14 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E在边AB上(点E与端点A、B不重合),连接DE,过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于点F,连接EF,与对角线AC、边CD分别交于点G、H。设AE=x,DH=y。
(1) 求证:△ADE∽△CDF,并求∠EFD的正切值。
(2) 求y关于x的函数表达式,并写出该函数的定义域。
(3) 连接BG。当△BGE与以D、E、H为顶点的三角形相似时,求x的值。

备用图

14.(1) 在矩形 $ABCD$ 中, $∠ BAD = ∠ ADC = ∠ BCD = 90°$, $AB = CD$。又因为 $∠ BCD + ∠ DCF = 180°$, 所以 $∠ DCF = 90°$, 所以 $∠ DCF = ∠ BAD$。因为 $DF ⊥ DE$, 所以 $∠ EDF = 90°$, 所以 $∠ EDF = ∠ ADC = 90°$, 所以 $∠ EDF - ∠ EDH = ∠ ADC - ∠ EDH$, 所以 $∠ ADE = ∠ CDF$, 所以 $△ ADE ∽ △ CDF$, 所以 $\frac{AD}{CD} = \frac{DE}{DF}$。又因为 $AD = 1$, $CD = AB = 2$, 所以 $\frac{DE}{DF} = \frac{1}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $∠ EDF = 90°$, 所以 $\tan ∠ EFD = \frac{DE}{DF} = \frac{1}{2}$。
(2) 因为 $△ ADE ∽ △ CDF$, 所以 $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$。因为 $AE = x$, 所以 $CF = 2x$。在矩形 $ABCD$ 中, $AB // CD$, $AD = BC$。由 $AB // CD$, 得 $\frac{CH}{BE} = \frac{CF}{BF}$。又因为 $BF = 2x + 1$, $CH = 2 - y$, $BE = 2 - x$, 所以 $\frac{2 - y}{2 - x} = \frac{2x}{2x + 1}$, 所以 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y = \frac{2x^2 + 2}{2x + 1}$, 其定义域为 $0 ＜ x ＜ 2$。
(3) 延长 $BG$, 交射线 $CD$ 于点 $P$。由 $AB // CD$, 得 $∠ BEG = ∠ DHE$, 有以下两种情况:①当 $∠ DEH = ∠ BGE$ 时, $ED // BG$。又因为 $AB // CD$, 所以四边形 $BEDP$ 是平行四边形, 所以 $EB = DP = 2 - x$, 所以 $PC = x$。因为 $DH = y$, 所以 $HC = 2 - y = 2 - \frac{2x^2 + 2}{2x + 1} = \frac{2x(2 - x)}{2x + 1}$。
因为 $AB // CD$, 所以 $\frac{HC}{AE} = \frac{HG}{GE}$, $\frac{HG}{GE} = \frac{PG}{GB}$, $\frac{PG}{GB} = \frac{PC}{AB}$, 所以 $\frac{HC}{AE} = \frac{PC}{AB}$, 即 $\frac{\frac{2x(2 - x)}{2x + 1}}{x} = \frac{x}{2}(0 ＜ x ＜ 2)$, 解得 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{89}}{4}$(负舍), 所以 $x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{4}$。②当 $∠ DEH = ∠ GBE$ 时, 因为 $EB // DH$, 所以 $∠ DEH = ∠ GBE = ∠ BPC$, 所以 $\tan ∠ BPC = \tan ∠ DEH = \frac{BC}{PC} = 2$, 所以 $\frac{HC}{AE} = \frac{PC}{AB} = \frac{1}{4}$, 即 $\frac{\frac{2x(2 - x)}{2x + 1}}{x} = \frac{1}{4}(0 ＜ x ＜ 2)$, 解得 $x = \frac{3}{2}$。
综上所述, $x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{4}$ 或 $x = \frac{3}{2}$。

