CD的长为4 m
【知识点】
解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的遮阳篷阴影场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形与矩形，将实际问题中的数量关系转化为几何图形的边角关系求解，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，现有图形没有可直接计算的直角三角形，因此需要通过作辅助线转化已知条件：首先过点B分别作AD、ED的垂线，构造出Rt△ABM、Rt△BCN和矩形BNDM；先在Rt△ABM中利用三角函数求出BM、AM的长度；再结合矩形性质和太阳光线与地面夹角为45°的条件，得到等腰Rt△BCN的边长关系；最后通过线段和差关系计算CD的长度。
【解析】
过点B作$BM ⊥ AD$于点M，$BN ⊥ ED$于点N，则四边形BNDM为矩形，可得$BN=DM$，$BM=ND$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$∠ AMB = 90°$,$∠BAD=67.4°$，$AB=6.5\ \mathrm{m}$，
所以$BM = AB·\sin∠BAD = 6.5 × \frac{12}{13} = 6\ \mathrm{m}$,
$AM = AB·\cos∠BAD = 6.5 × \frac{5}{13} = 2.5\ \mathrm{m}$，
因为$AD=4.5\ \mathrm{m}$，所以$DM=AD-AM=4.5-2.5=2\ \mathrm{m}$，即$BN=2\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠BCN=45°$，在$\mathrm{Rt}△ BCN$中，$∠BNC=90°$，故$△ BCN$为等腰直角三角形，$NC=BN=2\ \mathrm{m}$。
又因为$ND=BM=6\ \mathrm{m}$，且$ND=NC+CD$，
所以$CD=ND-NC=6-2=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
阴影CD的长为4 m
【知识点】
解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的遮阳篷阴影场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形与矩形，将实际问题中的数量关系转化为几何图形的边角关系求解，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
14 如图①是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知$AB=1\mathrm{m}$，$BC=0.6\mathrm{m}$，$∠ ABC=123°$，该车的高度$AO=1.7\mathrm{m}$。如图②，打开后备箱，车后盖ABC落在$AB'C'$处，$AB'$与水平面的夹角$∠ B'AD=27°$。
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点$B'$到地面$l$的距离。
（2）若小琳爸爸的身高为$1.8\mathrm{m}$，他从打开的车后盖$C'$处经过，有没有碰头的危险？请说明理由。（结 果 精 确 到 $0.01\mathrm{m}$，参考数据：$\sin27°\approx0.454$，$\cos27°\approx0.891$，$\tan27°\approx0.510$，$\sqrt{3}\approx1.732$）
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点$B'$到地面$l$的距离。
（2）若小琳爸爸的身高为$1.8\mathrm{m}$，他从打开的车后盖$C'$处经过，有没有碰头的危险？请说明理由。（
答案
14 （1）过$B'H ⊥ AD$ 于点 H。在$\mathrm{Rt}△ AB'H$ 中,$∠ AHB' = 90°$,所以$B'H = AB' · \sin∠ B'AD = 0.454\ \mathrm{m}$,所以点$B'$ 到地面$l$ 的距离为$0.454 + 1.7 \approx 2.15\ \mathrm{m}$。
(2) $∠ C'B'H = ∠ AB'C' - ∠ AB'H = 60°$。点$C'$ 到地面$l$ 的距离为$AO + (B'H - B'C' · \cos∠ C'B'H) = 1.7 + 0.454 - 0.6 × \frac{1}{2} = 1.854\ \mathrm{m}$。因为$1.854 ＞ 1.8$,所以没有碰头危险。
(2) $∠ C'B'H = ∠ AB'C' - ∠ AB'H = 60°$。点$C'$ 到地面$l$ 的距离为$AO + (B'H - B'C' · \cos∠ C'B'H) = 1.7 + 0.454 - 0.6 × \frac{1}{2} = 1.854\ \mathrm{m}$。因为$1.854 ＞ 1.8$,所以没有碰头危险。
解析
【分析】
（1）要求最高点$B'$到地面$l$的距离，已知$AO$是$A$点到地面的竖直高度为$1.7\mathrm{m}$，$AD$为水平线，因此只需先求出$B'$到水平线$AD$的竖直距离，再加$AO$的长度即可。过$B'$作$AD$的垂线构造直角三角形，利用$∠ B'AD$的正弦值和$AB'$的长度（旋转前后边长不变，$AB'=AB=1\mathrm{m}$）就能算出$B'$到$AD$的距离，进而得到$B'$到地面的距离。
（2）判断是否碰头需要先算出$C'$到地面的高度，再和$1.8\mathrm{m}$比较。首先由旋转性质可知$∠ AB'C'=∠ ABC=123°$，先算出$∠ AB'H$的度数，推导得到$∠ C'B'H$的度数，再利用余弦算出$C'$相对于$B'$下降的高度，用$B'$到地面的高度减去下降的高度就是$C'$到地面的高度，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）过点$B'$作$B'H ⊥ AD$，垂足为$H$。
