14 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E在边AB上(点E与端点A、B不重合),连接DE,过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于点F,连接EF,与对角线AC、边CD分别交于点G、H。设AE=x,DH=y。
(1) 求证:△ADE∽△CDF,并求∠EFD的正切值。
(2) 求y关于x的函数表达式,并写出该函数的定义域。
(3) 连接BG。当△BGE与以D、E、H为顶点的三角形相似时,求x的值。

备用图

14.(1) 在矩形 $ABCD$ 中, $∠ BAD = ∠ ADC = ∠ BCD = 90°$, $AB = CD$。又因为 $∠ BCD + ∠ DCF = 180°$, 所以 $∠ DCF = 90°$, 所以 $∠ DCF = ∠ BAD$。因为 $DF ⊥ DE$, 所以 $∠ EDF = 90°$, 所以 $∠ EDF = ∠ ADC = 90°$, 所以 $∠ EDF - ∠ EDH = ∠ ADC - ∠ EDH$, 所以 $∠ ADE = ∠ CDF$, 所以 $△ ADE ∽ △ CDF$, 所以 $\frac{AD}{CD} = \frac{DE}{DF}$。又因为 $AD = 1$, $CD = AB = 2$, 所以 $\frac{DE}{DF} = \frac{1}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $∠ EDF = 90°$, 所以 $\tan ∠ EFD = \frac{DE}{DF} = \frac{1}{2}$。
(2) 因为 $△ ADE ∽ △ CDF$, 所以 $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$。因为 $AE = x$, 所以 $CF = 2x$。在矩形 $ABCD$ 中, $AB // CD$, $AD = BC$。由 $AB // CD$, 得 $\frac{CH}{BE} = \frac{CF}{BF}$。又因为 $BF = 2x + 1$, $CH = 2 - y$, $BE = 2 - x$, 所以 $\frac{2 - y}{2 - x} = \frac{2x}{2x + 1}$, 所以 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y = \frac{2x^2 + 2}{2x + 1}$, 其定义域为 $0 ＜ x ＜ 2$。
(3) 延长 $BG$, 交射线 $CD$ 于点 $P$。由 $AB // CD$, 得 $∠ BEG = ∠ DHE$, 有以下两种情况:①当 $∠ DEH = ∠ BGE$ 时, $ED // BG$。又因为 $AB // CD$, 所以四边形 $BEDP$ 是平行四边形, 所以 $EB = DP = 2 - x$, 所以 $PC = x$。因为 $DH = y$, 所以 $HC = 2 - y = 2 - \frac{2x^2 + 2}{2x + 1} = \frac{2x(2 - x)}{2x + 1}$。
因为 $AB // CD$, 所以 $\frac{HC}{AE} = \frac{HG}{GE}$, $\frac{HG}{GE} = \frac{PG}{GB}$, $\frac{PG}{GB} = \frac{PC}{AB}$, 所以 $\frac{HC}{AE} = \frac{PC}{AB}$, 即 $\frac{\frac{2x(2 - x)}{2x + 1}}{x} = \frac{x}{2}(0 ＜ x ＜ 2)$, 解得 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{89}}{4}$(负舍), 所以 $x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{4}$。②当 $∠ DEH = ∠ GBE$ 时, 因为 $EB // DH$, 所以 $∠ DEH = ∠ GBE = ∠ BPC$, 所以 $\tan ∠ BPC = \tan ∠ DEH = \frac{BC}{PC} = 2$, 所以 $\frac{HC}{AE} = \frac{PC}{AB} = \frac{1}{4}$, 即 $\frac{\frac{2x(2 - x)}{2x + 1}}{x} = \frac{1}{4}(0 ＜ x ＜ 2)$, 解得 $x = \frac{3}{2}$。
综上所述, $x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{4}$ 或 $x = \frac{3}{2}$。