【分析】
(1) 要证明△ADE∽△CDF，先利用矩形的性质得到∠A=∠DCF=90°，再根据DF⊥DE推出∠ADE=∠CDF，用两角对应相等即可证明相似；求∠EFD的正切值时，在Rt△DEF中，tan∠EFD=DE/DF，利用相似三角形对应边成比例求出DE与DF的比值即可。
(2) 先由△ADE∽△CDF得到CF与AE的数量关系，求出CF=2x；再根据AB//CD可得△FCH∽△FBE，利用对应边成比例列出关于x、y的等式，整理即可得到y关于x的函数表达式，结合点E不与A、B重合的条件写出定义域。
(3) 由AB//CD可得∠BEG=∠DHE，因此△BGE与△DEH相似分两种情况讨论：①当∠DEH=∠BGE时，可推出ED//BG，进而得到四边形BEDP是平行四边形，再结合平行线分线段成比例列方程求解；②当∠DEH=∠GBE时，利用等角的三角函数值相等，结合平行线分线段成比例列方程求解，最后舍去不符合定义域的解即可。
【解析】
(1) 证明：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=2。
∵∠BCD+∠DCF=180°，
∴∠DCF=90°=∠BAD。
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°=∠ADC，
∴∠EDF-∠EDC=∠ADC-∠EDC，即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF。
由相似性质得$\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
∵AD=1，CD=2，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$。
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，
∴$\tan∠EFD=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$。
(2) 解：由(1)中△ADE∽△CDF，得$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∵AE=x，
∴CF=2x。
∵矩形ABCD中AB//CD，
∴△FCH∽△FBE，
∴$\frac{CH}{BE}=\frac{CF}{BF}$。
其中BF=BC+CF=1+2x，CH=CD-DH=2-y，BE=AB-AE=2-x，
代入得$\frac{2-y}{2-x}=\frac{2x}{2x+1}$，
整理得：$(2-y)(2x+1)=2x(2-x)$，
化简得$y=\frac{2x^2+2}{2x+1}$。
∵点E与A、B不重合，
∴函数定义域为$0＜x＜2$。
(3) 解：延长BG交射线CD于点P，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠DHE，△BGE与△DEH相似分两种情况：
①当∠BGE=∠DEH时，ED//BG，
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDP是平行四边形，
∴EB=DP=2-x，
∴PC=CD-DP=2-(2-x)=x。
由$y=\frac{2x^2+2}{2x+1}$，得$CH=2-y=\frac{2x(2-x)}{2x+1}$。
∵AB//CD，
∴$\frac{HC}{AE}=\frac{HG}{GE}=\frac{PG}{GB}=\frac{PC}{AB}$，
代入得$\frac{\frac{2x(2-x)}{2x+1}}{x}=\frac{x}{2}$，化简得$2x^2+5x-8=0$，
解得$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}$，结合$0＜x＜2$舍去负根，得$x=\frac{-5+\sqrt{89}}{4}$。
②当∠GBE=∠DEH时，
∵EB//DH，
∴∠GBE=∠BPC，
∴∠DEH=∠BPC，
由(1)知$\tan∠DEF=\frac{DF}{DE}=2$，
∴$\tan∠BPC=\frac{BC}{PC}=2$，得$PC=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{1}{4}$，结合$\frac{HC}{AE}=\frac{PC}{AB}$得$\frac{\frac{2x(2-x)}{2x+1}}{x}=\frac{1}{4}$，
化简解得$x=\frac{3}{2}$，符合定义域。
综上，x的值为$\frac{-5+\sqrt{89}}{4}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析，$\tan∠EFD=\frac{1}{2}$；
(2) $y=\frac{2x^2+2}{2x+1}(0＜x＜2)$；
(3) $x=\frac{-5+\sqrt{89}}{4}$或$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何综合题，融合了矩形性质、相似三角形、锐角三角函数、函数解析式求解等内容，解题时需要运用分类讨论思想分析相似三角形的对应关系，注意结合定义域舍去不合题意的解，对几何知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3