由旋转的性质可得$AB' = AB = 1\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AB'H$中，$∠ AHB' = 90°$，$∠ B'AD = 27°$，
$\therefore B'H = AB' · \sin∠ B'AD \approx 1 × 0.454 = 0.454\mathrm{m}$，
$\because$点$A$到地面$l$的距离$AO = 1.7\mathrm{m}$，且$AD$平行于地面$l$，
$\therefore$点$B'$到地面$l$的距离为$AO + B'H = 1.7 + 0.454 \approx 2.15\mathrm{m}$。
（2）没有碰头危险，理由如下：
由旋转的性质可得$∠ AB'C' = ∠ ABC = 123°$，$B'C' = BC = 0.6\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AB'H$中，$∠ AB'H = 90° - ∠ B'AD = 90° - 27° = 63°$，
$\therefore ∠ C'B'H = ∠ AB'C' - ∠ AB'H = 123° - 63° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ B'C'G$中（$G$为过$C'$作$B'H$垂线的垂足），
$B'G = B'C' · \cos∠ C'B'H = 0.6 × \cos60° = 0.6 × 0.5 = 0.3\mathrm{m}$，
$\therefore$点$C'$到地面$l$的距离为$1.7 + (B'H - B'G) = 1.7 + 0.454 - 0.3 = 1.854\approx1.85\mathrm{m}$，
$\because 1.85 ＞ 1.8$，因此小琳爸爸从$C'$处经过没有碰头的危险。
【答案】
（1）打开后备箱后，车后盖最高点$B'$到地面$l$的距离约为$\boldsymbol{2.15\mathrm{m}}$；
（2）没有碰头危险，理由见解析。
【知识点】
锐角三角函数应用，解直角三角形，旋转的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合旋转的性质找准对应边和对应角，再利用三角函数计算对应高度即可，解题时要注意角度推导的准确性。
【难度系数】
0.7
（1）要求最高点$B'$到地面$l$的距离，已知$AO$是$A$点到地面的竖直高度为$1.7\mathrm{m}$，$AD$为水平线，因此只需先求出$B'$到水平线$AD$的竖直距离，再加$AO$的长度即可。过$B'$作$AD$的垂线构造直角三角形，利用$∠ B'AD$的正弦值和$AB'$的长度（旋转前后边长不变，$AB'=AB=1\mathrm{m}$）就能算出$B'$到$AD$的距离，进而得到$B'$到地面的距离。
（2）判断是否碰头需要先算出$C'$到地面的高度，再和$1.8\mathrm{m}$比较。首先由旋转性质可知$∠ AB'C'=∠ ABC=123°$，先算出$∠ AB'H$的度数，推导得到$∠ C'B'H$的度数，再利用余弦算出$C'$相对于$B'$下降的高度，用$B'$到地面的高度减去下降的高度就是$C'$到地面的高度，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）过点$B'$作$B'H ⊥ AD$，垂足为$H$。
由旋转的性质可得$AB' = AB = 1\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AB'H$中，$∠ AHB' = 90°$，$∠ B'AD = 27°$，
$\therefore B'H = AB' · \sin∠ B'AD \approx 1 × 0.454 = 0.454\mathrm{m}$，
$\because$点$A$到地面$l$的距离$AO = 1.7\mathrm{m}$，且$AD$平行于地面$l$，
$\therefore$点$B'$到地面$l$的距离为$AO + B'H = 1.7 + 0.454 \approx 2.15\mathrm{m}$。
（2）没有碰头危险，理由如下：
由旋转的性质可得$∠ AB'C' = ∠ ABC = 123°$，$B'C' = BC = 0.6\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AB'H$中，$∠ AB'H = 90° - ∠ B'AD = 90° - 27° = 63°$，
$\therefore ∠ C'B'H = ∠ AB'C' - ∠ AB'H = 123° - 63° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ B'C'G$中（$G$为过$C'$作$B'H$垂线的垂足），
$B'G = B'C' · \cos∠ C'B'H = 0.6 × \cos60° = 0.6 × 0.5 = 0.3\mathrm{m}$，
$\therefore$点$C'$到地面$l$的距离为$1.7 + (B'H - B'G) = 1.7 + 0.454 - 0.3 = 1.854\approx1.85\mathrm{m}$，
$\because 1.85 ＞ 1.8$，因此小琳爸爸从$C'$处经过没有碰头的危险。
【答案】
（1）打开后备箱后，车后盖最高点$B'$到地面$l$的距离约为$\boldsymbol{2.15\mathrm{m}}$；
（2）没有碰头危险，理由见解析。
【知识点】
锐角三角函数应用，解直角三角形，旋转的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合旋转的性质找准对应边和对应角，再利用三角函数计算对应高度即可，解题时要注意角度推导的准确性。
【难度系数】
0.7
